第五章微積分基本公式2ppt課件

1、 在上一節(jié)我們已經看到，直接用定義計算定積分是十分繁難的，因此我們期望尋求一種計算定積分的簡便而又一般的方法。我們將會發(fā)現定積分與不定積分之間有著十分密切的聯系，從而可以利用不定積分來計算定積分。微積分基本公式微積分基本公式變速直線運動中位置函數與速度函數的聯系變速直線運動中位置函數與速度函數的聯系 設設某某物物體體作作直直線線運運動動，已已知知速速度度)(tvv 是是時時間間間間隔隔,21TT上上t的的一一個個連連續(xù)續(xù)函函數數，且且0)( tv，求求物物體體在在這這段段時時間間內內所所經經過過的的路路程程.變速直線運動中路程為變速直線運動中路程為 21)(TTdttv另一方面這段路程可表示為

2、另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs ).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其其中中 一、問題的提出一、問題的提出 設設函函數數)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，并并且且設設x為為,ba上上的的一一點點， xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)( 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動動，則則對對于于每每一一個個取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個個對對應應值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個個函函數數，.)()( xadttfx記記積分上限函數積分上限函數 二、積分上限函數及其導數二、積分上限函數及其導

3、數abxyo定理定理 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函上連續(xù)，則積分上限的函數數dttfxxa )()(在在,ba上具有導數，且它的導上具有導數，且它的導數是數是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 積分上限函數的性質積分上限函數的性質xx )(x x一般情況一般情況 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導導， 則則dttfxFxbxa )()()()(的的導導數數)(xF 為為 )()()()(xbxadttfdxdxF )()()()(xaxafxbxbf 注注此定理表明連續(xù)函數取變上限定積分再對此定理表明連續(xù)函數取變上限定積分再對上限自變量上限自變

4、量 x 求導，其結果就等于被積求導，其結果就等于被積函數在上限自變量函數在上限自變量 x 處的函數值處的函數值若上限不是若上限不是 x 而是而是 x 的函數的函數 a(x)，則求導時必須按復合函數的求導法則進行則求導時必須按復合函數的求導法則進行 )()()()(xaaxaxafdttfdxd例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 00分析分析：這是：這是 型不定式，應用洛必達法則型不定式，應用洛必達法則.解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2

5、cos0 .21e 例例 2 2 設設)(xf在在),( 內內連連續(xù)續(xù)，且且0)( xf.證證明明函函數數 xxdttfdtttfxF00)()()(在在),0( 內內為為單單調調增增加加函函數數.證證 xdtttfdxd0)()(xxf xdttfdxd0)(),(xf ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF,0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內內為為單單調調增增加加函函數

6、數.例例 3 3 設設)(xf在在1 , 0上連續(xù)，且上連續(xù)，且1)( xf.證明證明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上只有一個解上只有一個解.證證令令, 1)(2)(0 dttfxxFx, 1)( xf, 0)(2)( xfxF)(xF在在1 , 0上上為為單單調調增增加加函函數數., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf所所以以0)( xF即即原原方方程程在在1 , 0上上只只有有一一個個解解.0 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數數dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個個原原函函數數. .定理

7、的重要意義：定理的重要意義：（1肯定了連續(xù)函數的原函數是存在的肯定了連續(xù)函數的原函數是存在的.（2初步揭示了積分學中的定積分與原函數之初步揭示了積分學中的定積分與原函數之間的聯系間的聯系. 定理定理2 2原函數存在定理）原函數存在定理） 前述變速直線運動的路程問題表明：前述變速直線運動的路程問題表明：定積分的值等于被積函數的一個原函數定積分的值等于被積函數的一個原函數在時間區(qū)間上的增量，這個事實啟發(fā)我在時間區(qū)間上的增量，這個事實啟發(fā)我們去考察一般的情況，得到肯定的回答。們去考察一般的情況，得到肯定的回答。這就是微積分基本公式。這就是微積分基本公式。定理定理 3 3微積分基本公式）微積分基本公式

8、）如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數數)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個個原原函函數數，則則)()()(aFbFdxxfba . . 三、三、Newton-Leibniz公式公式牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba baxF)( 注注微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： (1) 一個一個連續(xù)函數連續(xù)函數在區(qū)間在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它在它在該區(qū)間該區(qū)間上的上的任意一個原函數任意一個原函數在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的增量增量. （2） N-L公式揭示了積分學兩類基本問題公式揭示了積分學兩類基本問題不定積分與定積分兩者之間的內在聯系不定積分與定積

9、分兩者之間的內在聯系（3求定積分問題轉化為求原函數的問題求定積分問題轉化為求原函數的問題. （4） 為定積分的計算提供了一個普遍、有效而又為定積分的計算提供了一個普遍、有效而又簡便的方法，使得定積分的計算大為簡化。簡便的方法，使得定積分的計算大為簡化。注意注意當當ba 時，時，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.)1sincos2(20 dxxx解解 原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 設設 , , 求求 . . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1 上上規(guī)規(guī)定定當當1 x時時，5)(

10、 xf, 102152dxxdx原原式式xyo126 例例4 4 求求 例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知xyo2xy xy 122 ,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原原式式.211 例例7 7 求求 .112dxx 解解當當0 x時時，x1的的一一個個原原函函數數是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 例例 8 8 計計算算曲曲線線xysin 在在, 0 上上與與x軸軸所所圍圍 成成的的平平面面圖圖形形的的面面積積. 解解 面積面積 0sin xdxA 0cosx. 2

11、 xyo 1.積分上限函數積分上限函數 xadttfx)()(2.積分上限函數的導數積分上限函數的導數)()(xfx 3.微積分基本公式微積分基本公式)()()(aFbFdxxfba 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學與積分學牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學與積分學之間的關系稱之為微積分基本公式。之間的關系稱之為微積分基本公式。注意注意 使用公式的條件使用公式的條件1被積函數被積函數 f(x) 連連續(xù)續(xù) （2Fx是是 f(x) 在在 該區(qū)間上的任一原該區(qū)間上的任一原函數函數四、小結四、小結 設設)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則dttfxa )(與與duufbx )(是是x 的的函函數數還還是是 t與

12、與 u 的的函函數數？它它們們的的導導數數存存在在嗎嗎？如如存存在在等等于于什什么么？ 思考題思考題dttfxa )(與與duufbx )(都都是是x的的函函數數)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 思考題解答思考題解答練練 習習 題題一一、 填填空空題題：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2x

13、xxxxf . .5 5、設設 ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin，（1 1） 、當） 、當nm 時，時， 1I= =_ , ,2I= =_ _ ，（2 2） 、當） 、當nm 時，時，1I= =_ ,_ ,2I= =_ . . 6 6、設、設,sincos nxdxmx（1 1） 、當） 、當nm 時，時，3I= =_ _ , ,（2 2） 、當） 、當nm 時，時，3I= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .二、二、 求導數：求導數：1 1、 設函數設函數)(x

14、yy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所確所確定，求定，求dxdy ；2 2、 設設 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、設、設 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 三、三、 計算下列各定積分：計算下列各定積分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列極限：求下列極限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、250202

15、1)cos1(limxdttxx .五、五、 設設)(xf為連續(xù)函數，證明為連續(xù)函數，證明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . .六、六、 求函數求函數 xdttttxf02113)(在區(qū)間在區(qū)間 1,0上的最上的最大值與最小值大值與最小值 . .七、七、 設設 時，時，或或，當，當時，時，當當 xxxxxf000,sin21)( 求求 xdttfx0)()（ 在在),( 內的表達式內的表達式 . .八、八、 設設 baxf,)(在在上連續(xù)且上連續(xù)且,0)( xf xaxbtfdtdttfxF)()()( , ,證明：證明： （1 1） 、） 、2)( xF ; ; （2 2） 、方程） 、方程0)( xF在在),(ba內有且僅有一個根內有且僅有一個根 . .練習題答案練習題答案一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ；