統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)及常見題型

1、統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)及常見題型1. 總體和樣本：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把研究對(duì)象的全體叫做總體.把每個(gè)研究對(duì)象叫做個(gè)體.把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量.為了研究總體T的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分：，心，,研究，我們稱它為樣本.其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量.2. 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、戈咲、排隊(duì)等， 完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少 時(shí)，才采用這種方法。3. 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用的方法：（1）抽簽法

2、；隨機(jī)數(shù)表法；計(jì)算機(jī)模擬法；使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。 在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：總體變異情況；允 許誤差范圍；概率保證程度。4 .抽簽法:（1）給調(diào)查對(duì)象群體中的每一個(gè)對(duì)象編號(hào)；（2）準(zhǔn)備抽簽的工具，實(shí)施抽簽（3）對(duì)樣本中的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測(cè)量或調(diào)查例：請(qǐng)調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動(dòng)情況。5.隨機(jī)數(shù)表法：例：利用隨機(jī)數(shù)表在所在的班級(jí)中抽取10位同學(xué)參加某項(xiàng)活動(dòng)。1. 系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機(jī)械抽樣）：把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽 取樣本。第一個(gè)樣本采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。K （抽樣距離）二N （總體規(guī)模）/n （樣本規(guī)模）前提條件

3、：總體中個(gè)體的排列對(duì)于研究的變量來說，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在 某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布?？梢栽谡{(diào)查允許的條件下，從不同的樣本幵始 抽樣，對(duì)比幾次樣本的特點(diǎn)。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種 循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。2. 系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之一。因?yàn)樗鼘?duì)抽樣框的 要求較低，實(shí)施也比較簡(jiǎn)單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助 變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊(duì)的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大 大提高估計(jì)精度。1. 分層抽樣（類型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟?，然后再在各個(gè)類型或

4、層次中采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一 個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。兩種方法：1. 先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。2. 先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊 排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。2. 分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同 的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。分層標(biāo)準(zhǔn)：(1) 以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。(2) 以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變 量作為分層變量。(3) 以那

5、些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3. 分層的比例問題：(1) 按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比 重來抽取子樣本的方法。(2) 不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小， 其樣本量就會(huì)非常少， 此時(shí)采用該方法，主要是便于對(duì)不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。 如果要用樣本資料推斷總體時(shí)，則需要先對(duì)各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整 樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。1、 樣 本均值：X 厘丄2Xnn2、.樣本標(biāo)準(zhǔn)差：S礙J% X)2 % X)2 區(qū)k»n3. 用樣本估計(jì)總體時(shí)，如果抽樣的方法比較合理， 那么樣本可以反映

6、總體的信息， 但從樣本得到的信息會(huì)有偏差。在隨機(jī)抽樣中，這種偏差是不可避免的。雖然我 們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是一個(gè)估計(jì)，但這種估計(jì)是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時(shí)，它們確實(shí) 反映了總體的信息。4. (1)如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn) 差不變(2) 如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)乘以一個(gè)共同的常數(shù)k，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉?的k倍(3) 組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的影響，區(qū)間(X 3s,x 3s)的應(yīng)用; “去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分”中的科學(xué)道理1、 概念:(1)回歸直線方程(2)回歸系數(shù)2. 回歸直線方程

7、的應(yīng)用(1) 描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個(gè)變量間依存的數(shù)量關(guān)系(2) 利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)；把預(yù)報(bào)因子(即自變量x )代入回歸方程對(duì)預(yù)報(bào)量(即因變量 Y)進(jìn)行估計(jì)，即可得到個(gè)體 Y值的容許區(qū)間。(3) 利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制規(guī)定 Y值的變化，通過控制x的范圍來實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)控制的目標(biāo)。如已經(jīng)得到了空氣中 NO的濃度和汽車流量間的 回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO的濃度。4應(yīng)用直線回歸的注意事項(xiàng)（1）做回歸分析要有實(shí)際意義；（ 2）回歸分析前 , 最好先作出散點(diǎn)圖；（3）回歸直線不要外延。題型一選擇合適的抽樣方法簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 ，也叫純隨機(jī)抽樣。 就是從總體

8、中不加任何分組、劃類、排隊(duì) 等，完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位系統(tǒng)抽樣 （等距抽樣或機(jī)械抽樣） ：把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距 離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個(gè)樣本采用簡(jiǎn) 單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。分層抽樣 （類型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、 年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟?，然后再在各個(gè)類型或?qū)哟沃胁?用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這 些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。1. 現(xiàn)有以下兩項(xiàng)調(diào)查：某裝訂廠平均每小時(shí)大約裝訂圖書362冊(cè)，要求檢驗(yàn)員 每小時(shí)抽取40冊(cè)圖書，檢查其裝訂質(zhì)量狀況；某市有大型、中型與小型的商店共1500家，三者數(shù)量之比為

9、1 : 5 : 9.為了調(diào)查全市商店每日零售額情況，抽取 其中15家進(jìn)行調(diào)查. 完成、這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（）A. 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法B. 分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法C.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法D .系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法2. 某社區(qū)有 400個(gè)家庭，其中高等收入家庭 120 戶，中等收入家庭 180戶，低收入家庭 1 0 0戶.為了調(diào)查社會(huì)購買力的某項(xiàng)指標(biāo)， 要從中抽取一個(gè)容量為 100的樣 本記作；某校高一年級(jí)有 12名女排球運(yùn)動(dòng)員，要從中選出 3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情 況，記作；那么，完成上述 2項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用的抽樣方法是（）A.用隨機(jī)抽樣法，用系統(tǒng)抽樣法B.用分層抽樣法，用隨

10、機(jī)抽樣法C.用系統(tǒng)抽樣法，用分層抽樣法D. 用分層抽樣法，用系統(tǒng)抽樣法題型二： 系統(tǒng)抽樣剔除個(gè)體數(shù)計(jì)算 當(dāng)系統(tǒng)抽樣中樣本總量除以樣本容量不是整數(shù)時(shí)，需要用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法剔除部分個(gè)體，剔除個(gè)35體的數(shù)量=樣本總量一組距卅羊本容量。例.若總體中含有 1650 個(gè)個(gè)體，現(xiàn)在要采用系統(tǒng)抽樣，從中抽取一個(gè)容量為的樣本，分段時(shí)應(yīng)從總體中隨機(jī)剔除 個(gè)個(gè)體，編號(hào)后應(yīng)均分為 _段，每段有 個(gè)個(gè)體.5,35,47題型三：分層抽樣有關(guān)計(jì)算 樣本容量分層抽樣特點(diǎn)：各層抽樣比例 =總體抽樣比例=，每層抽取個(gè)體數(shù)量=該層個(gè)體總量 抽樣總體容量比例。經(jīng)典例題：某校高中部有三個(gè)年級(jí)，其中高三有學(xué)生1000人，現(xiàn)采用分層抽樣法

11、抽取一個(gè)容量為185的樣本，已知在高一年級(jí)抽取了75人，高二年級(jí)抽取了 60人，則高中部共有多少學(xué)生？練習(xí).某單位業(yè)務(wù)人員、管理人員、后勤服務(wù)人員人數(shù)之比依次為15 : 3： 2.為了了解該單位職員的某種情況，采用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中業(yè)務(wù)人員人數(shù)為30，則此樣本的容量 門為（ ）C. 40D . 80題型四：頻率分布直方圖畫法步驟作頻率分布直方圖分布的步驟求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）決定組距與組數(shù)，一般樣本容量越大組數(shù)越多，經(jīng)常分為512組，組距盡量取整。將數(shù)據(jù)分組，通過唱票計(jì)算各組的頻數(shù)列頻率分布表，根據(jù)各組頻數(shù)計(jì)算頻率，列出頻率分布表畫出頻率分布直方圖,橫

12、軸只畫最小值與最大值之間部分，縱軸表示頻率組距的值題型五:由頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)（由頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)：一般先計(jì)算各部分小矩形的面積，找到面積最大的矩形，取該矩形橫邊中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)即為所求（由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)：一般利用平均數(shù)公式 X X.P, x2p2xnpn來計(jì)算，其中Xn表示第n個(gè)矩形橫邊中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，Pn表示第n個(gè)矩形的面積。（由頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)：就是平分直方圖面積且垂直于橫軸的直線對(duì)應(yīng)的數(shù)。前n個(gè)小矩形面積不足時(shí),不足部分?jǐn)?shù)值中位數(shù)=下一個(gè)矩形橫邊左端點(diǎn)+x組距該小矩形面積題型六：頻率分布表中未知量計(jì)算各組頻數(shù)之和二樣本容量，各組頻率之和 =1,各組

13、頻數(shù)我率二樣本容 數(shù)據(jù)落在某區(qū)間的概率 V區(qū)間包括的各組頻率之和經(jīng)典例題：為了了解小學(xué)生的體能情況，抽取了某小學(xué)同年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行跳繩測(cè)試，將所得的數(shù)據(jù)整理后畫出頻率分布直方圖（如下圖），已知圖中從左到右的 前三個(gè)小組的頻率分別是，.第一小組的頻數(shù)是5.（1）求第四小組的頻率和參加這次測(cè)試的學(xué)生人數(shù)；（2）在這次測(cè)試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第幾小組內(nèi)？（3）參加這次測(cè)試跳繩次數(shù)在100次以上為優(yōu)秀，試估計(jì)該校此年級(jí)跳繩成績(jī)優(yōu)秀率是多少?組試估計(jì)該年級(jí)學(xué)生平均跳繩次數(shù)，中位數(shù)、眾數(shù)練習(xí)一.2005年降雨量的概率如下表所示:次數(shù)（1）求年降雨量在100,200范圍內(nèi)的概率；（2）求年降雨量在1

14、50,200或250,300范圍內(nèi) 的概率; 求年降雨量不在150,300范圍內(nèi)的概率；（4）求年降雨量在100,300范圍內(nèi)的概率.年降雨量/mm概率0. 120. 250. 160. 14練習(xí)2某地區(qū)的年降水量在下列范圍內(nèi)的概率如下表所示年降水量（單位：:100，:150，:200，:250，mm150)200)250)300)概率則年降水量在150, 300 （mm范圍內(nèi)的概率為（）A. B . C .D練習(xí)3. （2014重慶文17）（本小題滿分13分.（I ）小問4分，（II ）小問4分,（III ）小問5分）20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示： 洞穿高考

15、預(yù)測(cè)題六（I）求頻率分布直方圖中a的值；（II ）分別求出成績(jī)落在50,60與60,70中的學(xué)生人數(shù)；（III ）從成績(jī)?cè)?0,70的學(xué)生中任選2人，求此2人的成績(jī)都在60,70中的概率.題型七：用平均數(shù)和方差判斷產(chǎn)品質(zhì)量、成績(jī)好壞、產(chǎn)量高低等平均數(shù)和方差（標(biāo)準(zhǔn)差）都是反映數(shù)據(jù)離散程度的工具。成績(jī)好壞、產(chǎn)量高低等指標(biāo)首先看平均數(shù)越高越好，當(dāng)平均數(shù)相近或相同時(shí)，可以用方差（標(biāo)準(zhǔn)差）來刻畫樣本的穩(wěn)定性。題型八：求線性相關(guān)的兩個(gè)變量的回歸直線方程，并作出適當(dāng)預(yù)測(cè)第一步：作散點(diǎn)圖第二步：求回歸方程第三步：代值計(jì)算nn_xx nX y（Xj x）（yi y）求線性回歸方程系數(shù)公式：I?匕,? y bX.X2 nX2（xi x）2i 1i 1重要結(jié)論正相關(guān)則 b> 0,負(fù)相關(guān)則bv 0,當(dāng)解釋變量增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量相應(yīng)增加（b>0）或減少（b v 0） | b丨個(gè)單位? y bx , （x, y）稱為樣本點(diǎn)的中心，此點(diǎn)一定在回歸直線上。用回歸直線方程計(jì)算出的 y值不是真實(shí)值，真實(shí)值在計(jì)算值的左右，可能大，可能小也可能相等。相關(guān)指數(shù)R2用來刻畫擬合效果，R2的值越大，擬合效果越好，反之則越差，一般選擇 氏值大的模型。