直線與圓大題訓(xùn)練

1、1 已知點(diǎn)A ( a ,3 ),圓C的圓心為(1,2 ),半徑為2 .(I )求圓C的方程；(II )設(shè)a=3,求過(guò)點(diǎn)A且與圓C相切的直線方程；(III )設(shè)a=4,直線l過(guò)點(diǎn)A且被圓C截得的弦長(zhǎng)為2靈，求直線l的方程;(IV)設(shè)a=2,直線li過(guò)點(diǎn)A,求li被圓C截得的線段的最短長(zhǎng)度，并求此時(shí)li的方程. 2 22. 已知圓 C: x 1 y 24，直線 l : y kx 1 2k。(l) 求證：直線l與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；(n)求出直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)，并求出截得最短弦長(zhǎng)時(shí)的 k的值；ULUV ULUV(m)設(shè)直線l與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)為M N,且CM CN 2 (點(diǎn)C為圓C的圓心)， 求

2、直線l的方程。3.已知圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A (3, 3), B (4, 2),且圓心C在直線x y 5 0上。(1) 求圓C的方程；(n)直線l過(guò)點(diǎn)D (2, 4)，且與圓C相切，求直線l的方程。若Q (1, 0),求切線QA QB的方程; 求四邊形QAM面積的最小值； 若|AB|=也，求直線MC的方程。34. 已知圓M x2+ (y-2 ) 2=1, Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA QB分別切圓M于A, B兩點(diǎn)。 (1)(3)(2)5.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，且y軸和直線x VSy 2 0均與圓C相切.(1) 求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；MPN為銳角，求實(shí)設(shè)點(diǎn)P 0,1，若直線y x m與圓C相交于M N兩

3、點(diǎn)， 數(shù)m的取值范圍.參考答案1. (I ) x(II ) 3x4y21-1），(III ) yy 2 24 ； (II )k -x，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)也滿足題意；（）由直線被圓截得的弦長(zhǎng)為275,故而圓心到直線的距離為d J2 (1)見(jiàn)解析；(2) 2近，k 1 (3) y 1【解析】試題分析：（1）直線l : y kx 1 2k可化為y 1 k X 2，證明直線過(guò)圓2 2C: x 1 y 24的內(nèi)部定點(diǎn)，即可證明結(jié)論； 弦的中點(diǎn)與圓心連線與弦垂 直時(shí)弦長(zhǎng)最小，利用勾股定理可得結(jié)果；（3）設(shè)CM"與CN的夾角為，由CUUV Cn2，可得cos 1，從而 120，可得點(diǎn)C到直線I的

4、距離為1，利2用點(diǎn)到直線距離公式求出列方程求得 k 0，從而可得直線I的方程.試題解析：（1）直線l : y kx 1 2k可化為y 1 k x 2，因此直線過(guò)定點(diǎn) A （2,府 1,利用點(diǎn)到直線的距離解出k的值即可 得直線方程；（IV）首先判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)l1與AC垂直時(shí)，直線截圓所得線段最短， 可得直線11的方程，再求出點(diǎn)到直線的距離即可求出弦長(zhǎng)試題解析：（I ）圓C的方程為x 1 2 y 2 24 ;（II ）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程的點(diǎn)斜式為y 3 k X 3，即kx y 3k 3 0則圓心到直線的距離為dk 2 3k 32，解得kI，即切線方程為3x 4y 21 0，當(dāng)斜率不存在

5、時(shí)，直線方程為x 3，滿足題意，故過(guò)點(diǎn)A且與圓C相切的直線方程為3x 4y 210或X 3 ；（III ）設(shè)直線方程為y 3k X 4，即 kxy 4k 3 0，由于直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2漿，故而弦心距為d|k 2 4k 3J1 k2耳空1,解得k 0V1 k2或k -，即直線l的方程為4y -x或y 3；4當(dāng)li與AC垂直時(shí)，直線截圓所得線22(IV) 2 13 24，二點(diǎn) A在圓內(nèi),段最短， kAC 1，二直線l1的斜率為1,故直線l1的方程為x y 5 0，圓心到直線li的距離為J=5 近，故弦長(zhǎng)為2店亦 242 .4的內(nèi)部顯然該點(diǎn)A在圓C : x 1 所以圓C的方程為x 3(2) 當(dāng)直

6、線I的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k ,則直線方程為y4 k X 2，即kx y 2k 40因?yàn)橹本€I與圓相切,直線I的方程為3x 4y 22 0當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，直線I方程為x 2 此時(shí)直線I與圓心的距離為1 (等于半徑) y 2 2 所以直線I與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)。圓心C (1, -2 ),半徑r 2, AC721所以弦長(zhǎng)此時(shí)kAC屮1 22 11。所以k(3)設(shè)CM'與CNT的夾角為uuuv uuu,因?yàn)镃M CNuuuv CMuuivCN cos 4cos 21所以cos 丄，從而2120，所以點(diǎn)C到直線I的距離為1k 2 1 2k1，所以所以直線I的方程是y223. (1) x

7、3 y 21 (2)直線 I 的方程為 3x 4y 22 0或 x 2【解析】試題分析：(1)兩點(diǎn)式求得線段AB的垂直平分線方程，與直線x y 5 0驗(yàn)2，各聯(lián)立可得圓心坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式可得圓的半徑，從而可得圓的方程； 證斜率不存在時(shí)直線x 2符合題意，設(shè)出斜率存在時(shí)的切線方程y 4 k X根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求出k,x y 10,/口 X上由x y 5 0得y，從而可得直線I的方程為43x 4y 220.試題解析：(1)因?yàn)閳AC 與 X軸交于兩點(diǎn)A( 3,3),B( 4,2),所以圓心在直線x3,2.即圓心C的坐標(biāo)為(3, 2)半徑rBC M2 O2所以，X 2符合題意。綜上

8、所述，直線I的方程為3x 4y 220或x 2。.求圓的方X, y的方程即可以根.本題(1)【方法點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程和性質(zhì)、圓的切線方程，屬于中檔題 程常見(jiàn)思路與方法有：直接設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) x,y ，根據(jù)題意列出關(guān)于 可；根據(jù)幾何意義直接找到圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程；待定系數(shù)法, 據(jù)題意設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般式方程，再根據(jù)所給條件求出參數(shù)即可 是利用方法解答的.4. (1) 3x 4y 3 0 和 x 1 ； (2)/3 ; (3) 2x 屈 25 0或 2x 屈 25 0 【解析】試題分析：(1)討論直線的斜率是否存在，根據(jù)圓心到直線的距離等于半 徑求出直線的斜率；(2) 根據(jù)面積公式

9、可知 MQ最小時(shí)，面積最小，從而得出結(jié)論；(3) 根據(jù)切線的性質(zhì)列方程取出 MQ的值，從而得出Q點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線 MQ勺 方程.試題解析：(1) 設(shè)過(guò)點(diǎn)Q的圓M的切線方程為x=my+1, 則圓心M到切線的距離為1,所以l2m 11，所以m= 4或0,Vm213所以QA QB的方程分別為3x+4y-3=0和x=1oMQ I MA|273。(2) 因?yàn)镸ALAQ所以 S 四邊形 MAC=|MA| |QA|=|QA|= d 所以四邊形QAM面積的最小值為碼。(3) 設(shè) AB與 MQ交于 P,貝U MPLAB, MBLBQ所以|MP|=n 座 -0 332在 Rt MBC中, |MB| =|MP|

10、MQ|，即 1 = -|MQ|，所以 |MQ|=3,所以 x2+ (y-2 ) 2=9o3設(shè) Q (x，0)，則 x2+22=9,所以 x=± 苗，所以 Q (±75，0)， 所以 MQ的方程為 2x+75y+275=0 或 2x- 75y-2 75=0。5. (1) x 2 2 y24 ; (2)227?,1 爲(wèi)(1 亦,22丘2 2【解析】試題分析：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及用向量解決直線和圓位置關(guān)系中的角度的問(wèn)題。(1) 設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意得關(guān)于參數(shù)的方程組，求得參數(shù)可得圓的方程。(2) 利用代數(shù)法求解，將 MPN為銳角轉(zhuǎn)化為 醐PNi 0求解。試題解析:

11、（1）設(shè)圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為：Ab+卜-疔"兀"0）,3 > 0 b = Q11 R rI說(shuō)一伍+ 2|_廠故由題意得I，解得a = 2h = 0r- 2圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:（工一疔+八4y X m由x 22 y2消去y整理得42:2 + 2（刪一2）疋 + 刪° = 0 直線y X m與圓C相交于M N兩點(diǎn), .4 = 4（陽(yáng)-2）2 -8朋'>0 解得-2 2/ <f?t <2 + 2/ ,碼+乃=2-覘兀1花=疋則2 毗=山仍-1）¥JV=E-1）.X m 1 x2m 1依題意得 PM PN x1x2 y1 1 y2 12x1x2 m 1 X| x2m 12 2m m 12 m m 1整理得m2 m 10，-l-nA -UJ5腦 <m > 解得2 或 2 又-2 2j2 <<2-2-j2t-2-逅士込U（士主T4邁故實(shí)數(shù)m的取值范圍是22.點(diǎn)睛：BC2），（1）對(duì)于 BAC為銳角的問(wèn)題（或點(diǎn)A在以BC為直徑的圓外，或AB2 + AC 都可轉(zhuǎn)化為AB AC 0，然后坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算處理。（2）對(duì)于直線和圓