第三章《數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 復數(shù)》學案(新人教A版選修1-2)

1、復數(shù)復習學案一知識結構由于復數(shù)在整個高中數(shù)學所處的地位的改變，今后高考時復數(shù)不會有太多太高的要求，試題數(shù)量穩(wěn)定在一道試題，難度不會太大，復數(shù)的概念及復數(shù)的運算是復數(shù)應用的基礎，是高考考查的重點，復數(shù)的運算是復數(shù)的中心內(nèi)容，是高考命題的熱點。而復數(shù)的乘、除更是考查的重點，主要考查基本運算能力，另外復數(shù)的有關概念眾多，涉及知識面廣，易與三角、幾何、向量知識、不等式等結合起來考查。三技巧方法1、 設zabi(a,bR),利用復數(shù)相等轉化為實數(shù)問題是解決復數(shù)問題常用的方法，同時要學會以整體的角度出發(fā)去分析和求解，如果遇到復數(shù)就設zabi(a,bR),有時帶來不必要的運算上的困難，若能把握住復數(shù)的整體性

2、質(zhì)，充分運用整體思想求解，則能事半功倍。2、 在簡化運算中，如能合理運用i和復數(shù)的模等有關的性質(zhì)，常能出奇制勝，事半功倍，所以在學習中注意積累并靈活運用。3、 性質(zhì)：zz=|z|2=|z|2是復數(shù)運算與實數(shù)運算相互轉化的重要依據(jù)，也是把復數(shù)看作整體進行運算的主要依據(jù)，在解題中加以認識并逐漸領會。4、 學習本章時，應注意聯(lián)系全面學過的實數(shù)的性質(zhì)，實數(shù)的運算內(nèi)容，以便對復數(shù)的知識有較完整的認識。四、注意點析1、 要注意實數(shù)、虛數(shù)。純虛數(shù)、復數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別，實數(shù)集和虛數(shù)集都是復數(shù)集的真子集，它們的并集是復數(shù)集，它們的交集是空集，純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集，2、 當概念擴展到復數(shù)后，實數(shù)集R中的一些

3、運算性質(zhì)、概念、關系就不一定適用了，如不等式的性質(zhì)、絕對值的定義、偶次方非負等。3、 熟練掌握復數(shù)乘法、除法的運算法則，特別是除法法則，更為重要，是考試的重點。五、思想方法1、 數(shù)形結合這是本章的主要數(shù)學思想，例如復數(shù)本身的幾何意義及四則運算的幾何意義等。圖形要畫得合乎題意，充分利用圖形的直觀性，簡捷巧妙的解題。2、 方程的思想，主要體現(xiàn)在復數(shù)相等的充要條件和復數(shù)方程。3、轉化思想，轉化思想是復數(shù)的重要思想方法，既然在實數(shù)的基礎上擴展到復數(shù)，自然復數(shù)中的許多問題都可以轉化到實數(shù)集內(nèi)解決，如求模運算，復數(shù)相等的充要條件及zz=|z|2=|z|2等，進行復數(shù)與實數(shù)間的轉化。4、分類討論思想：它是一

4、種比較重要的解題策略和方法，在復數(shù)中它能夠使復雜問題簡單化，從而化整為零，各個擊破。5、主要方法有：待定系數(shù)法、整體法；待定系數(shù)法是利用復數(shù)的代數(shù)形式，設復數(shù)zabi的形式代入，再利用復數(shù)相等或其它途徑，轉化為與a，b相關的等式，求出a，b即可得到復數(shù)z。在復數(shù)學習中有必要根據(jù)條件與待求結論的特點，通過研究問題的整體形式、整體結構或作某些整體處理，這樣往往可以避繁就簡，化難為易，順速解決問題。 六、典例分析1、基本概念計算類例1若z1=a+2i,z2=3-4i,且z1為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為_ z2解：因為，z1a+2i(a+2i)(3+4i)3a+6i+4ia-83a-8+(6+4a)i=，

5、 3-4i(3-4i)(3+4i)2525z2又z18為純虛數(shù)，所以，3a80，且64a0。a= 3z22、復數(shù)方程問題2例2證明：在復數(shù)范圍內(nèi)，方程|z|+(1-i)z=5-5i（i為虛數(shù)單位）無解。 2+i證明：原方程化簡為|z|+(1-i)z-(1+i)z=1-3i,設zxyi(x、yR)，代入上述方程x2+y2=12得x+y-2xi-2yi=1-3i. 整理得8x-12x+5=02x+2y=322=-16<0.方程無實數(shù)解，所以原方程在復數(shù)范圍內(nèi)無解。點評：本題主要考查復數(shù)方程等知識，一般是設Z的代數(shù)形式，利用復數(shù)相等的充要條件轉化為代數(shù)方程。3、綜合類例3設z是虛數(shù)，=z+1是

6、實數(shù)，且1<<2 z（1） 求|z|的值及z的實部的取值范圍；（2） 設M= 1-z，求證：M為純虛數(shù)； 1+z2（3） 求-M的最小值。分析：本題考查復數(shù)的概念、復數(shù)的模、復數(shù)的運算及不等式的知識，以及運算能力和推理能力。解：（1）設zabi（a，bR,b0）1ab=(a+2)+(b-)i, 因為，是實數(shù)，b0 a+bia+b2a2+b2122所以，a+b=1，即|z|1， 因為2a，1<<2，-<a<1 2=a+bi+所以，z的實部的取值范圍（1,1）。 21-z1-a-bi(1-a-bi)(1+a-bi)1-a2-b2-2bibi（2）M=（這=-22

7、1+z1+a+bi(1+a+bi)(1+a-bi)a+1(1+a)+b里利用了（1）中a+b=1）。 因為a（2221,1），b0，所以M為純虛數(shù)。 2b21-a2a-1（3）-M=2a+ =2a+=2a-22a+1(a+1)(a+1)21=2(a+1)+-3 a+1a+112因為，a（,1），所以，a1>0， 所以-M2×231， 212當a1，即a0時上式取等號， 所以，-M的最小值是1。 a+1=2a-1+點評：本題以復數(shù)的有關概念為載體，考查學生的化歸能力，考查了均值不等式的應用，綜合考查學生運用所學知識解決問題的能力。正是高考的重點。4、創(chuàng)新類 例4對于任意兩個復數(shù)z

8、1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,x2,y1,y2R)定義運算“”為設非零復數(shù)1,2在復平面內(nèi)對應的點分別為Pz1z2x1x2+y1y2，1,P2,點O為坐標原點，若120，則在P1OP2中，P1OP2的大小為_.分析：本題立意新穎，解題入口寬，是一道不可多得的好題。解法一：（解析法）設1=a1+b1i,2=a2+b2i(a1,a20)，故得點P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，且a1a2+b1b20，即b1b2=-1 a1a2從而有kOP11kOP22b1b20=-1 故OP1OP2,也即P1OP2=90 a1a2解法二：（用復數(shù)的模）同法一的假設，知2222|OP1|=|1|=a1+b122 |OP2|2=|2|2=a2+b2222|P1P2|=|1-2|=|(a1-a2)+(b1-b2)i|a1+b1a2+b22（a1a2+b1b2）a1+b1a2+b22×0a1+b1a2+b2|OP2| 1