簡(jiǎn)化解析匯報(bào)幾何運(yùn)算技巧專(zhuān)題

1、專(zhuān)題：簡(jiǎn)化解析幾何運(yùn)算的5個(gè)技巧中學(xué)解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，用方程的觀點(diǎn)來(lái)研究曲線，體現(xiàn)了用代 數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題的優(yōu)越性，但有時(shí)運(yùn)算量過(guò)大，或需繁雜的討論，這些都會(huì)影響解題 的速度，甚至?xí)兄菇忸}的過(guò)程，達(dá)到“望題興嘆”的地步.特別是高考過(guò)程中，在規(guī)定的 時(shí)間內(nèi)，保質(zhì)保呈完成解題的任務(wù)，計(jì)算能力是一個(gè)重要的方面.為此，從以下幾個(gè)方面探 索減輕運(yùn)算呈的方法和技巧，合理簡(jiǎn)化解題過(guò)程，優(yōu)化思維過(guò)程.技法一巧用定義，揭示本質(zhì)定義是導(dǎo)岀其性質(zhì)的"發(fā)源地X解題時(shí)，應(yīng)善于運(yùn)用圓錐曲線的定義，以數(shù)形結(jié)合思 想為指導(dǎo)，把定量的分析有機(jī)結(jié)合起來(lái)，則可使解題計(jì)算呈大為簡(jiǎn)化，使解題構(gòu)筑在較

2、高的 水平上.£典例如圖，斤是橢圓G： - + y=1與雙曲線Q的公共焦點(diǎn)，A. 8分別是久G在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形S斤殆為矩形，則Q的離心率是（）解析由已知，得斤（一5, 0）,月（羽，0）,設(shè)雙曲線Q的實(shí)半軸長(zhǎng)為a,由橢圓及雙曲線的定義和已知,解得/=2,|朋| + | 朋 |=4, 可得陰一 I朋|=2日,J /|2+H6|2=12,故a=©所以雙曲線Q的離心率e=答案D方法點(diǎn)撥本題可巧妙運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義建立AF. af2的等量關(guān)系，從而快速求出雙曲 線實(shí)半軸長(zhǎng)。的值，進(jìn)而求岀雙曲線的離心率，大大降低了運(yùn)算呈.對(duì)點(diǎn)演練拋物線=4宓（方0）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)

3、P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A-m. 0）,則槪的最小值為解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為3,心 由拋物線的定義，知|明=應(yīng)+風(fēng) 又|創(chuàng)2=(+掰+必=(*+初+4叱,則(陽(yáng)卜 加佇帚4跆=一 '畑 M 爲(wèi) = “+ m 22yj xp m 2抽且僅當(dāng)xp=m時(shí)取等號(hào))，所以愣卜羋，所以協(xié)的最小值為李處案.亞口木2技法二設(shè)而不求.整體代換對(duì)于直線與圓錐曲線相交所產(chǎn)生的中點(diǎn)弦問(wèn)題，涉及求中點(diǎn)弦所在直線的方程，或弦的 中點(diǎn)的軌跡方程的問(wèn)題時(shí)，常常可以用代點(diǎn)法求解.2 2典例已知橢圓£：牛+召=1 (a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3, 0),過(guò)點(diǎn)F的直線交F于兒a dB兩點(diǎn).若力0的中點(diǎn)

4、坐標(biāo)為(1, -1),則F的標(biāo)準(zhǔn)方程為()解析設(shè) Me yi), Bg yD ,則 xi + x2=2, p + w=2,一得山+ ”2XX1所以耘yF “+溝8x xi a yi+y? a又心=尹=扌,所以纟冷又 9 = c=a-/>解得 F=9, 5=18,2 2所以橢圓F的方程為令+彳=1答案D方法點(diǎn)撥本題設(shè)岀兒3兩點(diǎn)的坐標(biāo)，卻不需求岀兒8兩點(diǎn)的坐標(biāo)，巧妙地表達(dá)出直線MB的斜 率，通過(guò)將直線SB的斜率“算兩次”建立幾何量之間的關(guān)系，從而快速解決問(wèn)題.對(duì)點(diǎn)演練過(guò)點(diǎn)4/(1. 1)作斜率為一的直線與橢圓C：手+務(wù)=06>0)相交于兒0兩點(diǎn)，若"是線段S3的中點(diǎn)，則橢圓C

5、的離心率等于解析：設(shè)力(M, X), Bg必)，yy2yi+/2=0,X_X2yi+/2- 必一乃X_X2k + “2=2, yi + y?=2,X、 X2£ .廿=2/又，.廿=2&_<), ./=2& .£=¥.a l即橢圓G的離心率e=*. 牧案.亞口2技法三巧用“根與系數(shù)的關(guān)系”.化繁為簡(jiǎn)某些涉及線段長(zhǎng)度關(guān)系的問(wèn)題可以通過(guò)解方程、求坐標(biāo)，用距離公式計(jì)算長(zhǎng)度的方法來(lái)解；但也可以利用一元二次方程，使相關(guān)的點(diǎn)的同名坐標(biāo)為方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系求岀兩根間的關(guān)系或有關(guān)線段長(zhǎng)度間的關(guān)系.后者往往計(jì)算呈小，解題過(guò)程簡(jiǎn)捷.典例(2016 全國(guó)甲卷

6、)已知橢圓=1的焦點(diǎn)在"軸上，力是F的左頂點(diǎn),斜率為A(A>0)的直線交F于兒兩點(diǎn)，點(diǎn)N在F上，必丄必當(dāng)t=4, AM = AM時(shí)，求AS剜的面積；(2)當(dāng)2A/A = AM時(shí)，求斤的取值范圍.解設(shè)"(e yi),則由題意知“>0X v當(dāng)十=4時(shí)，F(xiàn)的方程為-+y=1, >1(-2. 0). 由已知及橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，直線力的傾斜角為 因此直線/I"的方程為y=x+2.將*=#_2代入扌+彳=1,得”一 12=0.12I?解得y=0或y=y,所以yi=y11212144因此例的面積 Sahn 2 X X X=-. 由題意知十>3, QQ,力(

7、一心，0).2 2將直線初的方程y=k(x+Jt)代入半+彳=1,得(3+ M2) x+2yt t/r2%4- t2A2 3t=0.故 | AM = | Xi+A2=.由題設(shè)，直線M的方程為尸一扣+心), 故同理可得I AN.即(#一2) t=3A(2A-1)3l3k 2k當(dāng)k=&時(shí)上式不成立，因此十=一歹二即尋0.«2<0, 護(hù)一 2>0,Q故斤的取值范圍是(羽，2).方法點(diǎn)撥、斤 31!<本例在第(2)問(wèn)中可應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系求岀山=一,這體現(xiàn)了整體思路這 是解決解析幾何問(wèn)題時(shí)常用的方法，簡(jiǎn)單易懂，通過(guò)設(shè)而不求，大大降低了運(yùn)算量.對(duì)點(diǎn)演練(2016 蘭州

8、實(shí)戰(zhàn)考試)已知橢圓巧+務(wù)=1 3>b>0)的離心率為扌，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)彳1,卻, 左' 右焦點(diǎn)分別為4.(1) 求橢圓C的方程；過(guò)E的直線/與橢圓c相交于力，b兩點(diǎn)，若鵬8的內(nèi)切圓半徑為孳，求以尺 為圓心且與直線/相切的圓的方程.r 1解:(1)由一=刁 得a=2c、所以a2=4c2, 6=3亂a L將點(diǎn)彳1, 訥坐標(biāo)代入橢圓方程得c2=1,故所求橢圓方程為彳+£=143(2) 由(1)可知(-1.0)，設(shè)直線/的方程為x=ty-1,代入橢圓方程，整理得(4+3#)/649=0,顯然判別式大于0恒成立，設(shè)力3, M), Bg /2), AF1B的內(nèi)切圓半徑為廠0,E,+

9、, 6t93*/2則有必+#2=4+3孑,"#2=4+3孑,心=虧一，所以S、AFiB= SAF、FAS、旺氏占只臥 |/一必|=|斤刃腫+必？一4»刃= 12心+14+3/ 而 S朋8= j|朋| ro+*|BFi| ro+扌AF2r.=,(|個(gè) + |勵(lì)| + |鵬|)=(| 朋 | + | 亦 | + | 昭 | + | 鵬 |)=po 4a13J2= -X8X-12/27所以號(hào)蚩尹=呼，解得"=1,2因?yàn)樗髨A與直線/相切，所以半徑r=-=J2,心+1所以所求圓的方程為（x-1）2+y2=2.技法四借“曲線系S理清規(guī)律利用曲線系解題，往往簡(jiǎn)捷明快，事半功倍

10、，所以靈活運(yùn)用曲線是解析幾何中重要的解 題方法和技巧之一.典例已知雙曲線p-p=1（a>0, 6>0）的一條漸近線方程是y=®,它的一個(gè)焦 點(diǎn)在拋物線?=24x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（）2 2 2 2A 36 108_1B 9 27_12 2 2 2c z_r=1d 1C- 108 36 1D 27 912 2解析由雙曲疇一纟=1>0, 6>0）的一條漸近線方程是y=W，可設(shè)雙曲線的2方程為 x-y=a（4>0）.因?yàn)殡p曲線£一£=1 （日>0, b>Q）的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線/ = 24”的準(zhǔn)線上， a b所以F（6.0

11、）是雙曲線的左焦點(diǎn)，即人+3/1 =36, 4=9,所以雙曲線的方程為=1.答案B方法點(diǎn)撥本題利用共漸近線系雙曲線方程，可使問(wèn)題馬上得到解決.避免了復(fù)雜的判斷、可能的 分類(lèi)討論、繁雜的解方程組，事半功倍.對(duì)點(diǎn)演練圓心在直線%y4=0上,且經(jīng)過(guò)兩圓x + y+6x4=0和x + y +6y28 = 0的交點(diǎn) 的圓的方程為（）A. x+y-x+7y-32 = 0B 2+y-x+7y-16=0C x2+y-4x+4y+9 = 0D x+y-4x+4y-8 = 0解析：選A設(shè)經(jīng)過(guò)兩圓的交點(diǎn)的圓的方程為x+ y+6x-4+ A (/ + y2 + 6y-28) =0,on 21 216. 6/14+28

12、 4即 x +/ +x+7TTy"7T7-°*其圓心坐標(biāo)為(-島，-詡，QO 2又圓心在直線x-y-4=0±,所以一存丁+r4=0,解得久=一7,故所求圓的方程為x+y-x+7y-32=0.技法五巧引參數(shù)，方便運(yùn)算換元引參是一種重要的數(shù)學(xué)方法，特別是解析幾何中的最值問(wèn)題、不等式問(wèn)題等，利用 換元引參使一些關(guān)系能夠相互聯(lián)系起來(lái)，激活了解題的方法，往往能化難為易，達(dá)到事半功 倍.常見(jiàn)的參數(shù)可以選擇點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率、直線的傾斜角等.在換元過(guò)程中，還要注 意代換的等價(jià)性，防止擴(kuò)大或縮小原來(lái)變量的取值范圍或改變?cè)}條件.典例設(shè)橢圓-+=1 (a>>0)的左、

13、右頂點(diǎn)分別為兒E點(diǎn)P在橢圓上且異于兒 a b8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).若AP = OA,證明直線"的斜率斤滿足胡>芒.解法一：依題意，直線的方程為卩=心，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(心M)由條件，得y°=kxg扌&消去并并整理，得入=由|臚| = | 刑，A(a, 0)及 M = Zr*o,得(xo+a) ? + F怎=a整理得(1+妁處+2疑=02a而垃工0,于是“0=亍匚0代入 整理得(1+A2)2=4A2+4.又 a>b>Qt 故(1+F)2>4護(hù)+4,即 #+1>4,因此 #>3,所以k>y3.法二：依題意，直線的方程為y=kx,可

14、設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(心 娥). 由點(diǎn)P在橢圓上，得扌+晉因?yàn)閒心0,所以評(píng)即（1+護(hù)）處V/AP = OA及力（一日,0）,得（Xo+a）2 + /r Xo=a , 整理得（1 +F）處+2曰疋=0,于是xo = +；, 代入，得（1+G 起2 2</, 解得卅>3,所以|川>羽.法三：設(shè) P（acos 8, hsin &）（0W&V2n）, 則線段OP的中點(diǎn)0的坐標(biāo)為號(hào)cos 8,彳sin &）.AP = OA<AO1.02 沁 A=-1. 又力（一日,0）,所以心=夕?山一°帀,2.av acQS （7即 bs i n 0 ak/os

15、0 =2akAo從而可得 12akAo Wyj6 + /gJ 1 + 煽,解得I如V零 故|川=侖>筋.方法點(diǎn)撥求解本題利用橢圓的參數(shù)方程，可快速建立各點(diǎn)之間的聯(lián)系，降低運(yùn)算量.對(duì)點(diǎn)演練2 2（2016 -長(zhǎng)春市質(zhì)量檢測(cè)）橢圓牛+召=1>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F、% 且離心 a b率為*，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)PH面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為4,過(guò)右焦點(diǎn)斤的直線/與橢圓相交于兒8兩點(diǎn)，連接加，AB 并延長(zhǎng)分別交直線"=4于/?, 0兩點(diǎn)，問(wèn)転扇是否為定值？若是，求出此定值；若不 是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：已知橢圓的離心率為*,不妨設(shè)c=t, a=21,則b=g,其中t>0,當(dāng)斤朋面積取最大值時(shí)，點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)， 因此寸2十羽十=羽，解得十=1,X v則橢圓的方程為4+7=1.由可知月(1.0), 4 (