曲線積分與曲面積分

1、 S F 01（數(shù)） Ch 2 2 曲線積分與曲面積分計(jì)劃課時(shí)： 16 時(shí) P 263279 2002. 11.15 . Ch 22 曲線積分與曲面積分 ( 1 6 時(shí) ) 1 第一型曲線積分與第一型曲面積分( 3 時(shí) ) 一. 第一型線 、面積分的定義:1. 幾何體的質(zhì)量: 已知密度函數(shù) , 分析線段、平面區(qū)域、空間幾何體的質(zhì)量定義及計(jì)算 2. 曲線和曲面的質(zhì)量:3. 第一型線 、面積分的定義: 定義及記法. 線積分, 面積分.4. 第一型線 、面積分的性質(zhì): 1P356 二. 第一型線 、面積分的計(jì)算:1. 第一型曲線積分的計(jì)算: 回顧“光滑曲線”概念 .Th22.1 設(shè)有光滑曲線, .

2、是定義在上的連續(xù)函數(shù) . 則 . ( 證 ) 1P357若曲線方程為: , 則 .的方程為時(shí)有類似的公式. 例1 設(shè)是半圓周, . . 1P358 E1 例2 設(shè)是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段. 計(jì)算第一型曲線積分 . 1P358359 E2空間曲線上的第一型曲線積分: 設(shè)空間曲線,. 函數(shù)連續(xù)可導(dǎo), 則對(duì)上的連續(xù)函數(shù), 有 .例3 計(jì)算積分, 其中是球面被平面截得的圓周 . 1P359 E3解 由對(duì)稱性知 , , =. ( 注意是大圓 ) Ex 1P361362 1，2.2. 第一型曲面積分的計(jì)算:Th22.2 設(shè)有光滑曲面 .為上的連續(xù)函數(shù),則 . 例4 計(jì)算積分, 其中是球面 被平面 所截的頂部

3、 . 1P360 E5 Ex 1P362 4 . 2 第二型曲線積分( 3 時(shí) )一. 第二型曲線積分的定義:1. 力場(chǎng)沿平面曲線從點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功:先用微元法 , 再用定義積分的方法討論這一問題 , 得 , 即 . 2. 穩(wěn)流場(chǎng)通過曲線 ( 從一側(cè)到另一側(cè) ) 的流量: 解釋穩(wěn)流場(chǎng). ( 以磁場(chǎng)為例 ).設(shè)有流速場(chǎng). 求在單位時(shí)間內(nèi)通過曲線AB從左側(cè)到右側(cè)的流量E . 設(shè)曲線AB上點(diǎn)處的切向量 B為, ( 是切向量方向與X軸 正向的夾角. 切向量方向按如下方法確定: 法線方 向是指從曲線的哪一側(cè)到哪一側(cè), 在我們現(xiàn)在的問 A 題中是指從左側(cè)到右側(cè)的方向. 切向量方向與法線 方向按右手法則確

4、定, 即以右手拇指所指為法線方向, 則食指所指為切線方向 .) .在弧段上的流量 . ,因此 , .由 , 得 . 于是通過曲線AB從左側(cè)到右側(cè)的總流量E為 . 3. 第二型曲線積分的定義: ( 1P364 ) 閉路積分的記法. 按這一定義 , 有 力場(chǎng)沿平面曲線從點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功為 . 流速場(chǎng)在單位時(shí)間內(nèi)通過曲線AB從左側(cè)到右側(cè)的總流量E為 .第二型曲線積分的鮮明特征是曲線的方向性 . 對(duì)二型曲線積分有 ,因此, 定積分是第二型曲線積分中當(dāng)曲線為X軸上的線段時(shí)的特例.可類似地考慮空間力場(chǎng)沿空間曲線AB所作的功. 導(dǎo)出空間曲線上的第二型曲線積分 . 4. 第二型曲線積分的性質(zhì): 第二型曲線積

5、分可概括地理解為向量值函數(shù)的積累問題 . 與我們以前討論過的積分相比, 除多了一層方向性的考慮外, 其余與以前的積累問題是一樣的, 還是用Riemma的思想建立的積分 . 因此 , 第二型曲線積分具有(R )積分的共性 , 如線性、關(guān)于函數(shù)或積分曲線的可加性 . 但第二型曲線積分一般不具有關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性 , 這是由于一方面向量值函數(shù)不能比較大小, 另一方面向量值函數(shù)在小弧段上的積分還與弧段方向與向量方向之間的夾角有關(guān). 二. 第二型曲線積分的計(jì)算:曲線的自然方向: 設(shè)曲線L由參數(shù)式給出. 稱參數(shù)增大時(shí)曲線相應(yīng)的方向?yàn)樽匀环较?設(shè)L為光滑或按段光滑曲線 , L : .A, B; 函數(shù)和在L上連

6、續(xù), 則沿L的自然方向( 即從點(diǎn)A到點(diǎn)B的方向)有. (證略) 例1 計(jì)算積分, L的兩個(gè)端點(diǎn)為A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 積分從點(diǎn)A到點(diǎn)B或閉合, 路徑為 直線段AB 拋物線; A( 1, 1 )D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 ), 折線閉合路徑 . 1P367 E1例2 計(jì)算積分, 這里L(fēng) : 沿拋物線從點(diǎn)O( 0 , 0 )到點(diǎn)B( 1 , 2 ); 沿直線從點(diǎn)O( 0 , 0 )到點(diǎn)B( 1 , 2 ); 沿折線閉合路徑O(0,0) A(1,0 ) B(1,2 ) O(0,0). 1P368 E2 例3 計(jì)算第二型曲線積分 I = , 其

7、中L是螺旋線, 從到的一段 . 1P369 E3 例4 求在力場(chǎng)作用下, 質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A沿螺旋線到點(diǎn)B所作的功, 其中 L : , . 質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A沿直線L到點(diǎn)B所作的功 1P369 E4 Ex 1P371 1，2，3. 3 Green公式 曲線積分與路徑無關(guān)性( 4 時(shí) )一. Green公式: 閉區(qū)域的正面與邊界正向的規(guī)定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示區(qū)域的正面( 理解為拇指“站立在” 區(qū)域的正面上 ), 則其余四指( 彎曲 )表示邊界的正向. 右手螺旋定向法則還可表述為: 人站立在區(qū)域的正面的邊界上, 讓區(qū)域在人的左方. 則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔绲恼? 參閱1P372圖228. 若以L

8、記正向邊界, 則用L或L表示反向（或稱為負(fù)向）邊界. 1. Green公式: Th22.3 若函數(shù)P和Q在閉區(qū)域DR上連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則有 ,其中L為區(qū)域D的正向邊界. ( 證 ) 1P373Green公式又可記為 .2. 應(yīng)用舉例:對(duì)環(huán)路積分, 可直接應(yīng)用Green公式. 對(duì)非閉路積分, 常采用附加上一條線使變成環(huán)路積分的技巧.例1 計(jì)算積分 , 其中AB. 曲線AB為圓周在第一象限中的部分. 1P375 E1解法一 ( 直接計(jì)算積分 ) 曲線AB的方程為 .方向?yàn)樽匀环较虻姆聪? 因此 .解法二 ( 用Green公式 ) 補(bǔ)上線段BO和OA ( O為坐標(biāo)原點(diǎn) ), 成閉路.

9、 設(shè)所圍區(qū)域?yàn)镈, 注意到D為反向, 以及, 有 .例2 計(jì)算積分 I =, 其中L為任一不包含原點(diǎn)的閉區(qū)域D的邊界(方向任意 ) 1P376 E2解 . (和在D上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù))., .于是, I = . 例3 驗(yàn)證區(qū)域D的面積公式 |D|, L為D的正向邊界. 1P376 例4 計(jì)算由星形線 所界的面積.1 P376 例5 計(jì)算積分, 其中L是由曲線 ,所圍區(qū)域D的邊界, 取正向.解 . . .作代換, 在此代換之下 , 區(qū)域D變?yōu)閁V平面上的區(qū)域 . , .于是, . 例6 計(jì)算積分, D : .解 令, 有 .域D為三角形, 三個(gè)頂點(diǎn)為OA, B. . Ex 1P381 1，2 (

10、化為參數(shù)式 ) 二. 曲線積分與路線無關(guān)性:單連通域和復(fù)連通域. 1. 積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件: 1P377Th22.4 設(shè)DR是單連通閉區(qū)域. 若函數(shù)和在閉區(qū)域D內(nèi)連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) , 則以下四個(gè)條件等價(jià) : 沿D內(nèi)任一按段光滑的閉合曲線L, 有 . 對(duì)D內(nèi)任一按段光滑的曲線L, 曲線積分與路徑無關(guān), 只與曲線L的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān). 是D內(nèi)某一函數(shù)的全微分, 即在D內(nèi)有. 在D內(nèi)每一點(diǎn)處有 . ( 證 ) 1P378379 . 2. 恰當(dāng)微分的原函數(shù):若有, 則稱微分形式是一個(gè)恰當(dāng)微分. 恰當(dāng)微分有原函數(shù), ( 它的一個(gè) ) 原函數(shù)為 : . 或 其中點(diǎn)D, 當(dāng)點(diǎn)D時(shí), 常取=.

11、驗(yàn)證第一式: = ; . 例6 驗(yàn)證式 是恰當(dāng)微分, 并求其原函數(shù). 1P381 E4 Ex 1P382 3，4，5. 4 第二型曲面積分 ( 3 時(shí) ) 一. 曲面的側(cè):1. 單側(cè)曲面與雙側(cè)曲面:2. 雙側(cè)曲面的定向: 曲面的上、下側(cè)，左、右側(cè)，前、后側(cè). 設(shè)法向量為 ,則上側(cè)法線方向?qū)?yīng)第三個(gè)分量, 即選“+”號(hào)時(shí)，應(yīng)有，亦即法線方向與軸正向成銳角. 類似確定其余各側(cè)的法線方向 閉合曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè). 二. 第二型曲面積分: 1. 穩(wěn)流場(chǎng)的流量: 以磁場(chǎng)為例. 1P384 2. 第二型曲面積分的定義: 1P385386 . 閉合曲面上的積分及記法. 3. 第二型曲面積分的性質(zhì): 線性 ,

12、關(guān)于積分曲面塊的可加性. 4. 第二型曲面積分與第一型曲面積分的關(guān)系: 設(shè)為曲面的指定法向, 則 . 三. 第二型曲面積分的計(jì)算:Th22.5 設(shè)是定義在光滑曲面 D上的連續(xù)函數(shù), 以的上側(cè)為正側(cè)( 即 ), 則有 .證 1P387 .類似地, 對(duì)光滑曲面D, 在其前側(cè)上的積分 .對(duì)光滑曲面 D, 在其右側(cè)上的積分 .計(jì)算積分時(shí), 通常分開來計(jì)算三個(gè)積分 , , .為此, 分別把曲面投影到Y(jié)Z平面, ZX平面和XY平面上化為二重積分進(jìn)行計(jì)算. 投影域的側(cè)由曲面的定向決定. 例1 計(jì)算積分,其中是球面 在部分取外側(cè). 1P388 E1 例2 計(jì)算積分， 為球面取外側(cè). 解 對(duì)積分, 分別用和記前

13、半球面和后半球面的外側(cè), 則有 : ; : .因此, =+ = . 對(duì)積分, 分別用和記右半球面和左半球面的外側(cè), 則有 : ; : .因此, += . 對(duì)積分, 分別用和記上半球面和下半球面的外側(cè), 則有 : ; : .因此, =+ = .綜上, =. Ex 1P391392 1，2. 5 Gauss公式和Stokes 公式 ( 3 時(shí) ) 一. Gauss公式:Th22.6 設(shè)空間區(qū)域V由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面圍成 . 若函數(shù)在V上連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) , 則 ,其中取外側(cè).稱上述公式為Gauss公式或Gauss公式.證 只證 .設(shè)V是型區(qū)域( 即型體 ) ( 參閱1P393圖22

14、21 ), 其邊界曲面由曲面 下側(cè) , D, 上側(cè) , D. .以及垂直于平面的柱面(外側(cè))組成. 注意到=, 有= = .可類證, .以上三式相加, 即得Gauss公式. 例1 計(jì)算積分， 為球面取外側(cè). ( 參閱上節(jié)例2 )解 . 由Gauss公式 . 例2 計(jì)算積分，其中是邊長(zhǎng)為的正方體V的表面取外側(cè). V : . 1P394 E1解 應(yīng)用Gauss公式 , 有 .例3 計(jì)算積分，為錐面在平面下方的部分，取外法線方向 .解 設(shè)為圓取上側(cè) , 則構(gòu)成由其所圍錐體V的表面外側(cè) , 由Gauss公式 , 有 =錐體V的體積;而 因而, .例4 設(shè)V是三維空間的區(qū)域, 其內(nèi)任何封閉曲面都可不通過

15、V外的點(diǎn)連續(xù)收縮為V上的一點(diǎn). 又設(shè)函數(shù)、和在V上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù). 表示V內(nèi)任一不自交的光滑封閉曲面, 是的外法線. 試證明: 對(duì)V內(nèi)任意曲面恒有 的充要條件是在V內(nèi)處處成立.證 . 由Gauss公式直接得到 . 反設(shè)不然 , 即存在點(diǎn)V, 使,不妨設(shè)其. 由在點(diǎn)連續(xù), 存在以點(diǎn)為中心且在V內(nèi)的小球, 使在其內(nèi)有. 以表示小球的表面外側(cè), 就有 ,與矛盾. Ex 1P399400 1 . 二. Stokes公式:空間雙側(cè)曲面的正側(cè)與其邊界閉合曲線L正向的匹配關(guān)系: 右手螺旋法則, 即當(dāng)人站在曲面的正側(cè)上, 沿邊界曲線L行走時(shí), 若曲面在左側(cè), 則把人的前進(jìn)方向定為L(zhǎng)的正向. 1. Stokes定理:Th22.7 設(shè)光滑曲面的邊界L是按段光滑的連續(xù)曲線 . 若函數(shù)、和在( 連同L )上連續(xù) ,且有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) , 則.其中的側(cè)與L的方向按右手法則確定 .稱該公式為Stokes公式 .證 先證式 . 具體證明參閱1P395396.Stokes公式也記為 . 例5 計(jì)算積分 , 其中 L為平面與各坐標(biāo)平面的交線, 方向?yàn)? 從平面的上方往下看為逆時(shí)針方向. 1P397 E2 2