第八章金屬塑性成形問(wèn)題的簡(jiǎn)化求解方法

1、 主應(yīng)力法的數(shù)學(xué)演算比較簡(jiǎn)單。這種方法只能確定接觸面上的應(yīng)力大小和分布。從 所得的數(shù)學(xué)表達(dá)式中，可以看出各有關(guān)參數(shù)(如摩擦系數(shù)、變形體幾何尺寸、?？捉嵌?等的影響。計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和所作假設(shè)與實(shí)際情況的接近程度有關(guān)。 主應(yīng)力法是一種近似的解析法，也是一種簡(jiǎn)化分析法。只有當(dāng)簡(jiǎn)化能獲得靜力容許應(yīng) 力場(chǎng)時(shí)，則所獲得的解才是一個(gè)下限解。 下面以裁面為矩形的無(wú)限長(zhǎng)坯料的水平鐓粗為例說(shuō)明如何應(yīng)用主應(yīng)力法。 高度為 h 、 為 L ,取寬度、 例 4 如圖 8.31,設(shè)長(zhǎng)矩形毛坯在變形某瞬間的寬度為 b 、 高度與長(zhǎng)度等方向分別為 x 軸、 y 軸和 z 軸， y y 因長(zhǎng)度方向的尺寸遠(yuǎn)大于 x 和 y 方

2、向， 可近似地認(rèn)為坯料沿 z 向無(wú)變形，屬于 P x 平面變形問(wèn)題。 + d 用主應(yīng)力法計(jì)算變形力的步驟如下： 1切取基元體。在垂直于 z 軸的截 面(變形平面上取包括接觸面在內(nèi)的高 度為坯料瞬間高度、寬度為 dx 的基元體 圖 8.31 長(zhǎng)矩形板平面鐓粗 x x x (圖 8.31 中陰影部分。采用常摩擦條件，按主應(yīng)力法原理，作用在垂直于 x 軸的左 右兩截面上的應(yīng)力設(shè)為主應(yīng)力。在接觸面上作用著主應(yīng)力和接觸剪應(yīng)力。 2列出基元體沿 x 軸方向的平衡微分方程： x Lh ( x + d x = 積分，得： x dxLh 2µy Ldx= 0 x dx (8.31 整理并寫(xiě)成微分形式：

3、 2µ × y h (8.32 ln y = 既： 2µ x+c h 2µ x h (8.33 y = C e (8.34 3塑性條件 根據(jù)平面變形問(wèn)題的塑性條件,考慮 y 為壓應(yīng)力而 x 為拉應(yīng)力, 塑性條件可寫(xiě)為如下 表達(dá)式: x y = 2 3 s (8.35 d x = d y 5. 邊界條件 在自由面（ x = ± b 2 ）的 x 方向沒(méi)有應(yīng)力，即: x x =± b 2 = 0。 11 6聯(lián)解平衡方程和塑性條件,求出接觸面正應(yīng)力分布: 將式(255、式(34b代入式(34a得: dx d 3 = 2 µ s h

4、 求 積分之，得: x 3 = 2µ s + c h 代入塑性條件和邊界條件，得: 2 b c= s 2µ s h 3 將上式回代， 即得: 2 b 2x y = s 2µ s ( 2h 3 所以，正應(yīng)力沿接觸面成線(xiàn)性分布。 6將 y 沿接觸面積分求鐓粗力 P ，即： P = 2L (8.36 (8.37 (8.38 (8.39 b 2 ( 2 3 0 µ 2 b s + s b 2 µ s xdx = Lb( + µ s h h 3 2h (8.310 7求接觸面單位面積上的作用力 p （單位變形力） ： 2 P b =( + p=

5、 µ s Lb 3 2h (8.311 §8.4 塑性材料力學(xué)法 塑性材料力學(xué)法是蘇聯(lián)力學(xué)家斯米爾洛夫阿遼也夫及其同事在五十年代提出來(lái) 的一種試驗(yàn)解析法。這種方法與主應(yīng)力法不同，不是以板料的整個(gè)變形區(qū)作為研究對(duì) 象，而僅著眼于變形區(qū)中的某一特定試驗(yàn)求得此點(diǎn)的應(yīng)變，再由應(yīng)變確定應(yīng)力。所以這 種方法可以避免繁瑣甚至不可解決的數(shù)學(xué)運(yùn)算，在生產(chǎn)實(shí)踐中便于推廣應(yīng)用。將這種方 法的簡(jiǎn)要步驟介紹如下。 塑性材料力學(xué)法思路： (一根據(jù)問(wèn)題的需要，確定研究點(diǎn)所在部位，用解析計(jì)算法或試驗(yàn)測(cè)定法，求出該 點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)變分量： 1. 解析計(jì)算法 分析變形過(guò)程中研究點(diǎn)所在部位的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，確定其變

6、形主軸，再由板料變形 前后的幾何關(guān)系與體積不變條件，分析計(jì)算三個(gè)主應(yīng)變分量： 1 、 2 、 3 。 2試驗(yàn)測(cè)定法 在毛料表面作出小圓，變形以后，小圓即變?yōu)闄E圓，橢圓的長(zhǎng)短軸即為兩個(gè)主應(yīng)變 的方向。根據(jù)長(zhǎng)、短軸的長(zhǎng)度 2rma 、 2rmi 與小圓的原始直徑 2r0 以及體積不變條件，即確 定毛料在小圓處的三個(gè)主應(yīng)變： 12 1 = ln rma r0 ， 2 = ln rmi ， t = ( 1 + 2 r0 (8.41 （二）根據(jù)三個(gè)主應(yīng)變按下式確定其等效應(yīng)變： 對(duì)于厚向異性材料： 1+ r 2r = 12 + 1 2 + 22 r 1 + 1 + 2r (8.42a） 式中 r 為厚向異

7、性指數(shù),也稱(chēng)為金屬薄板塑性應(yīng)變比，它是薄板在單向拉伸時(shí)寬度方向 的真實(shí)應(yīng)變 b 與厚度方向的真實(shí)應(yīng)變 t 之比，既 = b t ， 值反映了板厚方向與板料 平面方向的塑性差異，既板料的厚向異性。 對(duì)于各向同性材料(r1 = 2 3 12 + 1 2 + 22 (8.42b） （三）根據(jù)材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系： = f ( 確定此點(diǎn)的等效應(yīng)力。 （四）利用板厚方向應(yīng)力為零的條件，根據(jù)以下各式計(jì)算板面內(nèi)的主應(yīng)力 對(duì)于厚向異性材料： 1+ r 1+ r 1 r t ， 1 = 2 r t 1 = 1 + 2r 1 + 2r 對(duì)于各向同性材料(r1： 2 2 1 t ， 1 = 2 t 1 = 3 3 (

8、五利用靜力平衡條件，由主應(yīng)力計(jì)算變形力。 (8.45a） (8.45b 例 5 用直徑 D0 = 95 mm 的圓板壓延成直徑 d50mm 的筒形件。壓延前在毛料表 面直徑 80mm 處作一小圓，小圓直徑為 2.50mm，在壓延某一階段，小圓變?yōu)闄E圓，測(cè)得 其長(zhǎng)軸(沿坯料徑向?yàn)?2.81mm，短軸(沿坯料周向?yàn)?2.12mm。假定材料的一般性應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系為： = 54.7 0.23 ，厚向異性指數(shù) r1.30，試確定小圓的主應(yīng)變和主應(yīng)力分量。 解： (1小圓的三個(gè)主應(yīng)變 2.12 = 0.166 周向 : = ln 2.50 徑向： r = ln 2.82 = 0.117 2.50 厚向 :

9、 t = ( + r = 0.049 (2小圓的等效應(yīng)變，由式(8.4-2a得： 1 + 1.3 2 × 1.3 0.166 2 = × 0.166 × 0.117 + 0.117 2 = 0.168 1 + 1.3 1 + 2 × 1.3 (3由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求出等效應(yīng)力： = 54.7 × 0.168 0.23 = 36.29 (4利用式（8.4-5a） ，可以求得小圓處之徑向應(yīng)力及切向應(yīng)力為： 1 + 1.3 36.29 × r = 0.117 1.3 × 0.049 16 (kgf/mm 1 + 2 × 1.

10、3 0.168 13 = 1 + 1.3 36.29 × 0.166 1.3 × 0.049 23 (kgf/mm 1 + 2 × 1.3 0.168 如果在突緣變形區(qū)的坯料上，預(yù)先作出一系列小圓，即求出變形區(qū)各處的應(yīng)力應(yīng)變 分布。 例 2 在薄板上利用橡皮壓制成形圖 8.42 所示之環(huán)狀筋。 假定板料厚度為 t， 材料 一般性應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)為: = B n 。筋的寬度為 b，筋的弧長(zhǎng)為 l。忽略材料的厚向異性 及筋邊沿圓角的影響，試估算： (1筋的三個(gè)主應(yīng)變； (2筋的三個(gè)主應(yīng)力； P (3成形所需之單位壓力。 r 解： l (1筋的三個(gè)主應(yīng)變： l 徑向： r = ln b 周向： = 0 l 厚向： t = r = ln b 圖 8.42 圓板壓筋 (2筋的等效應(yīng)變及等效應(yīng)力： l 2 2 = r = ln 3 3 b l 2 = B n = B ( ln n