高中的物理解的題目(微元法)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案高中奧林匹克物理競賽解題方法微元法方法簡介微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化。在使用微元法處理問題時(shí)，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個(gè)“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過程”，然后再將“元過程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問題求解。使用此方法會(huì)加強(qiáng)我們對(duì)已知規(guī)律的再思考，從而引起鞏固知識(shí)、加深認(rèn)識(shí)和提高能力的作用。賽題精講例 1：如圖 3 1 所示，一個(gè)身高為 h 的人在燈以悟空速度 v 沿水平直線行走。設(shè)燈距地面高為

2、 H，求證人影的頂端 C點(diǎn)是做勻速直線運(yùn)動(dòng)。解析 ：該題不能用速度分解求解，考慮采用“微元法”。設(shè)某一時(shí)間人經(jīng)過 AB處，再經(jīng)過一微小過程 t （ t 0），則人由 AB到達(dá) A B，人影頂端 C 點(diǎn)到達(dá) C點(diǎn)，由于 SAA =v t 則人影頂端的SCCHSAAHv移動(dòng)速度 vClimlim Hht 0tt 0tH h可見 vc 與所取時(shí)間 t 的長短無關(guān)，所以人影的頂端 C 點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng) .例 2：如圖 32 所示，一個(gè)半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點(diǎn)， B 端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長度的質(zhì)量為 . 試求鐵鏈 A 端受的拉力 T

3、.解析 ：以鐵鏈為研究對(duì)象，由由于整條鐵鏈的長度不能忽略不計(jì)，所以整條鐵鏈不能看成質(zhì)點(diǎn)，要分析鐵鏈的受力情況，須考慮將鐵鏈分割，使每一小段鐵鏈可以看成質(zhì)點(diǎn)，分析每一小段鐵邊的受力，根據(jù)物體的平衡條件得出整條鐵鏈的受力情況.在鐵鏈上任取長為 L 的一小段（微元）為研究對(duì)象，其受力分析如圖 3 2甲所示 . 由于該元處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以受力平衡，在切線方向上應(yīng)滿足：精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案TTG cosTTG cosLg cos由于每段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大 T ，所以整個(gè)鐵鏈對(duì)A 端的拉力是各段上T 的和，即 TTLg cosgL cos觀察L cos的意義，見圖 3 2乙，由于很小

4、，所以 CD OC， OCE= Lcos 表示 L 在豎直方向上的投影R，所以L cosR可得鐵鏈 A 端受的拉力TgL cosgR例 3：某行星圍繞太陽 C沿圓弧軌道運(yùn)行，它的近日點(diǎn)A 離太陽的距離為a，行星經(jīng)過近日點(diǎn)A 時(shí)的速度為 vA ，行星的遠(yuǎn)日點(diǎn)B 離開太陽的距離為 b，如圖 3 3 所示，求它經(jīng)過遠(yuǎn)日點(diǎn)B 時(shí)的速度 vB 的大小 .解析： 此題可根據(jù)萬有引力提供行星的向心力求解. 也可根據(jù)開普勒第二定律，用微元法求解.設(shè)行星在近日點(diǎn)A 時(shí)又向前運(yùn)動(dòng)了極短的時(shí)間t ，由于時(shí)間極短可以認(rèn)為行星在t 時(shí)間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線速度為vA ，半徑為 a，可以得到行星在t 時(shí)間內(nèi)掃過的面積S1

5、 vta同理，設(shè)行星在經(jīng)過遠(yuǎn)日點(diǎn)B 時(shí)也運(yùn)動(dòng)了相同的極短時(shí)間t ，a2A則也有Sb1vB t b由開普勒第二定律可知： S =S2aba即得vBb v A此題也可用對(duì)稱法求解 .例 4：如圖 3 4 所示，長為 L 的船靜止在平靜的水面上，立于船頭的人質(zhì)量為m，船的質(zhì)量為M，不計(jì)水的阻力，人從船頭走到船尾的過程中，問：船的位移為多大？解析： 取人和船整體作為研究系統(tǒng)，人在走動(dòng)過程中，系統(tǒng)所受合外力為零，可知系統(tǒng)動(dòng)量守恒. 設(shè)人在走動(dòng)過程中的 t時(shí)間內(nèi)為勻速運(yùn)動(dòng)，則可計(jì)算出船的位移.設(shè) v1、v2 分別是人和船在任何一時(shí)刻的速率，則有mv1Mv 2 兩邊同時(shí)乘以一個(gè)極短的時(shí)間t ， 有 mv1

6、t Mv 2 t由于時(shí)間極短，可以認(rèn)為在這極短的時(shí)間內(nèi)人和船的速率是不變的，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案所以人和船位移大小分別為sv t ，sv2t112由此將式化為m s1M s2把所有的元位移分別相加有ms1Ms2 即 ms1=Ms2 此式即為質(zhì)心不變?cè)?. 其中 s1、s2 分別為全過程中人和船對(duì)地位移的大小，又因?yàn)?L=s 1+s2m由、兩式得船的位移s2LMm例 5：半徑為 R的光滑球固定在水平桌面上，有一質(zhì)量為 M的圓環(huán)狀均勻彈性繩圈，原長為 R，且彈性繩圈的勁度系數(shù)為 k，將彈性繩圈從球的正上方輕放到球上，使彈性繩圈水平停留在平衡位置上，如圖3 5 所示，若平衡時(shí)彈性繩圈長為2 R ，

7、求彈性繩圈的勁度系數(shù)k.解析： 由于整個(gè)彈性繩圈的大小不能忽略不計(jì)，彈性繩圈不能看成質(zhì)點(diǎn)，所以應(yīng)將彈性繩圈分割成許多小段，其中每一小段 m兩端受的拉力就是彈性繩圈內(nèi)部的彈力F. 在彈性繩圈上任取一小段質(zhì)量為m作為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析. 但是 m受的力不在同一平面內(nèi)，可以從一個(gè)合適的角度觀察. 選取一個(gè)合適的平面進(jìn)行受力分析，這樣可以看清楚各個(gè)力之間的關(guān)系 . 從正面和上面觀察，分別畫出正視圖的俯視圖，如圖3 5甲和 2 3 5乙 .先看俯視圖 35甲，設(shè)在彈性繩圈的平面上，m所對(duì)的圓心角是，則每一小段的質(zhì)量mM m在該平面上受拉力 F 的作用，合力為2T2F cos(2) 2F sin2因?yàn)?/p>

8、當(dāng)很小時(shí)，sin所以 T2FF2再看正視圖 35乙， m受重力 mg，支持力 N，二力的合力與T平衡.即 Tmg tan現(xiàn)在彈性繩圈的半徑為 r2 R2 R22精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案r245tan1所以 sin2R因此 T=mgMg、聯(lián)立，MgF，2Mg2解得彈性繩圈的張力為：F2設(shè)彈性繩圈的伸長量為x則 x2 RR( 21) R所以繩圈的勁度系數(shù)為：kFMg(21)Mgx2(21)2R22 R例 6：一質(zhì)量為 M、均勻分布的圓環(huán)，其半徑為r ，幾何軸與水平面垂直，若它能經(jīng)受的最大張力為 T，求此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度.解析 ：因?yàn)橄蛐牧?F=mr 2，當(dāng)一定時(shí)， r 越大，向心力越大

9、，所以要想求最大張力T 所對(duì)應(yīng)的角速度， r 應(yīng)取最大值 .如圖 3 6 所示，在圓環(huán)上取一小段L，對(duì)應(yīng)的圓心角為，其質(zhì)量可表示為mM ，受圓環(huán)對(duì)它的張2力為 T，則同上例分析可得2T sinmr22因?yàn)楹苄?，所以sin22，即2TMr22 T解得最大角速度Mr22例 7：一根質(zhì)量為M，長度為 L 的鐵鏈條，被豎直地懸掛起來，其最低端剛好與水平接觸，今將鏈條由靜止釋放，讓它落到地面上，如圖37 所示，求鏈條下落了長度x 時(shí)，鏈條對(duì)地面的壓力為多大？解析： 在下落過程中鏈條作用于地面的壓力實(shí)質(zhì)就是鏈條對(duì)地面的“沖力”加上落在地面上那部分鏈條的重力. 根據(jù)牛頓第三定律，這個(gè)沖力也就等于同一時(shí)刻地面

10、對(duì)鏈條的反作用力，這個(gè)力的沖量，使得鏈條落至地面時(shí)的動(dòng)量發(fā)生變化. 由于各質(zhì)元原來的高度不同，落到地面的速度不同，動(dòng)量改變也不相同. 我們?nèi)∧骋粫r(shí)刻一小段鏈條（微元）作為研究對(duì)象，就可以將變速?zèng)_擊變?yōu)楹闼贈(zèng)_擊 .設(shè)開始下落的時(shí)刻t=0 ，在 t時(shí)刻落在地面上的鏈條長為x，未到達(dá)地面部分鏈條的速度為v，并設(shè)鏈條的線密度為. 由題意可知，鏈條落至地面后，速度立即變?yōu)榱? 從 t 時(shí)刻起取很小一段時(shí)間 t ，在 t內(nèi)又有 M= x 落到地面上靜止 . 地面對(duì) M作用的沖量為精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(FMg )tI因?yàn)镸gt0所以FtMv0vx 解得沖力：Fvx ，其中x 就是 t時(shí)刻鏈條的速度 v，tt

11、故 Fv2鏈條在 t時(shí)刻的速度 v 即為鏈條下落長為 x 時(shí)的即時(shí)速度，即v2=2gx，代入 F 的表達(dá)式中，得F2gx此即 t時(shí)刻鏈對(duì)地面的作用力，也就是t 時(shí)刻鏈條對(duì)地面的沖力 .所以在 t時(shí)刻鏈條對(duì)地面的總壓力為N2 gxgx3gx3Mgx .L例 8：一根均勻柔軟的繩長為L，質(zhì)量為 m，對(duì)折后兩端固定在一個(gè)釘子上，其中一端突然從釘子上滑落，試求滑落的繩端點(diǎn)離釘子的距離為x 時(shí)，釘子對(duì)繩子另一端的作用力是多大？解析： 釘子對(duì)繩子另一端的作用力隨滑落繩的長短而變化，由此可用微元法求解. 如圖 3 8 所示，當(dāng)左邊繩端離釘子的距離為 x 時(shí)，左邊繩長為1(lx) ，速度 v2gx ，2右邊繩

12、長為1 (l).又經(jīng)過一段很短的時(shí)間t 以后，2x左邊繩子又有長度1 Vt 的一小段轉(zhuǎn)移到右邊去了，我們就分2析這一小段繩子，這一小段繩子受到兩力：上面繩子對(duì)它的拉力 T 和它本身的重力1 v tg (m / l 為繩子的線密度） ，2根據(jù)動(dòng)量定理，設(shè)向上方向?yàn)檎?T1 v tg) t 0(1 vtv)22由于 t取得很小，因此這一小段繩子的重力相對(duì)于T 來說是很小的，可以忽略，所以有T1 v2gx因此釘子對(duì)右邊繩端的作用力為2F1 (l x) g T1 mg(13x )22l例 9：圖 3 9 中，半徑為R 的圓盤固定不可轉(zhuǎn)動(dòng)，細(xì)繩不可伸長但質(zhì)量可忽略，繩下懸掛的兩物體質(zhì)量分別為M、 m.設(shè)

13、圓盤與繩間光滑接觸，試求盤對(duì)繩的法向支持力線密度.解析： 求盤對(duì)繩的法向支持力線密度也就是求盤對(duì)繩的法向單位長度所受的支持力. 因?yàn)楸P與繩間光滑接觸，則任取一小段繩，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案其兩端受的張力大小相等，又因?yàn)槔K上各點(diǎn)受的支持力方向不同，故不能以整條繩為研究對(duì)象，只能以一小段繩為研究對(duì)象分析求解 . 在與圓盤接觸的半圓形中取一小段繩元L， L 所對(duì)應(yīng)的圓心角為，如圖39甲所示，繩元L 兩端的張力均為T，繩元所受圓盤法向支持力為N，因細(xì)繩質(zhì)量可忽略，法向合力為零，則由平衡條件得：NT sinT sin2T sin222當(dāng)很小時(shí)， sin2 N=T2又因?yàn)?L=R則繩所受法向支持力線密度為n

14、NTTLRR以 M、m分別為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓定律有Mg T=Ma T mg=m 由、解得：T2MmgaMm將式代入式得：2Mmgnm) R( M例 10：粗細(xì)均勻質(zhì)量分布也均勻的半徑為分別為R 和 r 的兩圓環(huán)相切 . 若在切點(diǎn)放一質(zhì)點(diǎn)m，恰使兩邊圓環(huán)對(duì) m的萬有引力的合力為零，則大小圓環(huán)的線密度必須滿足什么條件？解析： 若要直接求整個(gè)圓對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬有引力比較難，當(dāng)若要用到圓的對(duì)稱性及要求所受合力為零的條件，考慮大、小圓環(huán)上關(guān)于切點(diǎn)對(duì)稱的微元與質(zhì)量m的相互作用，然后推及整個(gè)圓環(huán)即可求解 .如圖 3 10 所示，過切點(diǎn)作直線交大小圓分別于P、 Q 兩點(diǎn)，并設(shè)與水平線夾角為，當(dāng)有微小增量時(shí)，則大

15、小圓環(huán)上對(duì)應(yīng)微小線元L1R 2L2r2其對(duì)應(yīng)的質(zhì)量分別為m11l11 R2m22 l 22 r 2由于很小，故 m1、 m2 與 m的距離可以認(rèn)為分別是r12Rcosr2 cos2r所以 m1、 m2 與 m的萬有引力分別為F1Gm m1G 1R 2 mF2Gm m2G 2 R 2 m2( 2R cos)2 ,2(2r cos)2r1r2精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案由于具有任意性，若F1 與 F2 的合力為零，則兩圓環(huán)對(duì) m的引力的合力也為零，即G1R2mG 2 r 2m( 2Rcos) 2(2r cos) 2解得大小圓環(huán)的線密度之比為：1R2 r例 11：一枚質(zhì)量為 M的火箭， 依靠向正下方噴氣在空

16、中保持靜止，如果噴出氣體的速度為v，那么火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的功率是多少？解析 ：火箭噴氣時(shí)， 要對(duì)氣體做功， 取一個(gè)很短的時(shí)間，求出此時(shí)間內(nèi)， 火箭對(duì)氣體做的功，再代入功率的定義式即可求出火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的功率.選取在 t 時(shí)間內(nèi)噴出的氣體為研究對(duì)象，設(shè)火箭推氣體的力為F，根據(jù)動(dòng)量定理，有F t= mv因?yàn)榛鸺o止在空中，所以根據(jù)牛頓第三定律和平衡條件有F=Mg即 Mg t= m vt= mv/Mg對(duì)同樣這一部分氣體用動(dòng)能定理，火箭對(duì)它做的功為：W1mv22W1mv21所以發(fā)動(dòng)機(jī)的功率2MgVP( mV / Mg )2t例 12：如圖 311 所示，小環(huán) O和 O分別套在不動(dòng)的豎直桿 AB和 A B上，一根

17、不可伸長的繩子穿過環(huán)O，繩的兩端分別系在 A點(diǎn)和 O環(huán)上，設(shè)環(huán) O以恒定速度v 向下運(yùn)動(dòng)，求當(dāng) AOO =時(shí)，環(huán) O的速度 .解析 ：O、 O之間的速度關(guān)系與O、 O的位置有關(guān)，即與角有關(guān)，因此要用微元法找它們之間的速度關(guān)系.設(shè)經(jīng)歷一段極短時(shí)間 t ， O環(huán)移到 C， O環(huán)移到 C，自 C與 C 分別作為 O O的垂線 C D和 CD，從圖中看出 .OCOD ,OCO D因此 OC+O C = ODO Dcoscoscos因極小，所以EC ED， EC ED，從而 OD+O D OO CC 由于繩子總長度不變，故 OO CC =OC 由以上三式可得：OC+OC = O C即OC OC(11)c

18、oscos等式兩邊同除以t得環(huán) O的速度為v0 v(11)cos精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案例 13： 在水平位置的潔凈的平玻璃板上倒一些水銀，由于重力和表面張力的影響，水銀近似呈現(xiàn)圓餅形狀（側(cè)面向外凸出） ，過圓餅軸線的豎直截面如圖 3 12 所示，為了計(jì)算方便，水銀和玻璃的接觸角可按180計(jì)算 . 已知水銀密度13.6103 kg / m3 ，水銀的表面張力系數(shù)0.49 N / m. 當(dāng)圓餅的半徑很大時(shí)，試估算其厚度h 的數(shù)值大約為多少？（取 1 位有效數(shù)字即可）解析 ：若以整個(gè)圓餅狀水銀為研究對(duì)象，只受重力和玻璃板的支持力，在平衡方程中，液體的體積不是h 的簡單函數(shù)，而且支持力N 和重力 mg都

19、是未知量，方程中又不可能出現(xiàn)表面張力系數(shù)，因此不可能用整體分析列方程求解h. 現(xiàn)用微元法求解 .在圓餅的側(cè)面取一個(gè)寬度為x，高為 h 的體積元，如圖3 12甲所示，該體積元受重力G、液體內(nèi)部作用在面積 x h 上的壓力 F， FPS1hgxh1gh 2x ，22還有上表面分界線上的張力F = x 和下表面分界線上的1張力 F2= x. 作用在前、后兩個(gè)側(cè)面上的液體壓力互相平衡，作用在體積元表面兩個(gè)彎曲分界上的表面張力的合力，當(dāng)體積元的寬度較小時(shí)，這兩個(gè)力也是平衡的，圖中都未畫出.由力的平衡條件有：FF1 cosF20即 1 gh 2xxcosx02解得： h2 (1cos)2.710 31co

20、sg由于 0, 所以11cos2,故 2.7 10 3mhm，碰撞彈力Ng，球與車之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，則小球彈起后的水平速度可能是（）A2ghB 0C 2 2 ghD v06半徑為 R 的剛性球固定在水平桌面上. 有一質(zhì)量為 M的圓環(huán)狀均勻彈性細(xì)繩圈，原長2a， =R/2 ，繩圈的彈性系數(shù)為k（繩伸長 s 時(shí)，繩中彈性張力為ks） . 將繩圈從球的a正上方輕放到球上，并用手扶著繩圈使其保持水平，并最后停留在某個(gè)靜力平衡位置. 考慮重力，忽略摩擦.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（ 1）設(shè)平衡時(shí)彈性繩圈長2b， b=2a ，求彈性系數(shù)k；（用 M、R、 g 表示， g 為重力加速度）（ 2）設(shè) k=Mg/2

21、 2R，求繩圈的最后平衡位置及長度.7一截面呈圓形的細(xì)管被彎成大圓環(huán)，并固定在豎直平面內(nèi)，在環(huán)內(nèi)的環(huán)底 A 處有一質(zhì)量為m、直徑比管徑略小的小球，小球上連有一根穿過環(huán)頂B 處管口的輕繩，在外力F 作用下小球以恒定速度 v 沿管壁做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖 3 23 所示 . 已知小球與管內(nèi)壁中位于大環(huán)外側(cè)部分的動(dòng)摩擦因數(shù)為，而大環(huán)內(nèi)側(cè)部分的管內(nèi)壁是光滑的 . 忽略大環(huán)內(nèi)、外側(cè)半徑的差別，認(rèn)為均為R. 試求小球從 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)過程中 F 做的功 W.F8如圖 3 24，來自質(zhì)子源的質(zhì)子（初速度為零），經(jīng)一加速電壓為 800kV 的直線加速器加速，形成電流為1.0mA的細(xì)柱形質(zhì)子流 .

22、 已知質(zhì)子電荷e=1.60 10 19C.這束質(zhì)子流每秒打到靶上的質(zhì)子數(shù)為.假設(shè)分布在質(zhì)子源到靶之間的加速電場是均勻的，在質(zhì)子束中與質(zhì)子源相距l(xiāng)和 4l 的兩處，各取一段極短的相等長度的質(zhì)子流，其中質(zhì)子數(shù)分別為 n1 和 n2，則 n1: n 2.9如圖 3 25 所示，電量 Q均勻分布在一個(gè)半徑為R的細(xì)圓環(huán)上，求圓環(huán)軸上與環(huán)心相距為x 的點(diǎn)電荷 q 所受的力的大小 .10如圖 3 26 所示，一根均勻帶電細(xì)線，總電量為Q，彎成半徑為 R 的缺口圓環(huán)，在細(xì)線的兩端處留有很小的長為 L 的空隙，求圓環(huán)中心處的場強(qiáng) .11如圖 3 27 所示，兩根均勻帶電的半無窮長平行直導(dǎo)線（它們的電荷線密度為），端點(diǎn)聯(lián)線LN 垂直于這精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案兩直導(dǎo)線，如圖所示 .LN 的長度為 2R. 試求在 LN的中點(diǎn) O處