不可約多項式的判定及應(yīng)用(黃嘉盛)詳解

1、不可約多項式的判定及應(yīng)用摘要多項式理論是高等代數(shù)的重要組成部分，而不可約多項式是多項式中重要的概念.本文主要對有理數(shù)域上不可約多項式的判別方法進(jìn)行整理歸納，較為系統(tǒng)的給出不可約多項式的判定方法。對于一般的不可約多項式的判定有Eisenstein判別法、Kronecker判別法、Perron判別法、Browm判別法等。研究了各判定方法的等價和包含關(guān)系。此外，我們還給出了不可約多項式的一些應(yīng)用。關(guān)鍵詞不可約多項式；判定方法；應(yīng)用2.不可約多項式的概念及性質(zhì)2.1 整除的概念設(shè)P是一個數(shù)域，對于Plx中任意兩個多項式f(x)與g(x),其中g(shù)(x)/0,一定有Plx中的多項式q(x),r(x)存在，

2、使得f(x)=q(x)g(x)r(x)成立，其中a(r(x)ca(g(x)或者r(x)=0,并且這樣的q(x),r(x)是唯一決定的。定義2.1數(shù)域P上的多項式g(x)稱為能整除f(x),如果有數(shù)域P上的多項式h(x)使等式f(x)=g(x)h(x)成立，我們用'g(x)|f(x)”表示g(x)整除f(x),用g(x)f(x)”表示g(x)不能整除f(x)。定理2.11對于數(shù)域P上的任意兩個多項式f(x),g(x)，其中g(shù)(x)#0,g(x)|f(x)的充分必要條件是g(x)除f(x)的余式為零。證明：如果r(x)=0那么f(x)=q(x)g(x)，即g(x)|f(x)。反過來，如果g

3、(x)|f(x),那么f(x)=q(x)g(x)=q(x)g(x)+0,即r(x)=0。注1：帶余除法中g(shù)(x)必須不為零。下面介紹整除性的幾個常用性質(zhì)：(1)如果f(x)|g(x),g(x)|f(x)，那么f(x)=cg(x),其中c為非零常數(shù)。(2)如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),那么f(x)|h(x)(整除的傳遞性)。(3)f(x)|g(x),f(x)|g(x)i=1,2JH，r,那么f(x)|(Ui(x)gi(x)+U2(x)g2(x)+|”+u.(x)gr(x)b其中Ui(x)是數(shù)域P上任意多項式。12.2 本原多項式若是一個整系數(shù)多項式f(x)的系數(shù)互素，那么f(x)叫

4、做一個本原多項式。2.3 有理數(shù)域上多項式的等價設(shè)g(x)有理數(shù)域上的一個多項式，若g(x)的系數(shù)不全是整數(shù)，那么以g(x)系數(shù)分母的一個公倍數(shù)乘g(x)就得到一個整系數(shù)多項式f(x)。顯然，多項式g(x)與f(x)在有理數(shù)域上同時可約或同時不可約。2.4 多項式的不可約相關(guān)概念在中學(xué)我們學(xué)過一些具體方法，把一個多項式分解為不能再分的因式的乘積，但并沒有深入探討和討論這個問題，并沒有嚴(yán)格地論證它們是否真的不可再分，所謂不可再分的概念，其實不是絕對的，而是相對于系數(shù)的數(shù)域而言，有例如下把x4-9進(jìn)行分解，可分解為x-9=x23x2-3但這是相對于有理數(shù)域而言的，對于實數(shù)域來說還可分進(jìn)一步為X49

5、=X23x-.3x3而在復(fù)數(shù)域上，還可以再進(jìn)一步分解為X4-9=x.3ix-J3ix,3x：/3由此可見，必須明確系數(shù)域后，所謂的不可再分，才有確切的涵義。在下面的討論中，仍然須選定一個數(shù)域P作為系數(shù)域，數(shù)域P上多項環(huán)Px中多項式的因式分解相關(guān)的不可約定義如下定義2.4.1數(shù)域P上的次數(shù)對的多項式p(x)稱為域P上的不可約多項式，如果它不能表示成數(shù)域P上兩個次數(shù)比p(x)的次數(shù)低的多項式的乘積。我們要談的多項式的不可約性問題的相關(guān)事實如下(1) 一次多項式總是不可約多項式；(2) 一個多項式是否不可約是依賴于系數(shù)域的；(3)不可約多項式p(x)與任一多項式f(x)之間只能是有兩種關(guān)系，或者p(

6、x)|f(x)或者(p(x),f(x)=1,事實上，如果(p(x),f(x)=d(x),那么d(x)或者是1,或者是cp(x)(c=0),當(dāng)d(x)=cp(x)時，就有p(x)|f(x)。12.5 有理數(shù)域上不可約多項式的定義如果f(x)是有理數(shù)域上次數(shù)大于零的多項式且不能表示成有理數(shù)域上兩個次數(shù)比它低的多項式的乘積，則f(x)稱為有理數(shù)域上的不可約多項式。3.有理數(shù)域上不可約多項式的判定方法3.1 Eisenstei睢U別法1在高等代數(shù)中，Eisenstein判別法是最為經(jīng)典和著名的，也是現(xiàn)行有理數(shù)域上不可約多項式判定判定方法中最為實用的。而人們長久以來的研究衍生出了許多不同的方法。3.1.

7、1 直接判別法2定理3.1.1設(shè)f(x)=anxn+,+a0是-一個整系數(shù)多項式，其中n*,設(shè)存在一個素數(shù)P,使得P不整除劣,p整除a(i<n)但p2不整除如，那么多項式f(x)在有理數(shù)域上不可約。3.1.2 間接判別法對于分圓多項式不能直接應(yīng)用Eisenstein判別法，可以做適當(dāng)?shù)淖冃沃蟊憧梢詰?yīng)用了。在學(xué)習(xí)的過程中，面對此類問題，因為其系數(shù)較高，不能用定義法去判定。我們所學(xué)的也只有Eisenstein判別法，但不能直接運用?？紤]到多項式的等價，對多項式我們可以做適當(dāng)代換x=ay+b,這樣產(chǎn)生了Eisenstein判別法的間接判別法。定理3.1.2有理系數(shù)多項式f(x)在有理數(shù)域上不

8、可約的充分必要條件是：對于任意的有理數(shù)a#0和b,多項式f(ax+b)在有理數(shù)域上不可約。例1證明f(x)=攵+在Q上不可約。證明：f(x1)=(x1)41=x44x36x24x2取p=2,則p不整除1,p整除4,6,2,p2不整除2由Eisenstein判別法知f(x+i)在Q上不可約，因此f(x)在Q上不可約。3.1.3 其他派生出的判別法這種由Eisenstein判別法派生出的方法與Eisenstein判別法相類似，能夠用來判定Eisenstein判別法所不能判定的一類有理數(shù)域上的不可約多項式。定理3.1.3設(shè)f(x)=%xn+%一："+ax+a是一個整系數(shù)多項式,如果存在一個

9、素數(shù)p,使p整除常數(shù)項比但整除其他各項系數(shù)且P2不整除最高次數(shù)項系數(shù)，那么多項式在有理數(shù)上不可約。例2下列多項式在有理數(shù)域上是否可約？x2+1；(2)x48x3+12x2+2；x6+x3+1xP+px+1,p為奇素數(shù)；(5)x4+4kx+1,k為整數(shù).解：(1)令*=丫+1,則有g(shù)(y)=f(y1)=(y1)21=y22y2取素數(shù)P=2,由于21,2|2,但是222故由Eisenstein判別法可知，g(y)在有理數(shù)上不可約，從而f(x)=x2+1在有理數(shù)域上也不可約。(2)取素數(shù)p=2,則21,2|-8,2|12但是222故由Eisenstein判別法可知，該多項式在有理數(shù)域上也不可約。(3

10、)令x=y+1,代入f(x)=x6+x3+1，得g(y)=f(y1)=y66y515y421y318y29y3取素數(shù)p=3。由于31,3|6,3|15,3|21,3|18,3|9,3|3，但是323,故由Eisenstein判別法可知，g(y)在有理數(shù)上不可約，從而f(x)在有理數(shù)域上也不可約。令x=y-1，代入f(x)=xp+px+1，得g(y)=f(y-1)=yp-CpypiCpyp-Hl-Cp)y2Cpppy-p由于p是素數(shù)，且p|1,p|cp,(i=1,2,111,p-2)p|(c：+p)p2|p,故由Eisenstein判別法可知，g(y)在有理數(shù)上不可約，從而f(x)在有理數(shù)域上也

11、不可約。(5)令*=丫+1,代入f(x)=x4+4kx+1,得g(y)=f(y1)=y44y36y2(4k4)y4k2取素數(shù)p=2,由于21,又2|4,2|6,2|(4k+4),2|(4k+2),但22(4k+2),故由Eisenstein判別法可知，g(y)在有理數(shù)上不可約，從而f(x)在有理數(shù)域上也不可約。3.2 Kronerker判別法2定理3.2.1設(shè)f(x)wQlxl,這里Q為有理數(shù)域。則在有限步下f(x)能分解成不可約多項式的乘積。(只考慮整系數(shù)多項式的情形)例3證明f(x)=x5+1在Q上不可約。5r證明：s=2<取a0=-1,a1=,0,a2=1,2則f(-1)=0,f(

12、0)=1,f(1)=2f(-1)=0,f(0)=1,f(1)=2從而f(-1)的因子是0,f(0)的因子是1,f(1)的因子是1,故令g(-1)=0,g(0)=1,g(1)=1；g(-1)=0,g(0)=0,g(1)=2應(yīng)用插值多項式:g1(x) = 0(x_JXx-1).(x-JXx-0)=1(x2_x_2)(01)(0-1)(11)(1-0)2g2(x)(0 1)(0 -1)(1 1)(1-0)由帶余除法可知,g1(x)不整除f (x)g2(x)不整除f (x),所以f (x)在Q上不(x1)(x-1)2(x1)(x-0)=0=x1可約。3.3 Perron判另fj法3定理3.3.1設(shè)f(

13、x)=xn+國07+斗)7+-,+80e#0是多項式，如果|an">1+|anN|十同工|十十值|+|a°|,則f(x)在Q上不可約。例4證明f(x)=x5+4x4+x2+1在Q上不可約證明：該題不滿足艾森斯坦判別法，但其為整系數(shù)多項式，滿足Perron判別法的條件，由題意可知4>1+1,所以據(jù)Perron判別法可知該多項式在Q上不可約。3.4 Brown判別法3定理3.4.1設(shè)f(x)是n次整系數(shù)多項式，令S(f)-|f(-1)l，|f(0)|,f(1)Ni表示S(f)中1的個數(shù)，Np表示S(f)中的素數(shù)的個數(shù)，如果Np+2N1An+4,則f(x)在Q上不可約

14、。例5證明f(x)=2x3-x2+x-1在Q上不可約證明：f(0)=-1,f(1)=1,f(-1)=-5,f(2)=13,f(2)=-23,f(3)=47二Np>4,N1至2故Np+2N1>8>4+3所以多項式在Q上不可約。3.5 多項式無有理因式判別法7定理3.5.1設(shè)“刈=20+於+小乂是一個整系數(shù)多項式，若f(x)沒有次數(shù)小于和等于r的有理因式，并且存在素數(shù)P,使：(1) p至少不整除ana"、為一中的一個(2)p|a,i=0,1,2,n-r-1p2|a0那么，f(x)在有理數(shù)域上不可約。定理3.5.2設(shè)£(刈=%+2由+,-+小乂0是一個整系數(shù)多項

15、式，若f(x)沒有次數(shù)小于和等于r的有理因式，并且存在素數(shù)P,使：(1) p至少不整除比昌，中的一個(2) p|ai，i=r1,r2,n(3) p2|an那么，f(x)在有理數(shù)域上不可約。這種方法在應(yīng)對沒有不小于二次的有理因式的判定時，因為其需要計算機(jī)計算來得到，所以在此種情況下，沒有克羅奈克的方法更加的簡便。3.6模p約化處理判定法網(wǎng)定理3.6.1f(x)=a0+&x+anxnwZx(an=0,n之2),p是素數(shù)，p|a山p|a0,ai,&/,p2la,pia-b,其中b1aan,則f在Q區(qū)中不可約。p定理3.6.2f(x)=a0+&x十十a(chǎn)nxnwZx(an0,n&

16、gt;2),p是素數(shù)，p|ai,p|a?®,an,p2|3,p|a1-b,其中blaan,則f(x)在Q區(qū)中不可約。p定理3.6.3f(x)=a0+&x+anxnwZx(an=0,n之2),p是素數(shù)，p|§(0<j<n),p|a0,ai,aj,aj+，斯，p2la,an,pfa-b其中blaan,則f(x)在Qxp中不可約。定理3.6.4f(x)=a0+a1x十十a(chǎn)nxnwZx(an#0,n23),p是素數(shù)，1«i4n2,p|舊同由，p|a0,a1,',司.aye如-©,p2|a0,an,p|aha+-b,其中b|a|n,f(

17、x)無理想根，則f(x)在Qx中不可約。p例6判斷以下多項式在Qx中是否可約：(1)fi(x)=5xn7xn-1-22(n.2);(2)f2(x)=7xn2000x57(n.6);(3)f3(x)=597x992008x1005xn(n100).解：(1)11|an=7,11|a0,ai,a_,1121a0=22,1117b其中b|支單=-10，由定理2.5.1,i(x)在Qx中不可約.11(2)71a5=2007,71a0,現(xiàn)刀2,a3,&,%,a7,an,7|2000-b其中b|aOn=1,由定理2.5.3,f2(x)在Qx中不可約.(3)5|a=97,胡。=2008,5整除其余各

18、項系數(shù)，52|a0=5a=5,5|97-b,2008-b,其中b|aan=1,因為fs(x)的系數(shù)全為正數(shù),5所以f3(x)的有理根只可能為負(fù)數(shù)，設(shè)V,(U,V)=1,UA0,V<0是f3(x)的有理根,u則u|5,v|5,u=-1,七,丫=-1,-5二RcW-1,-5二,所以生均不是整式，所以u55'1-c無有理根，由定理2.5.4,f3(x)在Qx中不可約。4 .兩類特殊不可約多項式的判定4.1 奇次不可約多項式的判定9定理4.1.1對于整系數(shù)奇次多項式f(x)=a2n1x2n1a2nx2na2x2axa0(nN)若存在素數(shù)P使得(1) p|an4,an也,a2n(2)p2|

19、a0,a0,an(3) p|a2n+(4)p3.|a。那么，f(x)在有理數(shù)域上不可約。4.2 系數(shù)為1的不可約多項式的判定10n定理4.2.1已知fn(x)=£xi(nwN,n之2)是系數(shù)為1的多項式。當(dāng)n為奇數(shù)時，i=0fn(x)在Qx上可約;當(dāng)n為偶數(shù)時，如果n+1為合數(shù)，fn(x)在Qx上可約，如果n+1為素數(shù)，fn(x)在Qx上不可約。n推論4.2.2已知fn(x)=£(-1)ixi(nwN,n之2)是系數(shù)在Q的多項式。當(dāng)n為奇數(shù)iz0時，fn(x)在Qx上可約；當(dāng)n為偶數(shù)時，如果n十1為合數(shù)，fn(x)在Qx上可約，如果n+1為素數(shù)，fn(x)在Qx上不可約。n

20、推論4.2.3已知fn(x)=£xki(nwN,n22,k為正整數(shù))是系數(shù)在Q的多項式。當(dāng)n為i=0奇數(shù)時，fn(x)在Qx上可約；當(dāng)n為偶數(shù)時，如果n+1為合數(shù)，fn(x)在Qx上可約。5 .不可約多項式的應(yīng)用5.1 不可約多項式在重因式中的應(yīng)用1定義5.1.1不可約多項式p(x)稱為多項式f(x)的k重因式，如果pk(x)|f(x),而pk*(x)|f(x)。如果k=0,那么根本不是f(x)的因式；如果k=1,那么稱為f(x)的單因素；如果k>1,那么稱為f(x)的重因式。如果f(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式為f(x)=cpir1(x)p2r2(x)Psrs(x)那么R(x),P2,(

21、x)，,Pr(x)分別是f(x)的r1重，2重，%重因式。定理5.1.2如果不可約多項式p(x)是f(x)的k重因式(k之1),那么它是微商f'(x)的k-1重因式。推論5.1.3如果不可約多項式p(x)是f(x)的重因式，那么p(x)是f(x),f'(x),f("(x)的因式，但不是f(k)(x)的因式。推論5.1.4不可約多項式P(x)是f(x)的重因式的充分必要條件為P(x)是f(x)與f'(x)的公因式。作為重因式的概念定義的基礎(chǔ)，不可約多項式的應(yīng)用從此可見一斑。5.2 不可約多項式在多項式互素中的應(yīng)用定理5.2.1Px中兩個多項式f(x),g(x)互

22、素的充要條件是有Px中的多項式u(x),v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1。定理5.2.2如果(f(x),g(x)=1,且f(x)|g(x)h(x)，那么f(x)|h(x)。例7證明：如果(f(x),g(x)=1,(f(x),h(x)=1,那么(f(x),g(x)h(x)=1.解：假設(shè)(f(x),g(x)h(x)#1,則一定存在不可約多項式P(x)P(x)0使得P(x)|f(x)和P(x)|g(x)h(x)又因為P(x)不可約，則有P(x)|g(x)或P(x)|h(x)這樣(f(x),g(x)尸1或(f(x),h(x)產(chǎn)1,與條件矛盾。所以(f(x),g(x)h(x)=1.7例8

23、設(shè)fi(X),"I，fm(X),gi(X),|,gn(X)都是多項式，而且(fi(x),gj(x)=1(i=1,2/H，m;j=1,2,1",n)。求證：(fi(X),f2(X),II,fm(X),gi(X),g2,|,gn(X)=1。解:假設(shè)(f1(X),f2(X),III,fm(X),g1(X),g2,|,gn(X)#1,則存在不可約多項式P(x)(6(p(x)>0),使得P(X)|"X),f2(x)，川,fm(x)和P(x)|g1(x),g2(x),|,gn(x),又因為P(X)不可約，故存在i,j,使得P(x)|fi(x),p(x)|gj(x)則有fi(x),gj(x)=1這與條件矛盾，故(f1(x),f2(x),III,fm(x),g1(x),g2,|,gn(x)=1.例9證明：如果(f(x),g(x)=1