計(jì)算方法大作業(yè)(西電機(jī)電院)

1、計(jì)算方法大作業(yè)第一部分、計(jì)算方法學(xué)習(xí)回顧1.主要知識(shí)點(diǎn)：誤差分析，插值法與擬合，數(shù)值積分，數(shù)值微分，線性方程組的直接解法和迭代解法，非線性方程求根，矩陣特征值問(wèn)題計(jì)算、常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法2.解決的問(wèn)題：（1）最小二乘擬合方法的實(shí)際應(yīng)用曲線擬合就是擬合測(cè)量數(shù)據(jù)曲線。所選擇的曲線有時(shí)通過(guò)數(shù)據(jù)點(diǎn)，但在其他點(diǎn)上，曲線接近它們而不必通過(guò)它們13,41在大多數(shù)情況下，選擇曲線使得數(shù)據(jù)點(diǎn)的平方誤差和最小。這種選擇就是最小二乘曲線擬合。下面介紹一下最小二乘法擬合的基本原理。設(shè)已知 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) )(i=0，1， 一1)，求(m一1) 次最小二乘擬合多項(xiàng)式：其中設(shè)擬合多項(xiàng)式為各正交多項(xiàng)式：的線性組合：則繼續(xù)

2、往向下推導(dǎo)得：繼續(xù)推導(dǎo)最后可得一般形式的m一1次多項(xiàng)式：即為最小二乘擬合多項(xiàng) 式 其擬合精度由下式來(lái)評(píng)定：應(yīng)用實(shí)例： 某建筑物176 d水平位移測(cè)量數(shù)據(jù)如下表所示，在程序編制過(guò)程中，為了防止運(yùn)算溢出，xi用來(lái)代替，其中x=(i=0n-1)xi/n。此時(shí)，擬合多項(xiàng)式的形式為： 此時(shí)，擬合多項(xiàng)式的形式為： 運(yùn)用最小二乘多項(xiàng)式擬合時(shí)，擬合多項(xiàng)式的次數(shù)越高，其擬合精度未必越高 。以擬合最高次數(shù)l9次為例，擬合系數(shù)如表2，擬合的精度評(píng)定見(jiàn)表3。根據(jù)水平位移的觀測(cè)數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)了累計(jì)觀測(cè)時(shí)間與水平位移的曲線擬合，在有限的測(cè)量數(shù)據(jù)條件下，表述了時(shí)間與該建筑物水平位移之間的函數(shù)關(guān)系。曲線擬合的最小二乘法在解決這類

3、問(wèn)題的數(shù)據(jù)處理和誤差分析中應(yīng)用非常廣泛，提高了數(shù)據(jù)處理的效率和精確度，最d"-乘曲線擬合實(shí)現(xiàn)方法簡(jiǎn)明、適用，可應(yīng)用于類似的測(cè)量數(shù)據(jù)處理和實(shí)驗(yàn)研究。舉例：在萬(wàn)能拉撥機(jī)中有一個(gè)園柱形凸輪，其底園半徑R=300mm，凸輪的上端面不在同一平面上，而要根據(jù)動(dòng)桿位移變化的需要進(jìn)行設(shè)計(jì)制造。按設(shè)計(jì)要求，將底園周18等分，旋轉(zhuǎn)一周。第 個(gè)分點(diǎn)對(duì)應(yīng)柱高 ，數(shù)據(jù)見(jiàn)下表。為了數(shù)控加工，需要計(jì)算出園周上任一點(diǎn)的柱高。凸輪高度的數(shù)據(jù)（單位：mm）分點(diǎn)0和1812345柱高502.8525.0514.3451.0326.5188.6分點(diǎn)67891011柱高92.259.662.2102.7147.1191.6分

4、點(diǎn)121314151617柱高236.0280.5324.9369.4413.8458.3我們將園周展開(kāi)，借助MATLAB軟件畫出對(duì)應(yīng)的柱高曲線散點(diǎn)圖(左下圖)。clear;close;x=linspace(0,2*pi*300,19);y=502.8 ,525.0,514.3,451.0,326.5,188.6,92.2,59.6,62.2,102.7,147.1,191.6,236.0,280.5,324.9,369.4,413.8,458.3,502.8;plot(x,y,o);axis(0,2000,0,550); 可見(jiàn)，可以用三次多項(xiàng)式插值，下面給出借助MATLAB軟件畫出的柱高插值

5、曲線圖(右上圖)。xi=0:2*pi*300;yi=interp1(x,y,xi,cubic);plot(xi,yi);（2）數(shù)據(jù)插值方法及應(yīng)用多項(xiàng)式插值 設(shè)有次多項(xiàng)式通過(guò)所有個(gè)點(diǎn)，那么就有可以證明當(dāng)且時(shí)，這樣的多項(xiàng)式存在且唯一。若要求得到函數(shù)表達(dá)式，可直接解上面方程組。若只要求得函數(shù)在插值點(diǎn)處數(shù)值，可用下列Lagrange插值公式多項(xiàng)式插值光滑但不具有收斂性，一般不宜采用高次多項(xiàng)式（如）插值。第二部分、水槽的液位控制1問(wèn)題的提出耦合水槽如圖3.7所示，對(duì)耦合水槽建模如下： (3-39)其中，為1號(hào)和2號(hào)水槽的截面積，分別是兩個(gè)水槽的液面高度，,分別是兩個(gè)水泵向水槽中注水的體積流速（），,分別

6、是與,對(duì)應(yīng)的比例常數(shù)，通過(guò)升高或者降低擋板可以控制兩個(gè)水槽之間的流速，關(guān)閉2號(hào)水泵，通過(guò)1號(hào)水泵向1號(hào)水槽中注水以控制2號(hào)水槽液面高度2用 MATLAB語(yǔ)言編程的方法實(shí)現(xiàn)水槽液位模糊控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與仿真（1）建立模糊推理系統(tǒng)(FIS) 要想設(shè)計(jì)整個(gè)模糊控制系統(tǒng) ,首先需要建立模糊推理系統(tǒng) ,這也是建模的主要工作。采用MATLAB語(yǔ)言編程的方法 建立模糊推理系統(tǒng)的過(guò)程如下所述。1) 建立新的 FIS結(jié)構(gòu) 設(shè)所建的 FIS結(jié)構(gòu)為 FC. fis ,則命令行為:FC = newfis( FC ) ;這時(shí)便建立了一個(gè)新的名叫 FC的 mamdani 型系統(tǒng)。此時(shí)它的輸入、輸出及規(guī)則都還沒(méi)有定義。2)

7、添加輸入輸出變量 由于本例的模糊推理系統(tǒng)有兩個(gè)輸入變量 時(shí)間t 和 注入1號(hào)水的速度v ,一個(gè)輸出變量為2號(hào)水槽液面高度h2 ,它們所對(duì)應(yīng)的模糊語(yǔ)言變量 T的論域?yàn)?2，200 ,V的論域?yàn)?0，75 ,H2的論域?yàn)?0，15 。則用addvar函數(shù)添加這三個(gè)變量的命令行分別為如下:FC = addvar (FC , input , T , 2，200 ) ;FC = addvar (FC , input , V , 0，75 ) ;FC = addvar (FC , output , H , 0，15 ) ;3) 添加隸屬度函數(shù) 已經(jīng)加入模糊語(yǔ)言變量之后 ,下一步就是給每個(gè)語(yǔ)言變量添加隸屬度

8、函數(shù)。給變量 T添加隸屬度函數(shù)的語(yǔ)句如下:FC = addmf (FC , input ,1 , NB , trapmf , - 6 , - 6 , - 5 ,- 3 )FC = addmf (FC , input ,1 , NS , trapmf , - 5 , - 3 , - 2 ,0 ) ;FC = addmf (FC , input ,1 , ZR , trimf , - 2 ,0 ,2 ) ;FC = addmf (FC , input ,1 , PS , trapmf ,0 ,2 ,3 ,5 ) ;FC = addmf (FC , input ,1 , PB , trapmf ,3

9、 ,5 ,6 ,6 ) ;變量V和H2 隸屬度函數(shù)添加的方法與 T類似。4) 設(shè)計(jì)并添加模糊推理規(guī)則表用編號(hào)的格式給本系統(tǒng)建立模糊列表。根據(jù)編制模糊列表的要求 ,給變量 T、 V及 U 的五個(gè)語(yǔ)言值 NB、 NS、 ZR、PS、 PB依次編號(hào)為 1、 2、 3、 4、 5 ,則根據(jù)前面定義好的規(guī)則表rulelist =1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 51 2 3 4 5 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 55 5 4 4 3 5 4 4 4 4 3 3 3 2 2 1然后可用 addrule函數(shù)給模糊推理系統(tǒng)添加規(guī)則列表 ,添加規(guī)則列表的命令行如下:FC =

10、addrule(FC ,rulelist) ;到此便基本上完成了模糊推理系統(tǒng)的建立。對(duì)于建立好的 FIS結(jié)構(gòu) FC. fis ,需要將它保存起來(lái) ,以便在模糊控制系統(tǒng)中直接調(diào)用它?？梢酝ㄟ^(guò) writefis ( FC) 指令將它保存在MATLAB選取的當(dāng)前路徑下。（2）對(duì)整個(gè)模糊系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)和仿真結(jié)合被控對(duì)象和已經(jīng)建立的模糊推理系統(tǒng) FC. fis ,對(duì)整個(gè)模糊控制系統(tǒng)進(jìn)行建模 ,并設(shè)置相應(yīng)的仿真參數(shù): 給定輸入 R = 1. 0 ;采樣周期 T = 1s ,仿真時(shí)間長(zhǎng)度 t為 200 秒;一型模糊控制系統(tǒng)選取參數(shù)如下： 二型模糊控制系統(tǒng)選取參數(shù)如下：，采用一定的算法（一型模糊控制系統(tǒng) ,KM

11、迭代降型的區(qū)間二型模糊PI控制系統(tǒng)，Wu-Mendel近似法降型的區(qū)間二型模糊PI控制系統(tǒng)），計(jì)算出相應(yīng)的響應(yīng)輸出。最后可得出模糊控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如下圖所示。其中 ,橫坐標(biāo)代表時(shí)間t ,縱坐標(biāo)代表輸出響應(yīng) y。3 分析三個(gè)控制系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)如表3.1中所示，使用ITAE（時(shí)間乘絕對(duì)誤差的積分）作為衡量控制系統(tǒng)的性能標(biāo)準(zhǔn)。從圖3.8及表3.1的性能指標(biāo)中，可以看出，使用KM迭代降型法的IT2模糊PI控制系統(tǒng)性能最優(yōu)，然后為使用Wu-Mendel近似降型法的IT2模糊PI控制系統(tǒng)，一型模糊PI控制系統(tǒng)的性能最差。與一型模糊PI控制系統(tǒng)相比，使用KM迭代降型的IT2模糊PI控制系統(tǒng)在保持上

12、升時(shí)間（從穩(wěn)態(tài)值10%上升至90%所需時(shí)間）不增加的情況下，減小了超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間，而使用Wu-Mendel近似降型的IT2模糊PI控制系統(tǒng)在上升時(shí)間不明顯增加時(shí)，超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間只是略微下降，如表3.3所示。不同控制系統(tǒng)的性能對(duì)比系統(tǒng)類型T1模糊系統(tǒng)IT2模糊系統(tǒng)KMWu-Mendel上升時(shí)間(秒)303031超調(diào)量4.6289%2.4333%4.2686%調(diào)節(jié)時(shí)間(秒)937381性能指標(biāo)(ITAE)6747.65927.96384.4注：，T為仿真截止時(shí)間程序：MATLAB程序：m1=min(P(:,2),P(:,3);m2=max(P(:,3),P(:,2);L=length(x);u

13、=;l=;for i=1:Lif x(i)>=m1 & x(i)<=(m1+m2)/2mu1=1;mu2=gaussmf(x(i),sigma,m2);elseif x(i)>(m1+m2)/2 & x(i)<=m2mu1=1;mu2=gaussmf(x(i),sigma,m1);elsemu1=gaussmf(x(i),sigma,m1);mu2=gaussmf(x(i),sigma,m2);endu=u,max(mu1,mu2);l=l,min(mu1,mu2);endfunctionCA,CA1,CAr=centroid(A)left=min(A(1:8);right=max(A(1:8);dx=(right-left)/500;For j=1:501 X=left+(j-1)*dx; If x<=A(1)|x>=A(4);upperA(j)=0; Elseif x>A(1)&x<A(2);upperA(j)=(x-A(1)/(A(2)-A(1); Elseif x>=A(2)&x<=A(3); upperA(j)=1; Else upperA(j)=(A(4)-x)/(A(4)-A(3); End If x<=A(5