數(shù)學(xué)奧林匹克題解【A整數(shù)-A3數(shù)字問題011-020】

1、A3011 設(shè)n是整數(shù)，如果n2的十位數(shù)字是7，那么n2的個位數(shù)字是什么？【題說】 第十屆（1978年）加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題1【解】 設(shè)n10xy，x、y為整數(shù)，且0y9，則n2100x220xyy220Ay2（A為正整數(shù)）因20A的十位數(shù)字是偶數(shù)，所以要想使n2十位數(shù)字是7，必須要y2的十位數(shù)字是奇數(shù)，這只有y216或36從而y2的個位數(shù)字，即n2的個位數(shù)字都是6A3013 下列整數(shù)的末位數(shù)字是否組成周期數(shù)列？其中a表示數(shù)a的整數(shù)部分【題說】 第十七屆（1983年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克九年級題 4由于不循環(huán)小數(shù)，所以a2k1從而an不是周期數(shù)列在二進制中的末位數(shù)字顯然，bn為偶數(shù)時，rn0，bn

2、為奇數(shù)時，rn1仿（a）可證rn不是周期的，從而bn也不是周期數(shù)列A3014 設(shè)an是1222n2的個位數(shù)字，n1，2，3，試證：1a2an是有理數(shù)【題說】 1984年全國聯(lián)賽二試題 4【證】 將（n1）2，（n2）2，（n100）2這100個數(shù)排成下表：（n1）2                  （n2）2          

3、;             （n10）2（n11）2                （n12）2                     （n20）2

4、                                                   

5、0;            （n91）2               （n92）2                     （n100）2因k2與（k10）2的

6、個位數(shù)字相同，故表中每一列的10個數(shù)的個位數(shù)字皆相同因此，將這100個數(shù)相加，和的個位數(shù)字是0所以，an100an對任何n成立A3015 是否存在具有如下性質(zhì)的自然數(shù)n：（十進制）數(shù)n的數(shù)字和等于1000，而數(shù)n2的數(shù)字和等于10002？【題說】 第十九屆（1985年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克八年級題 2【解】 可用歸納法證明更一般的結(jié)論：對于任意自然數(shù)m，存在由1和0組成的自然數(shù)n，它的數(shù)字和S（n）m，而n2的數(shù)字和S（n2）m2？當(dāng)m1，n1時，顯然滿足要求設(shè)對自然數(shù)m，存在由1和0組成的自然數(shù)n，使得S（n）m，S（n2）m2設(shè)n為k位數(shù)，取n1n×10k11，則n1由0，1組成并且

7、S（n1）S（n）1m1S（n2×102k2）S（2n×10k1）S（1）S（n2）2S（n）1m22m1（m1）2因此命題對一切自然數(shù)m均成立這說明1a2a3是循環(huán)小數(shù)，因而是有理數(shù)A3017 設(shè)自然數(shù)n是一個三位數(shù)由它的三個非零數(shù)字任意排列成的所有三位數(shù)的和減去 n等于1990求 n【題說】 1989年蕪湖市賽題 32090222（abc）1990n2989而2090222×91998，222×1022201990230222×112442×1990452，222×1226641990674222×132886

8、1990896，222×1431082989經(jīng)驗證：abc11時，n452符合題意A3018 定義數(shù)列an如下：a119891989，an等于an1的各位數(shù)字之和，a5等于什么？【題說】 第二十一屆（1989年）加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題 3【解】 由a1100001989b1，而b1的位數(shù)是4×198917957，知a210×800080000，所以a2最多是5位數(shù)，從而a35×945，a44913，因此a5一定是一位數(shù)另一方面，由9|1989，知9|a1，因而9可整除a1的數(shù)字和，即9|a2，又因此有9|a3，9|a4，9|a5所以a59A3019 某州頒

9、發(fā)由6個數(shù)字組成的車牌證號（由09的數(shù)字組成），且規(guī)定任何兩個牌號至少有兩個數(shù)字不同（因此，證號“027592”與“020592”不能同時使用），試確定車牌證號最多有多少個？【題說】 第十九屆（1990年）美國數(shù)學(xué)奧林匹克題1【解】 至多可造出不同的五位證號a1a2a3a4a5105個令a6是a1a1a3a4a5的個位數(shù)字，所成的六位數(shù)便滿足要求因為如果兩個數(shù)的前五位中只有一個數(shù)字不同，那么第6位數(shù)字必然不同另一方面，任何1051個6位數(shù)中，總有兩個前五位數(shù)字完全相同因此，符合題目要求的車牌證號最多有105個A3020 設(shè) A9999（81位全為9），求A2的各位數(shù)字之和【題說】 1991年日本數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)選賽題