邊界條件對(duì)二維斜面顆粒流顆粒分布的影響

1、編號(hào)：4457邊界條件對(duì)二維斜面顆粒流顆粒分布的影響*周英 鮑德松 張訓(xùn)生 雷哲民 胡國(guó)琦 唐孝威（浙江大學(xué)物理系 杭州 310027）摘要 實(shí)驗(yàn)研究了粗糙邊界條件、不同通道寬度以及不同斜面傾斜角下二維顆粒流的顆粒分布，發(fā)現(xiàn)顆粒流在稀疏流狀態(tài)下盡管在現(xiàn)象上表現(xiàn)出類似流體的性質(zhì)，但由于顆粒流系統(tǒng)的能量耗散,所以顆粒流的速度和密度分布和牛頓流體完全不同，顆粒流在通道中的分布既受通道寬度的影響同時(shí)也受重力場(chǎng)的影響，顆粒在通道中以通道中軸線呈對(duì)稱分布，通道兩側(cè)的顆粒密度明顯高于通道中間，由于通道中顆粒受剪切力的作用，導(dǎo)致顆粒在通道中的密度分布的變化，通道邊界粗糙度明顯影響著顆粒流橫向分布。關(guān)鍵詞：二維

2、顆粒流；顆粒物質(zhì)；稀疏流PACC： 4630P； 4610； 8220M1、引言 最近幾年來(lái)已經(jīng)有許多關(guān)于顆粒流運(yùn)動(dòng)規(guī)律研究的報(bào)道，目的是研究影響顆粒流運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的主要因素1-7，陳唯等人1研究了電場(chǎng)作用下管流從稀疏流到密集流的轉(zhuǎn)變。徐光磊等人2的實(shí)驗(yàn)分析了斜面上二維顆粒流發(fā)生稀疏流到密集流的突變的臨界開口Dc與初始流量和通道寬度的關(guān)系。鮑德松等人3分析了二維傳送帶上圓片顆粒運(yùn)動(dòng)與開口大小及傳送帶速度的關(guān)系，結(jié)果表明存在導(dǎo)致傳送帶上圓片顆粒運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化的臨界速度。在J.C.Tasi等人4對(duì)斜槽中顆粒流的研究中，通過(guò)改變通道出口的大小，顆粒在斜槽上的流動(dòng)存在均勻密度流（Uniform Dense

3、Flow）、兩相流（Two Phase Flow）和加速氣態(tài)流（Accelerating Gaseous Flow）三種不同的狀態(tài)，無(wú)論是均勻密度流還是兩相流，顆粒流動(dòng)狀態(tài)都與通道寬度有關(guān)，通道邊界粗糙度對(duì)顆粒流動(dòng)有明顯影響。另外，Savage5認(rèn)為：顆粒流存在兩種極限流動(dòng)狀態(tài),一種是類似于流體的稀疏顆粒流,這類顆粒流顆粒之間的相互作用主要是顆粒之間的相互碰撞,而另一種是準(zhǔn)靜態(tài)顆粒流, 顆粒之間的相互作用則主要表現(xiàn)為摩擦相互作用,但在大部分情況下兩種狀態(tài)將共處于同一顆粒系統(tǒng)中，對(duì)于二維垂直通道顆粒流顆粒流的橫向速度漲落與通道寬度有關(guān)。Dmitri Volfson等人6采用連續(xù)介質(zhì)和分子動(dòng)力學(xué)理

4、論模擬了部分流化態(tài)*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（批準(zhǔn)號(hào)：10274071）;國(guó)家高技術(shù)“八六三”計(jì)劃慣性約束聚變技術(shù)主題資助項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)：2002AA84ts06) Email address: baodesong （浙江大學(xué)物理系，杭州，310027，鮑德松）的剪切顆粒流,他們采用質(zhì)量、動(dòng)量以及用耗散系數(shù)修正的能量守恒方程描述了在稀疏流狀態(tài)下的顆粒流。J.T.Jenkins等人7認(rèn)為稀疏流下的顆粒流以顆粒間碰撞為主要作用力，這點(diǎn)和J.C.Tasi等人4的結(jié)論一致，他們的研究表明流動(dòng)速率與碰撞時(shí)間相關(guān)，經(jīng)典的流體力學(xué)方程加上非彈性碰撞的修正項(xiàng)，可以描述顆粒的稀疏流現(xiàn)象。對(duì)于處于密集流狀態(tài)下的顆粒

5、流就不能采用經(jīng)典的流體力學(xué)方程描述.因?yàn)楫?dāng)顆粒處于密集狀態(tài)時(shí)，顆粒之間或顆粒與器壁間主要是以摩擦互相作用，使流動(dòng)的性質(zhì)變得十分復(fù)雜。本文的主要工作是研究稀疏流狀態(tài)下邊界條件對(duì)斜面上單層顆粒流的橫向分布的影響。2、 實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。二維斜面通道是由上下兩層光滑玻璃組成，斜面傾斜角連續(xù)可調(diào)。為保證顆粒單層流動(dòng)，兩層玻璃間的間隙為1.2mm, 恰好能通過(guò)一層直徑為1.000.02mm的鋼球。斜面長(zhǎng)1.5m，寬0.4m，作為顆粒流動(dòng)的通道寬度最大為100mm,整個(gè)斜面分成兩部(a) (b)圖1、實(shí)驗(yàn)裝置示意圖分,上端1.0m長(zhǎng)的部分用作顆粒儲(chǔ)存，采用不銹鋼片，而且在不銹鋼片側(cè)面連續(xù)粘一層直

6、徑為1.000.02mm的鋼珠作顆粒流動(dòng)通道兩側(cè)的粗糙墻體，在通道出口處均勻放置10個(gè)容器（為了減小容器壁厚對(duì)顆粒計(jì)量的影響，采用0.1mm銅片做成容器，實(shí)驗(yàn)中保證容器壁厚小于0.2mm）接收來(lái)自通道每10mm寬度內(nèi)的顆粒，用精度為1/10000g的電子天平測(cè)量每個(gè)容器內(nèi)的顆粒質(zhì)量計(jì)算容器內(nèi)的顆粒數(shù)，從而確定出口處以相應(yīng)容器為坐標(biāo)的各位置的平均顆粒數(shù)，以此方法來(lái)分析通道單位橫向?qū)挾葍?nèi)顆粒流的平均流量分布，斜面傾角的分辨率為0.5，當(dāng)傾角小于15時(shí)顆粒流的稀疏流狀態(tài)不夠穩(wěn)定，所以實(shí)驗(yàn)過(guò)程中斜面傾斜角從20開始。3、實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析實(shí)驗(yàn)工作由兩部分構(gòu)成，第一部分工作是保持通道寬度不變，僅通過(guò)改變斜面

7、傾斜角改變顆粒所受驅(qū)動(dòng)力的影響，從而影響通道中顆粒流的速度以及密度分布，傾斜角在20至50之間連續(xù)可調(diào)。由于顆粒處于稀疏流狀態(tài)，則顆粒流量可用下面關(guān)系式表示：；因此通道出口處每個(gè)容器內(nèi)的顆?？倲?shù)為：.其中為顆粒流密度，為顆粒在出口處的平均速度，t為時(shí)間，R為容器開口寬度,因?yàn)槌隹谔幦萜骶鶆蚍植?，所以R、t為常量，則實(shí)驗(yàn)所記錄的顆粒數(shù)：。圖2所示的是斜面傾斜角為30時(shí)通道出口處的顆粒分布，縱坐標(biāo)為相對(duì)顆粒數(shù)，橫坐標(biāo)為出口處各容器的相對(duì)位置。由圖可以看出，顆粒在通道內(nèi)呈對(duì)稱馬鞍型分布。在兩側(cè)的顆粒數(shù)分布最少，大約為最大值的四分之一左右，而且在圖2、粗糙邊界（不銹鋼片側(cè)面粘一層1.0mm直徑顆粒），

8、 斜面坡度為30度時(shí)通道內(nèi)顆粒數(shù)的橫向分布邊界附近出現(xiàn)兩個(gè)對(duì)稱的極值。如果改變通道的傾斜角，則出口處顆粒數(shù)分布發(fā)生明顯變化，如圖3所示。三條曲線對(duì)應(yīng)的傾斜角分別為20、30和50，為了便于觀測(cè)，我們將每條曲線分別以其各自的最大值歸一，可以看出，當(dāng)傾斜角為20時(shí)，邊界對(duì)通道中顆粒分布的影響僅局限于邊界附近，通道中間的顆粒流量幾乎相同，隨著傾斜角的增大，顆粒流量出現(xiàn)了極值分布，而且隨著傾斜角的進(jìn)一步增大，流量極值也逐漸趨向通道中間。實(shí)驗(yàn)的第二部分內(nèi)容是保持斜面在30不變而對(duì)通道寬度進(jìn)行調(diào)整，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，隨著通道寬度的改變，顆粒在通道中的分布也發(fā)生明顯變化，當(dāng)通道寬度較小時(shí)，顆粒在通道內(nèi)圖3、粗糙邊界

9、、通道傾斜角分別為20、30和50時(shí)通道內(nèi)顆粒的橫向分布呈現(xiàn)拋物線分布，這和Savage的理論模擬5吻合。但隨著通道變寬，顆粒在通道中的分布逐漸呈現(xiàn)出雙峰，如圖4所示。圖4中(a)、(b)、(c)和(d)對(duì)應(yīng)的通道寬度分別是50d、60d、70d和90d（d是不銹鋼鋼珠直徑），由圖可以看出，在寬度為50d和60d時(shí)通道中的顆粒還是呈拋物線分布，但當(dāng)通道寬度大于等于70d后，通道中的顆粒分布就出現(xiàn)了雙峰。另一個(gè)明顯的現(xiàn)象是無(wú)論在那種通道寬度下，如果斜面傾斜角保持在30不變，則由圖4的(c)、(d)以及圖2可以看到，顆粒分布的峰值始終出現(xiàn)在距離邊界30d左右。而圖3中50所對(duì)應(yīng)的曲線D的峰值很明顯

10、是在距邊界40d的位置。所以有理由推論，在稀疏流狀態(tài)下，由于粗(a) (b)(b) (d)圖4 斜面傾斜角為30，(a)、(b)、(c)和(d)分別是通道寬度分別為50d、60d、70d和90d時(shí)顆粒在通道中的分布，d為不銹鋼鋼珠直徑糙邊界對(duì)通道中顆粒的作用，顆粒流量曲線的峰值將隨著斜面傾斜角的增大而逐漸趨向通道中間。4、討論Goodman等人8根據(jù)顆粒流質(zhì)量、動(dòng)量守恒方程以及邊界條件導(dǎo)出了斜面顆粒流以及垂直通道顆粒流的速度及密度分布。對(duì)寬度為的通道，顆粒的體積分布函數(shù)以及顆粒速度分布可用如下方程描述：其中，X是以通道中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以通道半寬度l歸一的通道橫向坐標(biāo)；為顆粒體積分布函數(shù)，是顆粒

11、流速度分布函數(shù)， g為重力加速度，A、C、E為積分常數(shù)，L是與顆粒運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)的參數(shù)，稱為長(zhǎng)度比率，是顆粒所用材料本身的密度，為粘滯系數(shù)。顆粒體密度可以表示為：。因?yàn)槭浅?shù)，所以實(shí)驗(yàn)所測(cè)量的顆粒總數(shù)。對(duì)于傾斜角為的斜面顆粒流，可以用如下方程描述顆粒流的體積分布與速度分布：采用上述方程擬合實(shí)驗(yàn)結(jié)果，在角度小于30時(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合上述方程。當(dāng)角度為20時(shí)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合如下方程： （M、N歸一化系數(shù)）結(jié)果如圖5所示。圖中實(shí)驗(yàn)曲線是以其最大值歸一后的結(jié)果，擬合曲線是速度與體積分?jǐn)?shù)的積（v.）并以其最大值歸一。 圖5 傾斜角為20時(shí)顆粒的分布與理論擬合結(jié)果，圖中B為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，C為擬合數(shù)據(jù)曲線。同樣，傾斜角

12、30時(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合下列方程：但傾斜角大于45后實(shí)驗(yàn)結(jié)果就不滿足上述方程，這是由于隨著角度的增大覆蓋在通道上方的蓋板對(duì)顆粒流產(chǎn)生一定影響的緣故，對(duì)此我們將做進(jìn)一步研究。此外，盡管實(shí)驗(yàn)上沒(méi)有將顆粒流的密度與速度分別測(cè)量，但是根據(jù)Goodman上述理論擬合結(jié)果來(lái)看，和Gongwen Peng10等人采用LGA（lattice gas automation）方法模擬二維顆粒流的速度分布相吻合，在稀疏流狀態(tài)下，顆粒流的速度分布近似為拋物線分布。導(dǎo)致顆粒流流量分布變化的主要因素是顆粒體積分布函數(shù)隨邊界條件的改變而明顯變化。這一現(xiàn)象說(shuō)明在界面附近存在一顆粒粘滯層。由圖3也可以看到，斜面傾斜角分別為30和50

13、時(shí)顆粒數(shù)分布曲線峰值所對(duì)應(yīng)的通道位置也不相同。、結(jié)論 實(shí)驗(yàn)研究了粗糙邊界二維斜面顆粒流的顆粒流量分布，可以看到，顆粒流在通道中的分布既受通道寬度的影響同時(shí)也受重力場(chǎng)的影響，顆粒在通道中以通道中軸線呈對(duì)稱分布，通道兩側(cè)的顆粒數(shù)明顯少于通道中間，通道邊界明顯影響著顆粒流橫向分布。通過(guò)理論擬合可以推測(cè)，影響顆粒流量分布的主要是通道中顆粒體積分布函數(shù)受粗糙邊界作用發(fā)生改變所致，隨著顆粒所受重力分量的增加，粗糙邊界對(duì)顆粒流的剪切力也隨之增大，導(dǎo)致邊界附近顆粒密度明顯高與通道中間的顆粒密度。顆粒在通道中的速度近似于拋物線分布，影響顆粒流量在通道中分布的主要因素是由于顆粒流受剪切力的作用而導(dǎo)致通道橫向顆粒流

14、密度分布的變化。參考文獻(xiàn)1.W. Chen, M. Hou, K. Lu, Z. Jiang and L. Lam 2001 Phys.Rev.E64 061305.2.Xu Guang-lei,Hu Guo-Qi,Zhang Xun-Sheng et al,2003 Acta Phys.Sin.52(4)875(in Chinese) 徐光磊，胡國(guó)奇，張訓(xùn)生等，2003，物理學(xué)報(bào) 52（4）8753Bao De-Song,Zhang Xun-Sheng,et al, 2003 Acta Phys.Sin.52(2)401(in Chinese) 鮑德松，張訓(xùn)生等，2003，物理學(xué)報(bào) 52（2

15、）4014.J.C.Tasi,W.Losert,G.A.Voth,and J.P.Gollub, Phys Rev E 65,011306(2001).5.S.B.Savage, J.Fluid.Mech.,vol 377,1(1998).6.Dmitri Volfson,Lev S.Tsimring,and Igor S.Aranson, Phys Rev E 68,021301(2003).7.J.T.Jenkins and M.W.Richman,Phys.Fluids 28,3485(1985).8.M.A.Goodman and S.C.Cowin J.Fluid.Mech.,vol

16、 45,part 2,321(1971).9.Gongwen Peng and Takao Ohta. Phys Rev E 55, 6811(1997).Effect of Boundary on the Two-Dimensional Incline Channel For a Dilute Granular Flow Distribution *Zhou Ying, Bao De-Song, Zhang Xun-Sheng, Hu Guo-Qi, Lei Zhe-Min Tang Xiao-WeiDepartment of Physics, Zhejiang University, Ha

17、ngzhou 310027, ChinaKEY WORDS: Two-dimensional granular flow; Granular matter; hydrodynamicsPACC： 4630P;4610;8220M ABSTRACT We investigate experimentally the two-dimensional flow of stainless steel balls through a smooth inclined plane and between two parallel plates that the side walls are rough an

18、d the inclination is adjustable. It is shown that the dynamical behavior of the dilute granular flow is different from the Newtonian fluids because of the energy dissipation. Comparing to the viscous fluids, the velocity profiles of the granular flow are more blunted than the parabolic form and the density profiles are nonuniform. Near the side walls, the density is higher than the center of the channel. The distribution of the density is influenced with the increasing inclination and the width of the