巧用定義解決雙曲線常見問題(精)

1、巧用定義解決雙曲線的常見問題現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修 2-1第三章，介紹了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程既簡(jiǎn)單的 幾何性質(zhì)。學(xué)生們學(xué)習(xí)雖然感到以上只是簡(jiǎn)單也比較好掌握。但涉及解決與雙曲線有關(guān)的問題時(shí)，老師存在一些不得心應(yīng)手的感覺。在教學(xué)中，本人通過對(duì)教材的分析和學(xué)生學(xué)習(xí)情況調(diào)查認(rèn)為，深入理解雙曲線的定義。靈活運(yùn)用雙曲線的定義就可以解決雙曲線常見的問題。一、巧用定義解決求值問題2 2例1、 雙曲線 y 1上一點(diǎn)P與左右焦點(diǎn)F|, F2構(gòu)成二FfF?，求二FfF?的內(nèi)切 94圓與邊FiF2的切點(diǎn)N的坐標(biāo)。分析：設(shè)點(diǎn) P在已知雙曲線的右支上，要求點(diǎn)N的坐標(biāo)。即求 ON的長(zhǎng)度，而ON = OF? - OR

2、 ,其中OF? =c = U13 ,只需求NF?的長(zhǎng)度，即NF?是圓O M的一條切線長(zhǎng)，可用平面幾何知識(shí)（切線長(zhǎng)定理）求解。解：設(shè)點(diǎn)P在已知雙曲線的右支上，由題意得NF2PF2 非| |PF!PF2 PF= -2a ,NF_a ,2又.c = 13 , a=3 ,二 NF2 =3-3，又 OF2 =c = M3，二 ON =OF當(dāng)點(diǎn)P在已知雙曲線的右支上時(shí),時(shí)，切點(diǎn)N為頂點(diǎn)（-3,0）- NF2 二 13-（ .一13-3）切點(diǎn) N為頂點(diǎn)（3,0），當(dāng)點(diǎn)P在已知雙曲線的左支上例2、 已知Fp F2是雙曲線x2=1的左右焦點(diǎn)， A為雙曲線的左頂點(diǎn)，916P在雙曲線的左支上， PF2F : , p

3、f1f2八，求tan :2Pcot 的值2分析：如右圖，先做出 .pf1f2的內(nèi)切圓oM，則O M切F1F2于點(diǎn)A ,MA等于內(nèi)2切圓的半徑。且 MF2R , MF1A=-2 2解：做出 PF1F2的內(nèi)切圓OM，則O M切F1F2于點(diǎn)A ,mf2f1PMF12atan2AMAF2Pcot -2af2c -aAM從壯r, tan cot-r2282 22設(shè)Fp F2是曲線G :6-1的焦點(diǎn)，P為曲線c2：-y= 2a, PR = 4a，在也PRF?中，結(jié)合雙曲線的圖像 |PFi +|PF2糾FT?，=1與G的一個(gè)23交點(diǎn)，則PFl PF2的值|PFJ 懺2分析:利用雙曲線及橢圓的定義找出PFi、

4、 PF?之間的關(guān)系。解析:設(shè) |PF1PF2不妨設(shè)m n，顯然橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)(_2,0)，由橢圓和雙曲線的定義可知m n =2 6且m - n -23m = 6 3 ， n = 6 -3在三角形-PF| F2中，由余弦定理可知cos F1PF2 -pf+圧|2 - F1F2I22PF1 PF2m2 n2 -(2c)2 _ 12mn3PF1 PF2 TPF23PF1HPF2二、利用定義解決離心率問題22例4、 已知R、F2是雙曲線 篤-篤 -1的左右焦點(diǎn)，過 R作傾斜角為a b30o的直線交雙曲線右支于 M點(diǎn)，若MF2垂直于x軸，求雙曲線的離心率.解析：由題意的兀2鹿F1F2 = 2c， M

5、F2 = 2c tan63MFi =2cncos64 3c由3定義知MF1MF20 Q二c = 2a，貝y e -3。32 2例5、已知雙曲線 務(wù)- = 1的左右焦點(diǎn)分別為F1c,0) F2 (c,0)若雙曲線上存在一a b點(diǎn)P使得PF1 =2PF2，求雙曲線離心率的范圍。解析：由雙曲線的定義 |PF|-PF圓與雙曲線交于不同的四個(gè)點(diǎn)，順次連接焦點(diǎn)和這四個(gè)頂點(diǎn)恰好組成一個(gè)六邊形,球雙曲線的離心率。TTTT解析：設(shè)P為圓與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)，則.FjPF2，. pF1F2，在23I31TC；RUF1PF2 中，PF2 - PFj =2csin _2ccos= c(p3+1) = 2a33e

6、= = . 31a三、緊扣定義求動(dòng)點(diǎn)的軌跡2 2例7、已知雙曲線x2 一 y2 =1的左右焦點(diǎn)分別為 Fl、F2，P為雙曲線上任意一點(diǎn),a b.F1PF2的內(nèi)角平分線丨的垂線，設(shè)垂足為 M，求點(diǎn)M的軌跡。解析：如圖延長(zhǎng) F2M交F1P于N由角平分線及垂直關(guān)系得PF2 = PN，有0M是nf 11AF1F2N 的中位線，從而PF1, PN ) = ?( PF1 PF2,) = a，故OM =a為定值，即點(diǎn)M的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，a為半徑的圓(去掉與x軸的交點(diǎn))方程為x 2x y一P點(diǎn)的軌跡為1(x 一-4)169四、巧用定義解決特殊問題1、求最值2例10、已知F F2是雙曲線X2-)1的左右

7、焦點(diǎn)，M(-6,6)是雙曲線內(nèi)部一點(diǎn)， P為 + y2 =a2(x式a)例8已知A( -7,0)，B(7,0), C(2,12),若雙曲線兩支分別過2 2 2 2例 9、已知O A : (x 5) y =49, O B : (x - 5) y = 1,若O P 與O A 內(nèi)切與O B 外切，求O P的圓心的軌跡方程。解析：O A : (x 5)2 y 49，圓心 A(5,0)，半徑 * = 7 ,O B : (x -5)2 y2 =1 圓心 B(5,0)，半徑 r1，由題意的 PA =r -1, PB =r 1。PB |PA =(r 1) -(r -7) =8，即P是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左

8、支。2 2 22a =8 , a=4 , 2c =10, c=5, b =c - a =4。雙曲線右支上一點(diǎn)，求 PM|的最小值解析：如圖雙曲線的定義 |PFPF? =2a=2,即卩PF=PF2 -2PM + PF =|PM I + PF2 2Z|MF2 -2= J(-6_2)1 cos 日2 +62 _2 = 8 當(dāng)且僅當(dāng)F2、P、M三點(diǎn)共線時(shí)“二”成立。2、求三角形的面積2 2例11、已知雙曲線方程為篤-當(dāng) (a b .0),兩焦點(diǎn)分別為Fi,F2,設(shè)焦點(diǎn)三角形a b2 0PFF2 中.FPF2 _ 3 證明：S牟pf2 =b cot 3。證明QQQ(2c)|F1F2 =|PR +|PF2 -2PFPF2 cos0= (PFi PF?)2 2PR PF2(1cosRPFPF?= 一怦卜咱)2一4如2一4=2(1 -cosR