《運籌學教學資料》運籌學第2章第7節(jié)

1、-1-China University of Mining and Technology運籌學 -2-China University of Mining and Technology運籌學 靈敏度分析靈敏度分析= =對于市場的變化，我們的決策究竟怎樣變化對于市場的變化，我們的決策究竟怎樣變化 （不需要將它當成一個新問題）（不需要將它當成一個新問題）靈敏度分析的重要性在于：靈敏度分析的重要性在于：1. 向決策者提供線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解所能適應的環(huán)境向決策者提供線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解所能適應的環(huán)境條件變化的范圍；條件變化的范圍；2. 環(huán)境條件變化時可能對經(jīng)營狀況帶來何種影響；環(huán)境條件變化時可能對經(jīng)

2、營狀況帶來何種影響；3. 產(chǎn)生影響后的解決途徑。產(chǎn)生影響后的解決途徑。靈敏度分析靈敏度分析-3-China University of Mining and Technology運籌學 靈敏度分析的類型：靈敏度分析的類型：1. 模型中各個參數(shù)在什么范圍變化時，最優(yōu)基不發(fā)生改變。模型中各個參數(shù)在什么范圍變化時，最優(yōu)基不發(fā)生改變。2. 模型中參數(shù)變化已經(jīng)超出上述范圍時，如何快速確定新的最模型中參數(shù)變化已經(jīng)超出上述范圍時，如何快速確定新的最優(yōu)基和最優(yōu)解優(yōu)基和最優(yōu)解新的最優(yōu)決策方案。新的最優(yōu)決策方案。模型中參數(shù)變化主要指：模型中參數(shù)變化主要指：1. 目標函數(shù)的系數(shù)變化；目標函數(shù)的系數(shù)變化；2. 約束條

3、件右邊的值變化；約束條件右邊的值變化；3. 約束條件中約束條件中aij 的變化；的變化；4. 可決策變量增減的變化；可決策變量增減的變化；5. 約束條件增減的變化。約束條件增減的變化。 靈敏度分析靈敏度分析-4-China University of Mining and Technology運籌學 靈敏度分析的任務：靈敏度分析的任務：1.當系數(shù)當系數(shù)A、b、C中的某個發(fā)生變化時中的某個發(fā)生變化時,目前的最優(yōu)基是否仍最目前的最優(yōu)基是否仍最優(yōu)（即目前的最優(yōu)生產(chǎn)方案是否要變化）優(yōu)（即目前的最優(yōu)生產(chǎn)方案是否要變化）?(稱為模型參數(shù)的靈稱為模型參數(shù)的靈敏度分析敏度分析)2.增加一個變量或增加一個約束條

4、件時，目前的最優(yōu)基是否仍增加一個變量或增加一個約束條件時，目前的最優(yōu)基是否仍最優(yōu)（即目前的最優(yōu)生產(chǎn)方案是否要變化）？最優(yōu)（即目前的最優(yōu)生產(chǎn)方案是否要變化）？(稱為模型結構稱為模型結構的靈敏度分析的靈敏度分析) 靈敏度分析靈敏度分析-5-China University of Mining and Technology運籌學 線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題 I 表與表與 B 表的關系表的關系對給定符合典式的線性規(guī)劃問題中，初始基矩陣為對給定符合典式的線性規(guī)劃問題中，初始基矩陣為 I ，基變量為，基變量為 XS ，即松，即松弛變量。其對應的初始單純形表如下：弛變量。其對應的初始單純形表如下： I 表（初

5、始表）表（初始表）對初始單純形表進行迭代之后得到對初始單純形表進行迭代之后得到 B 為最優(yōu)基矩陣，最終典式所對應的單純?yōu)樽顑?yōu)基矩陣，最終典式所對應的單純形表：形表： B 表（最終表）表（最終表）基基解解 X XS XSb A I j C 0 基基解解 XB XN XS XBB -1b I B -1N B -1 j 0 CN CB B -1N - CB B -1 靈敏度分析靈敏度分析-6-China University of Mining and Technology運籌學 原問題原問題對偶問題對偶問題結論或繼續(xù)計算的步驟結論或繼續(xù)計算的步驟可行解可行解可行解可行解非可行解非可行解非可行解非可

6、行解可行解可行解非可行解非可行解可行解可行解非可行解非可行解問題的最優(yōu)解或最優(yōu)基不變問題的最優(yōu)解或最優(yōu)基不變可以用單純形法繼續(xù)迭代求最優(yōu)解可以用單純形法繼續(xù)迭代求最優(yōu)解可以用對偶單純形法繼續(xù)迭代求最優(yōu)解可以用對偶單純形法繼續(xù)迭代求最優(yōu)解引進人工變量，編制新的單純形表重新計算引進人工變量，編制新的單純形表重新計算線性規(guī)劃原問題單純形法對應的線性規(guī)劃原問題單純形法對應的 I 表表中中參數(shù)的變化將引起參數(shù)的變化將引起B(yǎng) 表表中中對應對應參數(shù)的變化情況如下：參數(shù)的變化情況如下：靈敏度分析靈敏度分析基基解解X XS XSbA I j C 0 基基解解XB XN XS XBB -1b I B -1N B

7、-1 j 0 CN CB B -1N - CB B -1 I 表（初始表）表（初始表）B 表（最終表）表（最終表）-7-China University of Mining and Technology運籌學 靈敏度分析的方法：靈敏度分析的方法： 靈敏度分析方法的關鍵是從單純形法對應的靈敏度分析方法的關鍵是從單純形法對應的 I 表表中中參參數(shù)的變化來分析數(shù)的變化來分析B 表表中中對應參數(shù)的變化情況來回答決策者對應參數(shù)的變化情況來回答決策者所關心問題。所關心問題。 靈敏度分析的方法是在目前最優(yōu)基靈敏度分析的方法是在目前最優(yōu)基B下進行的。即當下進行的。即當參數(shù)參數(shù)A、b、c中的某一個或幾個發(fā)生變化

8、時，考察是否影中的某一個或幾個發(fā)生變化時，考察是否影響以下兩式的成立？響以下兩式的成立？ 0011ABCCbBB靈敏度分析靈敏度分析-8-China University of Mining and Technology運籌學 1. 對于參數(shù)對于參數(shù)b的靈敏度分析的靈敏度分析基基解解 XB XN XS XSb B N I j CB CN 0基基解解 XB XN XS XBB-1b I B -1N B -1 j 0 CN CB B -1 - CB B -1I 表表B 表表當當I 表表中中b變化為變化為b時，在時，在B 表中將只有解列表中將只有解列 B-1b發(fā)生變化。發(fā)生變化。靈敏度分析靈敏度分析

9、-9-China University of Mining and Technology運籌學 bXXBB-1bB-1AZC BB-1bC-C BB-1Ab變化的時候，僅對變化的時候，僅對B-1b有影響有影響僅關心僅關心B-1b0?若新的若新的B-1b不滿足不滿足0，最優(yōu)基發(fā)生，最優(yōu)基發(fā)生變化，此時需用對偶單純形法進行變化，此時需用對偶單純形法進行計算，調(diào)整可行性可能計算，調(diào)整可行性可能當當B-1b0時，最優(yōu)基不變（即時，最優(yōu)基不變（即生產(chǎn)產(chǎn)品的品種不變，但數(shù)量生產(chǎn)產(chǎn)品的品種不變，但數(shù)量及最優(yōu)值會變化），此時可以及最優(yōu)值會變化），此時可以簡單求出新最優(yōu)解。簡單求出新最優(yōu)解。所以，所以，b的變化

10、只影響最優(yōu)解的變化和最優(yōu)值的變化。的變化只影響最優(yōu)解的變化和最優(yōu)值的變化。靈敏度分析靈敏度分析-10-China University of Mining and Technology運籌學 若若B-1b0，其是一個不等式組，從中可以解得，其是一個不等式組，從中可以解得b的變化范圍的變化范圍（此時，需保證當前最優(yōu)基變化后仍為最優(yōu)基）（此時，需保證當前最優(yōu)基變化后仍為最優(yōu)基）若若B-1b中有小于中有小于0的分量，則需用對偶單純形法迭代，以求出的分量，則需用對偶單純形法迭代，以求出新的最優(yōu)方案新的最優(yōu)方案。（此時，基變量不變，因為基變量只需要相應的（此時，基變量不變，因為基變量只需要相應的B可可逆

11、就可以了）逆就可以了）bXXBB-1bB-1AZC BB-1bC-C BB-1A 0011ABCCbBB靈敏度分析靈敏度分析-11-China University of Mining and Technology運籌學 I 表表Cj21000CB基基解解X1X2X3X4X50X315051000X424620100X5511001檢驗數(shù)檢驗數(shù) j21000B 表表Cj21000CB基基解解X1X2X3X4X50X315/20015/4-15/22X17/21001/4-1/21X23/2010-1/43/2檢驗數(shù)檢驗數(shù) j000-1/4-1/2靈敏度分析靈敏度分析-12-China Univ

12、ersity of Mining and Technology運籌學 若若b2增加到增加到30，最優(yōu)解如何變化？，最優(yōu)解如何變化？ 53015b 2/34/102/14/102/154/511B00515530152/34/102/14/102/154/511 bB最優(yōu)基不變，最優(yōu)解變?yōu)椋ㄗ顑?yōu)基不變，最優(yōu)解變?yōu)椋?，0，15，0，0）。）。靈敏度分析靈敏度分析-13-China University of Mining and Technology運籌學 I 表表Cj21000CB基基解解X1X2X3X4X50X315051000X424620100X5511001檢驗數(shù)檢驗數(shù) j21000B

13、 表表Cj21000CB基基解解X1X2X3X4X50X315/20015/4-15/22X17/21001/4-1/21X23/2010-1/43/2檢驗數(shù)檢驗數(shù) j000-1/4-1/2靈敏度分析靈敏度分析-14-China University of Mining and Technology運籌學 若若b2增加到增加到32，最優(yōu)解如何變化？，最優(yōu)解如何變化？ 53215b 2/34/102/14/102/154/511B02/12/112/35532152/34/102/14/102/154/511 bB最優(yōu)基發(fā)生變化，用對偶單純形法求解。最優(yōu)基發(fā)生變化，用對偶單純形法求解。靈敏度分析

14、靈敏度分析-15-China University of Mining and Technology運籌學 B 表表Cj21000CB基基解解X1X2X3X4X50X315051002X15110010X420-401-6檢驗數(shù)檢驗數(shù) j0-100-2B 表表Cj21000CB基基解解X1X2X3X4X50X335/20015/4-15/22X111/21001/4-1/21X2-1/2010-1/43/2檢驗數(shù)檢驗數(shù) j000-1/4-1/2靈敏度分析靈敏度分析-16-China University of Mining and Technology運籌學 已知某生產(chǎn)計劃問題的數(shù)學模型，為使

15、最優(yōu)方案不變，已知某生產(chǎn)計劃問題的數(shù)學模型，為使最優(yōu)方案不變，試討論第二個約束條件試討論第二個約束條件b2的變化范圍。的變化范圍。 0,)(2623)(2432.34max21212121xxxxxxtsxxZ工工時時約約束束材材料料約約束束 cj 4 3 0 0 CBXBb x1 x2 x3 x4 34x2x146 0 1 3/5 -2/5 1 0 -2/5 3/5 Z36 0 0 1/5 6/5 解：生產(chǎn)計劃問題的數(shù)學模型和最優(yōu)單純形表為：解：生產(chǎn)計劃問題的數(shù)學模型和最優(yōu)單純形表為：靈敏度分析靈敏度分析-17-China University of Mining and Technolog

16、y運籌學 從矩陣形式的單純形表中可知，從矩陣形式的單純形表中可知，b2的變化只影響解的可行性的變化只影響解的可行性B-1b0，因此，為使最優(yōu)解不變，只需變化以后的，因此，為使最優(yōu)解不變，只需變化以后的B-1b0即可。即可。05354852572245/35/25/25/32221 bbbbB 05354805257222bb由由解得：解得：36162 b當數(shù)據(jù)量十分當數(shù)據(jù)量十分大的時候，十大的時候，十分麻煩分麻煩寫為寫為B-1(24,26)+B-1b靈敏度分析靈敏度分析-18-China University of Mining and Technology運籌學 若若b2變化超過范圍，則需用

17、對偶單純形法進行求解。如變化超過范圍，則需用對偶單純形法進行求解。如b2=6，則則06126245/35/25/25/31 bB 12612431 bBCB cj 4 3 0 0 CBXBb x1 x2 x3 x4 34x2x112-6 0 1 3/5 -2/5 1 0 -2/5 3/5 Z12 0 0 1/5 6/5 將上述數(shù)字替換最優(yōu)單純形表中相應位置的數(shù)據(jù)得：將上述數(shù)字替換最優(yōu)單純形表中相應位置的數(shù)據(jù)得：靈敏度分析靈敏度分析-19-China University of Mining and Technology運籌學 cj 4 3 0 0 CBXBb x1 x2 x3 x4 30 x2

18、x3315 3/2 1 0 1/2 -5/2 0 1 -3/2 Z9 1/2 0 0 3/2 用對偶單純形法迭代，求出的最優(yōu)單純形表如下：用對偶單純形法迭代，求出的最優(yōu)單純形表如下：得到新的最優(yōu)解為：得到新的最優(yōu)解為：x1=0，x2=3; max z=9靈敏度分析靈敏度分析-20-China University of Mining and Technology運籌學 當當 Cj 是非基變量是非基變量 X 的價值系數(shù)的價值系數(shù)時，若要保持最優(yōu)解（或基）不時，若要保持最優(yōu)解（或基）不變，則必須滿足：變，則必須滿足：CN CB B -1N 0基基 解解 XB XN XS XSb B N I j C

19、B CN 0基基解解 XB XN XS XBB -1b I B -1N B -1 j 0 CN CB B -1N - CB B -1I 表表B 表表2.對價值系數(shù)對價值系數(shù)Cj變化的分析變化的分析(1)當當 Cj 變化使得非基變變化使得非基變量的量的Cj Zj 0，即最，即最優(yōu)解（或基）發(fā)生變優(yōu)解（或基）發(fā)生變化，則在原單純形化，則在原單純形B表表的基礎上，繼續(xù)求解的基礎上，繼續(xù)求解模型。模型。靈敏度分析靈敏度分析-21-China University of Mining and Technology運籌學 max z = 2x1 + x2 5x2 15s.t. 6x1 + 2x2 24 x

20、1 + x2 5 x1 ，x2 0I 表表Cj21000CB基基解解X1X2X3X4X50X315051000X424620100X5511001檢驗數(shù)檢驗數(shù) j21000靈敏度分析靈敏度分析-22-China University of Mining and Technology運籌學 B 表表Cj21000CB基基解解X1X2X3X4X50X315/20015/4-15/22X17/21001/4-1/21X23/2010-1/43/2檢驗數(shù)檢驗數(shù) j000-1/4-1/2B 表表CjC11000CB基基解解X1X2X3X4X50X315/20015/4-15/2C1X17/21001/4

21、-1/21X23/2010-1/43/2檢驗數(shù)檢驗數(shù) j0001/4-C1/4C1/2-3/2若要使最優(yōu)解保持不變，求若要使最優(yōu)解保持不變，求x1的價值系數(shù)變化范圍。的價值系數(shù)變化范圍。 02/ )3(04/ )1(11CC311 C靈敏度分析靈敏度分析-23-China University of Mining and Technology運籌學 因此：因此：當當CN（非基變量的目標函數(shù)系數(shù)）中某個（非基變量的目標函數(shù)系數(shù)）中某個Cj發(fā)生變化時，發(fā)生變化時，只影響到非基變量只影響到非基變量xj的檢驗數(shù)的檢驗數(shù)jjjjjBjCCCPBC )()(1 最優(yōu)解改變，需要用單純形法重新進行迭代，以最

22、優(yōu)解改變，需要用單純形法重新進行迭代，以求得新的最優(yōu)解。求得新的最優(yōu)解。0 j 最優(yōu)解不變（最小值）最優(yōu)解不變（最小值）0 j jjC 靈敏度分析靈敏度分析-24-China University of Mining and Technology運籌學 對于下列線性規(guī)劃模型對于下列線性規(guī)劃模型,為使最優(yōu)解不變，討論非基變量為使最優(yōu)解不變，討論非基變量y1的目標函數(shù)系數(shù)的目標函數(shù)系數(shù)c3的變化范圍。的變化范圍。 0,)(26223)(2432.234max21121121121xxyxxyxxtsyxxZ工工時時約約束束材材料料約約束束用單純形法求得其最優(yōu)表為：用單純形法求得其最優(yōu)表為： cj

23、4 3 2 0 0 CBXBb x1 x2 y1 x3 x4 34x2x146 0 1 -1/5 3/5 -2/5 1 0 4/5 -2/5 3/5 Z36 0 0 -3/5 -1/5 -6/5 靈敏度分析靈敏度分析-25-China University of Mining and Technology運籌學 解：因為解：因為y1為非基變量，其目標函數(shù)系數(shù)為非基變量，其目標函數(shù)系數(shù)c3的變化只會影響到的變化只會影響到y(tǒng)1的檢驗數(shù)，因此為使最優(yōu)解不變，只需的檢驗數(shù)，因此為使最優(yōu)解不變，只需03 即即5/135/323 C若若C3=3，則，則523 代入最優(yōu)單純形表中相應位置代入最優(yōu)單純形表中相

24、應位置繼續(xù)迭代以求出新的最優(yōu)解。繼續(xù)迭代以求出新的最優(yōu)解。 cj4 3 2 0 0 CBXBbx1 x2 y1 x3 x4 34x2x146 0 1 -1/5 3/5 -2/5 1 0 4/5 -2/5 3/5 Z36 0 0 -2/5 1/5 6/5 靈敏度分析靈敏度分析-26-China University of Mining and Technology運籌學 當當 Cj 變化使得非基變變化使得非基變量的量的Cj Zj 0，即最，即最優(yōu)解（或基）發(fā)生變優(yōu)解（或基）發(fā)生變化，則在原單純形表化，則在原單純形表的基礎上，繼續(xù)求解的基礎上，繼續(xù)求解模型。模型。當當 Ci 是基變量是基變量 Xi

25、 的目標系數(shù)的目標系數(shù)時，若要保持最優(yōu)解（或基）時，若要保持最優(yōu)解（或基）不變，則必須滿足：不變，則必須滿足：CN CB B 1N 0 - CB B -1 0基基解解 XB XN XS XSb B N I j CB CN 0基基解解 XB XN XS XBB -1b I B -1N B -1 j 0 CN CB B -1N - CB B -1I 表表B 表表2.對價值系數(shù)對價值系數(shù)Cj變化的分析變化的分析(2)靈敏度分析靈敏度分析-27-China University of Mining and Technology運籌學 0-1 ABCCB的的范范圍圍就就可可得得到到jC 在上題中，設基變

26、量在上題中，設基變量x1的系數(shù)的系數(shù)C1變化為變化為C1+C1 ，在最優(yōu)性不，在最優(yōu)性不變的條件下，試確定變的條件下，試確定C1的范圍的范圍解：解： 00345/35/2015/25/31043111CCCABCB 003453565251341111CCCC 因此：因此：當當CB（基變量的目標函數(shù)系數(shù)）中某個（基變量的目標函數(shù)系數(shù)）中某個Cj發(fā)生變化時，會影響發(fā)生變化時，會影響到所有變量的檢驗數(shù)，解不等式組到所有變量的檢驗數(shù)，解不等式組靈敏度分析靈敏度分析-28-China University of Mining and Technology運籌學 0535652510011 CC5 .

27、4221205356052511111 CCCC即即42636585100, 51111 CbBCCABCCBB則則若若將上述數(shù)字替換單純形表中相應位置的數(shù)字得：將上述數(shù)字替換單純形表中相應位置的數(shù)字得： cj 4 3 0 0 CBXBb x1 x2 x3 x4 35x2x146 0 1 3/5 -2/5 1 0 -2/5 3/5 Z42 0 0 -1/5 8/5 靈敏度分析靈敏度分析-29-China University of Mining and Technology運籌學 用單純形法迭代得最優(yōu)解表如下：用單純形法迭代得最優(yōu)解表如下： cj 4 3 0 0 CBXBb x1 x2 x3

28、x4 05x3x120/326/3 0 5/3 1 -2/3 1 2/3 0 1/3 Z130/3 0 1/3 0 16/15 靈敏度分析靈敏度分析-30-China University of Mining and Technology運籌學 第一種情況（當?shù)谝环N情況（當j JN）：即）：即aij為非基變量為非基變量xj的技術系數(shù)時，它的變的技術系數(shù)時，它的變化只影響化只影響xj的系數(shù)列的系數(shù)列B-1Pj和檢驗數(shù)和檢驗數(shù)j，為使最優(yōu)方案不變，只需，為使最優(yōu)方案不變，只需j =0。3.對技術系數(shù)對技術系數(shù)aij變化的分析變化的分析第二種情況（當?shù)诙N情況（當j JB）：由于）：由于B中元素的改

29、變影響到中元素的改變影響到B-1的變化，的變化，因此也影響到整個單純形表因此也影響到整個單純形表T(B)的變化。目前的基的變化。目前的基B對應的解有對應的解有可能既不是原始可行，也不是對偶可行。于是不如重新求解?？赡芗炔皇窃伎尚?，也不是對偶可行。于是不如重新求解。靈敏度分析靈敏度分析-31-China University of Mining and Technology運籌學 0,)(26223)(2432.234max21121121121xxyxxyxxtsyxxZ工工時時約約束束材材料料約約束束 cj 4 3 2 0 0 CBXBb x1 x2 y1 x3 x4 34x2x146 0

30、 1 -1/5 3/5 -2/5 1 0 4/5 -2/5 3/5 Z36 0 0 3/5 1/5 6/5 對于下列規(guī)劃問題的最優(yōu)解，若由于工藝改進，對于下列規(guī)劃問題的最優(yōu)解，若由于工藝改進，y1的技術系數(shù)改為的技術系數(shù)改為p3=(1,1)T，試討論最優(yōu)解的變化。，試討論最優(yōu)解的變化。解：解： 532115/65/13313 CPBCB 最優(yōu)解改變。此時其系數(shù)列改為：最優(yōu)解改變。此時其系數(shù)列改為：靈敏度分析靈敏度分析-32-China University of Mining and Technology運籌學 5/15/1115/35/25/25/331PB將上述數(shù)據(jù)替換最優(yōu)表中相應位置的數(shù)

31、據(jù)，然后再用單純形法將上述數(shù)據(jù)替換最優(yōu)表中相應位置的數(shù)據(jù)，然后再用單純形法求得新的最優(yōu)解。求得新的最優(yōu)解。 cj 4 3 2 0 0 CBXBb x1 x2 y1 x3 x4 34x2x146 0 1 1/5 3/5 -2/5 1 0 1/5 -2/5 3/5 Z36 0 0 -3/5 1/5 6/5 靈敏度分析靈敏度分析-33-China University of Mining and Technology運籌學 設某企業(yè)在計劃期內(nèi)，擬議生產(chǎn)新產(chǎn)品設某企業(yè)在計劃期內(nèi)，擬議生產(chǎn)新產(chǎn)品Xn+1，并已知新產(chǎn)品的，并已知新產(chǎn)品的單位利潤為單位利潤為Cn+1，消耗系數(shù)向量為，消耗系數(shù)向量為Pn+1=

32、(a1,n+1,a2,n+1,am,n+1)T，此，此時應如何分析才能確定該新產(chǎn)品是否值得投產(chǎn)？時應如何分析才能確定該新產(chǎn)品是否值得投產(chǎn)？ 增加新產(chǎn)品應在不影響企業(yè)目前計劃期內(nèi)最優(yōu)生產(chǎn)的前提下增加新產(chǎn)品應在不影響企業(yè)目前計劃期內(nèi)最優(yōu)生產(chǎn)的前提下進行。因此可從現(xiàn)行的最優(yōu)基進行。因此可從現(xiàn)行的最優(yōu)基B出發(fā)考慮：出發(fā)考慮：若若n+1=CBB-1Pn+1Cn+10，則不應投入則不應投入。 即新產(chǎn)品的機會成本小于目前的市場價格時，應投產(chǎn)否則不即新產(chǎn)品的機會成本小于目前的市場價格時，應投產(chǎn)否則不應投產(chǎn)。應投產(chǎn)。4.對增加新產(chǎn)品的分析對增加新產(chǎn)品的分析靈敏度分析靈敏度分析-34-China Universi

33、ty of Mining and Technology運籌學 現(xiàn)有一新產(chǎn)品丙，經(jīng)預測其單位利潤為現(xiàn)有一新產(chǎn)品丙，經(jīng)預測其單位利潤為3，技術消，技術消耗系數(shù)為耗系數(shù)為P5=（2，2）T，問該產(chǎn)品是否值得投產(chǎn)？，問該產(chǎn)品是否值得投產(chǎn)？解：解：5/1322)5/65/1(5515 CPBCB 值得投產(chǎn)。值得投產(chǎn)。其系數(shù)列為：其系數(shù)列為： 5252225253535251PB靈敏度分析靈敏度分析-35-China University of Mining and Technology運籌學 cj 4 3 0 0 3CBXBb x1 x2 x3 x4 y5 34x2x146 0 1 3/5 -2/5 2/5 1 0 -2/5 3/5 2/5