時域采樣與頻域采樣

1、實用標準文案實驗二：時域采樣與頻域采樣一、實驗目的：時域采樣理論與頻域采樣理論是數(shù)字信號處理中的重要理論。要求掌握模擬信號采樣前后頻譜的變化，以及如何選擇采樣頻率才能使采樣后的信號不丟失信息；要求掌握頻率域采樣會引起時域周期化的概念，以及頻率域采樣定理及其對頻域采樣點數(shù)選擇的指導作用。二、實驗原理與方法：1、時域采樣定理的要點：1）對模擬信號 xa (t) 以間隔 T 進行時域等間隔理想采樣，形成的采樣信號的頻譜?) 以采樣角頻率s（s2 / T ）為周期進行X ( j ) 是原模擬信號頻譜 X a ( j周期延拓。公式為：?1X a ( jjns )X a( j ) FT xa (t)T n

2、2）采樣頻率s 必須大于等于模擬信號最高頻率的兩倍以上，才能使采樣信號的頻譜不產生頻譜混疊。利用計算機計算上式并不方便， 下面我們導出另外一個公式， 以便用計算機上進行實驗。理想采樣信號 x?a (t ) 和模擬信號 xa (t) 之間的關系為?(t nT )xa (t ) xa (t )n對上式進行傅立葉變換，得到：? xa (t)(t nT )ej tdtX a ( j )n精彩文檔實用標準文案xt)(tnT e j tdtna ()在上式的積分號內只有當tnT 時，才有非零值，因此?jnTX a ( j)xa (nT )en上式中，在數(shù)值上xa (nT ) x(n) ，再將T 代入，得到

3、：?x( n)ej nX a ( j )n上式的右邊就是序列的傅立葉變換X (e j ) ，即?( j )X (ej) TX a上式說明理想采樣信號的傅立葉變換可用相應的采樣序列的傅立葉變換得到， 只要將自變量用 T 代替即可。2 、頻域采樣定理的要點：a) 對信號 x(n) 的頻譜函數(shù) X(ej ) 在0 ，2 上等間隔采樣 N 點，得到X N (k )X (e j )2k, k0,1,2, N1N則 N 點 IDFT X N ( k) 得到的序列就是原序列x(n) 以 N 為周期進行周期延拓后的主值區(qū)序列，公式為：xN (n)IDFT X N ( k) Nx(niN ) RN (n)ib)

4、 由上式可知，頻域采樣點數(shù) N 必須大于等于時域離散信號的長度 M(即 N M)，才能使時域不產生混疊， 則 N點 IDFT X N (k ) 得到的序列 xN (n) 就是原序列 x(n), 即 xN (n) =x(n) 。如果 NM， xN (n) 比原序列尾部多N-M零點；如果 NM，z 則 xN ( n) =IDFT X N (k) 發(fā)生了時域混疊失真，而且xN (n)的長度 N也比 x(n) 的長度 M短，因此。 xN (n) 與 x(n) 不相同。在數(shù)字信號處理的應用中，只要涉及時域或者頻域采樣，都必須服從這兩個采樣理論的要點。對比上面敘述的時域采樣原理和頻域采樣原理，得到一個有用

5、的結論，這兩個采樣理論具有對偶性：“ 時域采樣頻譜周期延拓， 頻域采樣時域信號周期延拓” 。精彩文檔實用標準文案因此放在一起進行實驗。三、實驗內容及步驟：1、時域采樣理論的驗證：給定模擬信號，()Aetsin() ()xa t0t u t式中 A=444.128，=502 ，0 =50 2 rad/s ，它的幅頻特性曲線如圖 2.1圖 2.1xa (t ) 的幅頻特性曲線現(xiàn)用 DFT(FFT)求該模擬信號的幅頻特性，以驗證時域采樣理論。安照x(t) 的幅頻特性曲線，選取三種采樣頻率，即F，。觀as =1kHz 300Hz200Hz測時間選 Tp50 ms。為使用 DFT，首先用下面公式產生時域

6、離散信號，對三種采樣頻率，采樣序列按順序用 x1 (n) ， x2 ( n) ， x3 (n) 表示。( )(nT)AenT sin() ()x nxa0 nT u nT因為采樣頻率不同，得到的x1( )，x2 (n)，x3 ( n)的長度不同， 長度（點數(shù)）用n公式 N TpFs 計算。選 FFT的變換點數(shù)為M=64，序列長度不夠 64 的尾部加零。X k)=FFTxn，k=0,1,2,3,-,M( )-1式中 k 代表的頻率為k2k 。M要求： 編寫實驗程序，計算 x1 (n) 、 x2 ( n) 和 x3 (n) 的幅度特性，并繪圖顯示。觀察分析頻譜混疊失真。精彩文檔實用標準文案2、頻域

7、采樣理論的驗證給定信號如下：n10n13x(n)27n14n260 其它編寫程序分別對頻譜函數(shù)(ej)FT ( ) 在區(qū)間 0,2 上等間隔采樣32Xx n和 16 點，得到 X 32 ( k)和X16 (k ) ：X32 (k )X (ej)2, k0,1,2,31k32X16 (k)X ( ej )2,k0,1,2,1516k再分別對 X 32 (k )和 X16 (k ) 進行 32 點和 16 點 IFFT，得到 x32 (n)和x16 (n) ：x32 (n)IFFT X32 (k )32,n0,1,2,31x16 (n)IFFT X16 (k )16,n0,1,2,15分別畫出 X

8、 (e j ) 、X 32 ( k)和X 16 (k) 的幅度譜，并繪圖顯示 x(n) 、 x32 ( n)和x16 (n) 的波形，進行對比和分析，驗證總結頻域采樣理論。提示：頻域采樣用以下方法容易變程序實現(xiàn)。 直接調用MATLAB函數(shù) fft 計算 X 32 ( k) FFT x (n )32 就得到 X (e j) 在 0,2 的 32 點頻率域采樣 抽取 X32 (k) 的偶數(shù)點即可得到X (e j) 在 0,2 的 16 點頻率域采樣X16 ( k) ，即 X16 (k )X 32 (2k ) , k 0,1,2,15 。當然也可以按照頻域采樣理論，先將信號x(n) 以 16 為周期

9、進行周期延拓，3取其主值區(qū)（16 點），再對其進行 16 點 DFT(FFT), 得到的就是 X (ej ) 在 0,2 的16 點頻率域采樣X16 (k )。四實驗程序：精彩文檔實用標準文案實驗一：%=close all;clear all;clc;Tp=64/1000;%觀察時間 Tp=64 微秒%產生 M長采樣序列 x(n)% Fs=1000;T=1/Fs;Fs=1000;T=1/Fs; M=Tp*Fs;n=0:M-1; A=444.128;alph=pi*50*20.5;omega=pi*50*20.5; xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);Xk=

10、T*fft(xnt,M); %M點 FFTxnt)yn=xa(nT);subplot(3,2,1);tstem(xnt,yn);%調用自編繪圖函數(shù)tstem 繪制序列圖box on;title(a) Fs=1000Hz);k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot(3,2,2);plot(fk,abs(Xk);title(a) T*FTxa(nT),Fs=1000Hz);xlabel(f(Hz);ylabel(幅度 );axis(0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk)%=% Fs=300Hz和 Fs=200Hz 的程序與上面 Fs=1000Hz完全相同。實驗結果分析：由圖可見，采樣序

11、列的頻譜的確是以采樣頻率為周期對模擬信號頻譜的周期延拓。當采樣頻率為 1000Hz時頻譜混疊很??；當采樣頻率為 300Hz 時，在折疊頻率 150Hz 附近頻譜混疊很嚴重； 當采樣頻率為 200Hz時，在折疊頻率 110Hz附近精彩文檔實用標準文案頻譜混疊更很嚴重。由實驗圖像可以看出， 時域非周期對應著頻域連續(xù)。 對連續(xù)時間函數(shù)對采樣使其離散化處理時，必須滿足時域采樣定理的要求，否則，必將引起頻域的混疊。要滿足要求信號的最高頻率 Fc 不能采樣頻率的一半（ Fs/2 ），不滿足時域采樣定理，頻率將會在 =附近或者 f=Fs/2 混疊而且混疊得最嚴重。實驗二：%=close all;clear

12、all;clc;M=27;N=32;n=0:M;%產生 M長三角波序列 x(n)xa=0:floor(M/2); xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=xa,xb;Xk=fft(xn,1024); %1024點 FFTx(n),用于近似序列 x(n) 的 TFX32k=fft(xn,32) ;%32點 FFTx(n)x32n=ifft(X32k); %32點 IFFTX32(k)得到 x32(n)X16k=X32k(1:2:N); % 隔點抽取 X32k 得到 X16(K)x16n=ifft(X16k,N/2); %16點 IFFTX16(k) 得到 x16(n)subplot(3

13、,2,2);stem(n,xn,.);box ontitle(b)三角波序列x(n);xlabel(n);ylabel(x(n);axis(0,32,0,20)k=0:1023;wk=2*k/1024;subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk);title(a)FTx(n);xlabel(omega/pi);ylabel(|X(ejomega)|);axis(0,1,0,200)k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),.);box ontitle(c)16點頻域采樣);xlabel(k);ylabel(|X_1_6(k)|);axi

14、s(0,8,0,200)n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,.);box ontitle(d)16點IDFTX_1_6(k);xlabel(n);ylabel(x_1_6(n);axis(0,32,0,20)k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),.);box ontitle(e)32點頻域采樣);xlabel(k);ylabel(|X_3_2(k)|);axis(0,16,0,200)n1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,.);box ontitle(f)32點IDFTX_3

15、_2(k);xlabel(n);ylabel(x_3_2(n);axis(0,32,0,20)精彩文檔實用標準文案實驗結果分析：該圖驗證了頻域采樣理論和頻域采樣定理。對信號x(n) 的頻譜函數(shù)X(ej ) 在X( k)0 ，2 上等間隔采樣 N=16時， N 點 IDFTN 得到的序列正是原序列x(n)xN (n)IDFT X N (k) Nx(niN )RN (n)i由于 NM，頻域采樣定理，所以不存在時域混疊失真，因此。xN (n) 與 x(n)相同。由實驗內容 2 的結果可知，對一個信號的頻譜進行采樣處理時， 必須嚴格遵守頻域采樣定理， 否則，用采樣的離散頻譜恢復原序列信號時， 所得的時域離散序列是混疊失真，得不到原序列。五思考題：如果序列 x(n) 的長度為 M，希望得到其頻譜X (e j ) 在 0,2 上的 N 點等間隔采精彩文檔實用標準文案樣，當 NM時， 如何用一次最少點數(shù)的DFT得到該頻譜采樣？答