PA+kPB最值探究(胡不歸+阿氏圓)及以阿氏圓為背景的線段和最值問題

1、“PA+k·PB”型的最值問題【問題背景】“PA+k·PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。當(dāng)k 值為 1時(shí)，即可轉(zhuǎn)化為“ PA+PB”之和最短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模型來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題來處理。而當(dāng) k 取任意不為 1 的正數(shù)時(shí)，若再以常規(guī)的軸對(duì)稱思想來解決問題，則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來分類， 一般分為 2類研究。即點(diǎn) P 在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P 在圓上運(yùn)動(dòng)。其中點(diǎn) P 在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問題 ；點(diǎn) P 在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為 “阿氏圓”問題。本文將分別從這兩類入手與大家共同

2、探究線段最值問題的解決方案?！局R(shí)儲(chǔ)備】線段最值問題常用原理：三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；兩點(diǎn)間線段最短；連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；【模型初探】（一）點(diǎn)P 在直線上運(yùn)動(dòng)“胡不歸”問題如圖1-1-1所示，已知sinMBN=k,點(diǎn)P 為角 MBN其中一邊BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) A 在射線 BM、BN的同側(cè)，連接 AP,則當(dāng)“ PA+k·PB”的值最小時(shí)， P 點(diǎn)的位置如何確定 ?分析：本題的關(guān)鍵在于如何確定“ k·PB”的大小，過點(diǎn) P 作 PQBN垂足為Q，則 k·PB=PB·sin MBN=PQ,本題

3、求 “PA+k·PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求 “PA+PQ”的最小值 ( 如圖 1-1-2) ，即 A、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)最?。ㄈ鐖D1-1-3 ），本題得解。圖 1-1-1圖 1-1-2圖 1-1-3動(dòng)態(tài)展示： 見 GIF 格式！思考：當(dāng) k 值大于 1 時(shí)，“PA+k·PB”線段求和問題該如何轉(zhuǎn)化呢？提取系數(shù) k 即可哦！【數(shù)學(xué)故事】 從前，有一個(gè)小伙子在外地學(xué)徒，當(dāng)他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路。 由于思鄉(xiāng)心切， 他只考慮了兩點(diǎn)之間線段最短的原理，所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑AB（如圖所示），而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實(shí)際情況，當(dāng)他氣喘吁吁地趕到家時(shí)

4、，老人剛剛咽了氣， 小伙子失聲痛哭。 鄰居勸慰小伙子時(shí)告訴說，老人彌留之際不斷念叨著 “胡不歸？胡不歸？ 何以歸” 。這個(gè)古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以， 他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線呢？這就是風(fēng)靡千百年的“胡不歸問題”?！灸Ｐ统跆健浚ǘc(diǎn) P 在圓上運(yùn)動(dòng)“阿氏圓”問題如圖所示 2-1-1 ， O的半徑為 r, 點(diǎn) A、B 都在 O外， P 為 O上的動(dòng)點(diǎn)，已知 r=k · OB.連接 PA、PB，則當(dāng)“ PA+k· PB”的值最小時(shí)， P 點(diǎn)的位置如何確定？ABAPPPAOBCOBCO圖 2-1-1圖 2-1-2圖 2-1-3分析：本題的關(guān)鍵在于

5、如何確定“ k·PB”的大小，（如圖 2-1-2 ）在線段 OB上截取 OC使 OC=k· r, 則可說明 BPO與 PCO相似，即 k·PB=PC。本題求“ PA+k·PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“ PA+PC”的最小值，即A、 P、 C三點(diǎn)共線時(shí)最?。ㄈ鐖D2-1-3 ），本題得解。動(dòng)態(tài)展示： 見 GIF 格式！【問題背景】 阿氏圓又稱阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PA=kPB（k1）的點(diǎn) P 的軌跡是一個(gè)圓， 這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓” ?！鞍⑹蠄A”一般解題步驟：第一步：連接動(dòng)點(diǎn)至圓心O（將系數(shù)不為1 的線段的

6、兩個(gè)端點(diǎn)分別與圓心相連接），則連接 OP、OB；第二步：計(jì)算出所連接的這兩條線段OP、OB長度；OP第三步：計(jì)算這兩條線段長度的比k ；OB第四步：在 OB上取點(diǎn) C，使得 OCOP ；OPOB第五步：連接 AC，與圓 O交點(diǎn)即為點(diǎn) P【模型類比】 “胡不歸”構(gòu)造某角正弦值等于小于起點(diǎn)構(gòu)造所需角（ k=sin CAE） -1 系數(shù)過終點(diǎn)作所構(gòu)角邊的垂線-利用垂線段最短解決問題 “阿氏圓”構(gòu)造共邊共角型相似構(gòu)造 PAB CAP推出 PA2AB AC即：半徑的平方 =原有線段構(gòu)造線段【典型例題】1( 胡不歸問題 ) 如圖，四邊形 ABCD是菱形， AB=4，且 ABC=60°，M為對(duì)角線

7、BD（不含 B 點(diǎn)）上任意一點(diǎn) , 則 AM+1 BM的最小值為.2分析：如何將 1 BM轉(zhuǎn)化為其他線段呢？2即本題 k 值為 1 ，必須轉(zhuǎn)化為某一角的正弦值啊，2ADM即轉(zhuǎn)化為 30°角的正弦值。思考到這里，不難發(fā)現(xiàn)，只要作 MN垂直于 BC， BC11則 MN= BM，即 AM+ BM最小轉(zhuǎn)化為 AM+MN最小，本題得解。22詳解：如圖，作 AN于 BC垂足為 N,AD四邊形 ABCD是菱形且 ABC=60°， DBC=30°，M1MN，即 sin DBC= =B2BMNC 1 BM=MN，211 AM+ BM=AM+MN，即 AM+ BM的最小值為 AN.2

8、2在 RT ABN中， AN=AB·sin ABC=633 3 .21 AM+ BM的最小值為 3 3 .2變式思考： (1) 本題如要求“ 2AM+BM”的最小值你會(huì)求嗎？(2) 本題如要求“ AM+BM+CM”的最小值你會(huì)求嗎？答案：（1） 6 3 （2） 6 3本題也可用“費(fèi)馬點(diǎn)”模型解決哦！ ！-詳見：本公眾號(hào)前文！2( 阿氏圓問題 ) 如圖，點(diǎn) A、B 在 O上，且 OA=OB=6，且 OAOB，點(diǎn) C 是 OA的中點(diǎn)，點(diǎn) D在 OB上，且 OD=4，動(dòng)點(diǎn) P在 O上，則 2PCPD 的最小值為 _分析：如何將 2PC轉(zhuǎn)化為其他線段呢？不難發(fā)現(xiàn)本題出現(xiàn)了中點(diǎn)，即 2 倍關(guān)系

9、就出現(xiàn)了。套用“阿氏圓”模型：構(gòu)造共邊共角相似半徑的平方 =原有線段 構(gòu)造線段詳解： 連接 OP,在射線 OA上截取 AE=6.E即： OP2OCOE OPC OEPAP PE2 PC 2PCPDPEPD , 即 P、D、E 三點(diǎn)共線最小 .C在 RT OED中， DEOD 2 OE216 144 4 10OD B即 2PC PD 的最小值為 4 10 .變式思考： (1) 本題如要求“ PC1 PD ”的最小值你會(huì)求嗎？23(2)本題如要求“ PCPD ”的最小值你會(huì)求嗎？2ACP答案：（1） 2 10 （2） 3 10ODBE【變式訓(xùn)練】( 胡不歸問題 )1. 如圖，等腰 ABC中， AB

10、=AC=3，BC=2，BC邊上的高為AO，點(diǎn) D為射線 AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿 AD-DC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) P 在 AD上運(yùn)動(dòng)速度 3 個(gè)單位每秒，動(dòng)點(diǎn)P 在CD上運(yùn)動(dòng)的速度為 1 個(gè)單位每秒，則當(dāng) AD= 時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短為 秒.答案：72，424 32. 如圖，在菱形 ABCD中， AB=6，且 ABC=150°，點(diǎn) P 是對(duì)角線 AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 PA+PB+PD的最小值為.答案：62本題也可用“費(fèi)馬點(diǎn)”模型解決哦！ ！【中考真題】( 胡不歸問題 )1. （2016?徐州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖像經(jīng)過點(diǎn) A（-1 ， 0）

11、，B（0，-3 ）、 C（ 2， 0），其中對(duì)稱軸與x 軸交于點(diǎn) D。若 P 為 y 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，則 1 PBPD 的最小值為。22.（ 2014. 成都）如圖，已知拋物線 y8 3 (x 2)(x 4) 與 x 軸從左至右依次交于點(diǎn)9A、B，與 y 軸交于點(diǎn) C，經(jīng)過點(diǎn) B 的直線 y3 x 4 3 與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為33D（-5，3 3）。設(shè) F 為線段 BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接 AF，一動(dòng)點(diǎn) M從點(diǎn) A 出發(fā)，沿線段 AF以每秒 1 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段 FD以每秒 2 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn) F 的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn) M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？答案

12、： 33， 2,2 34課外提升： 2015 日照、 2015 內(nèi)江、 2016 隨州多個(gè)城市均在壓軸題考察了“胡不歸”問題。要好好專研哦！( 胡不歸問題變式 )【變式訓(xùn)練】( 阿氏圓問題 )1. （1）【問題提出】： 如圖 1，在 Rt ABC中， ACB90°， CB 4， CA6， C半徑為 2，P 為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) AP， BP，求 AP 1 BP的最小值2嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接 CP，在CB上取點(diǎn) D，使 CD1，則有 CDCP1 ，又 PCD BCP, PCD BCP,CPCB2 PD1 , PD 1 BP,AP 1 BP APP

13、DBP222請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP 1 BP的最小值為 _ 2（ 2） . 【自主探索】： 在“問題提出”的條件不變的情況下，1 AP BP的最小3值為 _（ 3） . 【拓展延伸】： 已知扇形 COD中， COD 90o， OC6，OA3，OB 5，點(diǎn) P 是 CD上一點(diǎn) ，則 2PAPB的最小值為 _答案： 37 ， 23 37 ，13.2. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn) O為圓心作半徑為 4 的圓交 X軸正半軸于點(diǎn) A，點(diǎn) M坐標(biāo)為（ 6,3 ），點(diǎn) N坐標(biāo)為（ 8,0 ），點(diǎn) P 在圓上運(yùn)動(dòng)，求 PM1PN 的最小值23. 如圖，半圓的半徑為1， AB為直徑，AC、B

14、D為切線， AC=1，BD=2，P 為上一動(dòng)點(diǎn)，求PC+PD的最小值為_答案： 5，32 .2A,E, F, H【中考真題】( 阿氏圓問題 )（ 2017·甘肅蘭州）如圖，拋物線24, 4 ，B 0,4yx bx c 與直線 AB 交于 A兩點(diǎn)，直線 AC : y1x 6 交 y 軸與點(diǎn) C ，點(diǎn) E2是直線 AB 上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) E 作 EFx 軸交 AC于點(diǎn) F ，交拋物線于點(diǎn) G .(1) 求拋物線 y x2 bx c 的表達(dá)式；(2) 連接 GB ，EO ，當(dāng)四邊形 GEOB 是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn) G 的坐標(biāo)；(3) 在 y 軸上存在一點(diǎn) H ，連接 EH ， HF ，當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， 以為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E,H的坐標(biāo)；在的前提下，以點(diǎn)E 為圓心， EH 長為半徑作圓，點(diǎn)M 為 E 上一動(dòng)點(diǎn)，求1 AM CM 的最小值 .2答案： (1) y= x2 2x+4； (2) G （ 2， 4）；(3) E（ 2，0）H（0， 1）； 5 5 2寫在最后：“胡不歸”和“阿氏圓”問題都是一類解決最短距離問題，即“PA+k·PB”（ k 1 的常數(shù)）型的最值問題。兩類問題所蘊(yùn)含的都是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，即將k·PB這條線段的長度轉(zhuǎn)化為某條具體線段PC的長度，進(jìn)而根據(jù)“垂線段最短或兩點(diǎn)之間線段最