圓中常見地輔助線

1、圓中常見輔助線的做法一.遇到弦時（解決有關(guān)弦的問題時）1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點的半徑。 作用：利用垂徑定理； 利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系； 利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。例:如圖，在以0為圓心的兩個同心圓中， 大圓的弦AB交小圓于C、D二點求證：AC = BD證明：過0作0E丄AB于E9為圓心，0E丄AB AE = BE CE = DE AC = BD練習(xí)：如圖，AB為O O的弦，P是AB上的一點，AB = 10cm，PA = 4cm.求O O的半徑2. 有等弧或證弧等時常連等弧所對的弦或作等弧所對的

2、圓心角例：如圖，已知AB是OO的直徑，MN分別是 AOBO的中點，CM丄AB,DN丄AB,求證： Ac Bd證明：（一）連結(jié)OC OD/ M N分別是AO BO的中點11- OM = AO、ON = BO22/ OA = OB OM = ON/ CML OA DNL OB OC = OD Rt COIW Rt DON/ COA = / DOB Ac BdCB（二）連結(jié) AC OC OD BD/ M N分別是AO BO的中點 AC = OC BD = OD/ OC = OD AC = BD Ac bd3. 有弦中點時常連弦心距例：如圖，已知 M N分別是O O的弦AB CD的中點,AB = CD

3、，求證：/ AMN = / CNM 證明：連結(jié)OM ON/ O為圓心，M N分別是弦AB CD的中點 OML AB ON 丄 CD/ AB = CD OM = ON/ OMN = / ONM/ AMN = 90°/ OMN / CNM = 90°/ ONM/ AMN =/ CNM4. 證明弦相等或已知弦相等時常作弦心距例：如圖，已知O O與O Q為等圓，P為0、O的中點，過P的直線分別交O O、O Q于A、C D B.求證：AC = BD證明：過 O作OM± AB于M,過Q作QN丄AB于N,貝U OM/ O2NOMOfO2NOZp/ OP = O2P OM = O

4、2N AC = BD二.有弧中點（或證明是弧中點）時，常有以下幾種引輔 助線的方法：連結(jié)過弧中點的半徑連結(jié)等弧所對的弦 連結(jié)等弧所對的圓心角例：如圖，已知 D E分別為半徑 OA OB的中點，C為弧AB的中點，求證：CD = CE c為弧ab的中點 Ab ?C證明：連結(jié)OC / AOC =/ BOC/ D E分別為OA OB的中點，且AO = BO11 OD = OE = AO = BO22又 OC = OC CD = CE三.有直徑時常作直徑所對的圓周角，再利用直徑所對的圓周角為直角證題 例：如圖，AB為O O的直徑，AC為弦，P為AC延長線上一點，且 AC= PC,PB的延長線交OO于 D

5、,求證：AC = DC證明：連結(jié)ADp/ AB為O O的直徑 / ADP = 90° / AC = PC1-AC = CD = AP2例（2005年市）如圖2 ,P是O O的弦CB延長線上一點，點A在O O上，且 BAP C。 求證：PA是O O的切線。 PA為O O的切線。n證明：作O O的直徑AD，連BD，貝yCD, ABD90即DBAD 90CBAD I90/ CPAB BADPAB90即 AP ADAP四.遇到90度的圓周角時常常連結(jié)兩條弦沒有公共點的另一端點。作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑練習(xí)：如圖，在 Rt ABC中，/ BCA= 90o ,以BC為直徑的O O交AB

6、于E, D為AC中點，連結(jié)BD交O O于F.求證：BC CFBE EF五.有等弧時常作輔助線有以下幾種:作等弧所對的弦作等弧所對的圓心角作等弧所對的圓周角練習(xí)：1.如圖，O O的直徑AB垂直于弦CD,交點為E, F為DC延長線上一點，連結(jié) AF交O0于M.求證：z/ AMD =Z FMC提示：連結(jié) BM)2.如圖， ABC接于O O, D E在 BC邊上，且 BD = CE，Z 1 = / 2，求證：AB = AC（提示如圖）BC例：已知，如圖，在O O中，AB丄CD OEL BC于E,求證:六.有弦中點時，常構(gòu)造三角形中位線證明：作直徑CF,連結(jié)DF BF/ CF為O 0的直徑 CDL FD

7、又 CDL AB AB/ DF Ad Bf AD = BF OEL BC O 為圓心 CO = FO1 CE = BE OE = BF21-OE = AD2七圓上有四點時，常構(gòu)造圓接四邊形例：如圖， ABC接于O O,直線AD平分/ FAC交O O于 E,交BC的延長線于 D,求證：AB-AC=AD AED證明：連結(jié)BE/ 1 = / 3/ 2 = / 1 / 3 = /2四邊形ACBE為圓接四邊形 / ACD =/ E AB0A ADC AE ABAC AD AB- AC = AD AE八.兩圓相交時，常連結(jié)兩圓的公共弦例：如圖，O O與O O2相交于A、B,過A的直線分別交O O、O Q于

8、C、D,過B的直線分別交O O、O O2于 E、F.求證：CE/ DF證明：連結(jié)AB四邊形為圓接四邊形 / ABF =/C同理可證：/ ABE =Z D/ ABF +Z ABE =o / C+Z D =o CE/ DF九在證明直線和圓相切時，常有以下兩種引輔助線方法：當已知直線經(jīng)過圓上的一點，那么連結(jié)這點和圓心，得到輔助半徑，再證明所 作半徑與這條直線垂直即可 如果不知直線與圓是否有交點時，那么過圓心作直線的垂線段，再證明垂線段 的長度等于半徑的長即可例1如圖，P為O O外一點，以0P為直徑作圓交O O于A B兩點，連結(jié)PA PB.求證：PA PB為O 0的切線證明：連結(jié)0A/ P0為直徑/

9、PAO = 90° OAL PAOA為O O的半徑 PA為O O的切線同理：PB也為O O的切線CD是小例2:如圖，同心圓 O,大圓的弦 AB = CD,且AB是小圓的切線，切點為 E,求證:圓的切線證明：連結(jié)OE過O作OFL CD于 FFOAEB/ OE為半徑，AB為小圓的切線 OEL AB OF 丄 CD, AB = CD OF = OE CD為小圓的切線練習(xí)：如圖，等腰 ABC以腰AB為直徑作O O交底邊BC于 P, PEL AC于E, 求證：PE是O O的切線BD為直 1229215OE AB OB9 AB15 OE15 OE = OB =45 BD = 2 OB=454 A

10、D = AB DB = 15 45154答:15AD的長為L.十.當已知條件中有切線時，常作過切點的半徑，禾U用切線的性質(zhì)定理證題.例：如圖，在 Rt ABC中，/ C = 90 °, AC = 12 , BC = 9 , D是 AB上一點，以 徑的O O切AC于E,求AD長.解：連結(jié)OE貝U OEL AC/ BCL AC OE/ BC OE AO"BC AB在 Rt ABC中，AB = . AC 2 BC2 練習(xí)：如圖，O O的半徑 OMOB點P在0B的延長線上，連結(jié) AP交O O于D,過D作O O的切線 CE交0P于C,求證：PC = CD卜一 遇到兩相交切線時（切線長

11、） 常常連結(jié)切點和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點、連結(jié)兩切點作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到： 角、線段的等量關(guān)系；垂直關(guān)系；全等、相似三角形 十二遇到三角形的切圓時連結(jié)心到各三角形頂點，或過心作三角形各邊的垂線段。作用：利用心的性質(zhì)，可得： 心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線； 心到三角形三條邊的距離相等。在處理心的問題時，常需連結(jié)頂點與心，以便利用切圓的圓心是三角形角平 分線交點這一性質(zhì)。十三遇到三角形的外接圓時，連結(jié)外心和各頂點作用：外心到三角形各頂點的距離相等。十四遇到兩圓外離時（解決有關(guān)兩圓的外、公切線的問題）常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線。作用：利用切線

12、的性質(zhì)； 利用解直角三角形的有關(guān)知識。 十五.遇到兩圓相交時兩個相交圓不離公共弦常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點和圓心等。作用：利用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識; 利用圓接四邊形的性質(zhì)； 利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)；垂徑定理1作相交兩圓的公共弦A、B兩點，過 A、B分別作直線 CD、EF,且CD/EF ,利用圓接四邊形的性質(zhì)或公共圓周角，溝通兩圓的角的關(guān)系。 例1.如圖1,0 0i和O 02相交于 與兩圓相交于C、D、E、F。分析：CE和DF分別是O 0i和O 02的兩條弦，難以直接證明它們相等，但通過連結(jié) AB，則可得圓接四邊形 ABEC和ABFD，利用圓接四邊形的性質(zhì)，則易證明。證明

13、：連結(jié)AB因為 DAB E, CAB F又 DAB CAB 180所以 E F 180 即 CE/DF又 CD/EF所以四邊形CEFD為平行四邊形即CE= DF2.作兩相交圓的連心線利用過交點的半徑、公共弦、圓心距構(gòu)造直角三角形，解決有關(guān)的計算問題。6- 2和4. 3，公共弦長為12。例2. O01和O 02相交于A、B兩點，兩圓的半徑分別為求 0小02的度數(shù)。分析：公共弦01A02的度數(shù)，可利用角的和或差來求解。解：當AB位于01、02異側(cè)時，如圖 2。連結(jié)01、02,交AB于C,則0102 AB。分別在Rt A01C和Rt A02C中，利用銳角三角函數(shù)可求得O1 AC 45 , O2 AC

14、 30故0小0201 AC02 AC 75當AB位于Oi、02同側(cè)時，如圖則 0i AO20i ACO2 AC15綜上可知 0i A0275或15例2 :已知，O 0i與O 02交于A、B ,O 0i的弦AC切O O2于A，過B作直線交兩圓 于D、E。求證：DC/ A呂分析：由口訣“兩個相交圓不離公共弦”，連結(jié)AB,可得/ D=Z CAB,由切線知/ CABM E, 即/ D=ZE即得證。練習(xí)：如圖O 0i和O 02都經(jīng)過A、B兩點。經(jīng)過點 A的直線CD與O 0i交于點C,與 E,與O 02交于點F。求證：CE / DF.例、如圖8,在梯形ABC中，以兩腰 AD BC分別為直徑的兩個圓相交于

15、M N兩點, 過M N的直線與梯形上、下底交于E、F。求證：MN! AB分析：因為MN是公共弦，若作輔助線 OQ,必有 MNLOQ，再由0Q是梯形的中位線，得 OQ/AB，從而易證MNL AB證明 連結(jié)QQ交EF于G => MNLQQ。DQ i=QA,CQ=QB => QQ是梯形 ABC啲中位線=> QQ/AB =>/ EFA玄 EGORt/ => MNLAB說明，由兩圓相交連心線垂直于公共弦想到作連心線。十六.遇到兩圓相切時兩個相切圓不離公切線常常作連心線、公切線。作用：利用連心線性質(zhì)； 弦切角性質(zhì)； 切線性質(zhì)等。例3.如圖4,0 Qi和O 02外切于點P, A

16、是O Qi上的一點，直線 AC切O 02于C,交O Qi 于B，直線AP交O 02于D。求證PC平分 BPD。圖4分析：要證PC平分 BPD，即證 BPC DPC而 BPC的邊分布在兩個圓中，難以直接證明。若過P作兩圓的公切線 PT ,與AC交于T易知 BPC TPB TPC由弦切角定理，得TPB A又 DPC是 APC的一個外角所以 DPC A ACP又 TPC ACP從而有 BPC DPC即PC平分 BPD例3:已知，O Qi和O Q2外切于A,直線BC切O Qi于B,切O 02于C。 求證：AB丄Aq人教版課本P87例4)分析1 口訣“兩個相切圓不離公切線”，過A作兩圓的公切線，則/仁/

17、2, / 3= /4,又/ 1+ / 2+ / 3+ / 4=180,則/ 2+Z 3=90 即 AB 丄 AC分析2: 口訣“兩圓三圓連心線”，連結(jié)OiO2、OiB、O2C,則點A在O1O2上易知OiB / O2C 顯然/ 1 + / 2=90,故 AB 丄 AC1.相切兩圓常添公切線作輔助線.例2 如圖2,已知OO、O Q外切于點P, A是OO上一點，直線 AC切O Cb于點C,交 OQ點B,直線AP交O Cb于點D .(1)求證:PC平分/ BPD;(2)將“O Q與O Q外切于點P” 改為“O O、OQ切于點P”，其它條件不變，中的結(jié)論是否仍然成立？畫出圖形并證明你 的結(jié)論(市中考題)

18、.A圖3 PC平分Z BPD.證明：(1)過P點作兩圓公切線 PQ / QPC2 PCQ,/ QPB=/ A,/ CPD=/ A+Z QCP/ CPDZ CPB,即 PC平分Z BPD(2)上述結(jié)論仍然成立.如圖3,過點P作兩圓公切線 PM則Z MPBZ A. Z BPC玄 MPC-Z MPBZ BCP-Z A=Z CPA,說明：作公切線的“公”字聯(lián)系了小圓弦切角與大圓弦切角2、遇到三個圓兩兩外切時兩圓三圓連心線常常作每兩個圓的連心線。作用：可利用連心線性質(zhì)。3.兩圓三圓時常作連心線作為輔助線例3如圖4,施工工地水平地面上有三根外徑都是1米的水泥管，兩兩外切堆放在一起則最高點到地面距離是 （省

19、中考題）.解：連OQ、QQ、QO,過O作A0丄QQ交O O于A,交 QQ于B芒三馬,從而丄點距地面（専+1）米TO O、O Q、O Q是等圓, OQQ是等邊三角形.說明：三圓兩兩相切時作連心線后注意挑選直角三角形解題十七遇到四邊形對角互補或兩個三角形同底并在底的同向且有相等“頂角” 時常常添加輔助圓。作用：以便利用圓的性質(zhì)。過小圓圓心作大圓半徑的垂線有關(guān)公切線問題常過小圓的圓心作大圓半徑的垂線，構(gòu)造直角三角形。例5.如圖6,0 Oi與O O2外切于點 0,兩外公切線 PCD和PBA切O Oi、O O2于點C、D、B、A，且其夾角為60 , AB 2、一 3，求兩圓的半徑。圖6分析：如圖6,連結(jié)O1O2、OiA、O2B，過點02作。2 E Oi A，構(gòu)造Rt O1O2E，下面很容易求出結(jié)果。十八.相交兩圓中至少有一個圓經(jīng)過另一個圓的圓心，遇到這類問題，