空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算B

1、9.7空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算（B）【教學(xué)目標(biāo)】掌握空間點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則、空間中兩點(diǎn)間距離及兩向量的夾角公式的坐標(biāo)、a b,a / b,的坐標(biāo)表示；會(huì)求平面的法向量。 培養(yǎng)學(xué)生的建系意識(shí)，并能用 空間向量知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題?！局R(shí)梳理】1.空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：a2d3abb（1）若a住耳）,（"da），則ab33 a bb2 a b 冃 /V r b r aa3/V r ab a1 r b r aa2bb3 a2,a3 aP2RRa baibi a?b2 直4 0 uuu(2)若若 A(Xi,yi,zJ, B(X2,y2,Z2)，則 AB (x? “y yiP

2、 zj .一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn) 的坐標(biāo)，rr2 .模長(zhǎng)公式：若若a (a1,a2,a3),b (bbb),0? 0?, |b| 航£ b22 b32 r r3.夾角公式： cos： a a baibi a?b2 asR4兩點(diǎn)間的距離公式:-|a| |b| 一a, a22 as2"2 b22 d2若若A(xi, yi,zi), B(X2, y2, Z2),uur/uuu2則丨 ABI AB222(X2 Xi)(y2 yi) (Z2 Zi)或dA,B,(X2 G2 (y2 yi)2 (Z2 乙)2 *【點(diǎn)擊雙基】1若a=(2

3、x,1, 3),b=(1-2y ,9）,如果a與b為共線(xiàn)向量，則111313A. x=1 ,y=1B.x=y=c.x= , y=一D.x= y=-226262解析：' a=(2x, 1,3)與b=(i,2y, 9)共線(xiàn)，故有2x_1=312y9._ 1X,y=-.應(yīng)選C.62答案：c2在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) P (x, y, z),下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是 Pi(x，-y, z)點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是p2 (x, - y,- z)點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是 P3 (x, - y, z)點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 P4 ( x,- y, z)A.3

4、B.2C.1D.O解析：P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Pi ( x, - y, - z),關(guān)于yOz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 P2 (-x , y , z),關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P3 (- x , y , z).故錯(cuò)誤答案：C3已知向量a= (1 , 1, 0), b= (- 1, 0 , 2),且ka+ b與2a b互相垂直，貝U k值是137A.1B.C.D.555解析：ka+b=k (1 , 1,0) + (- 1, 0 , 2)=(k- 1 , k , 2), 2a- b=2(1 ,1 , 0)-(1 , 0 ,2) = ( 3 , 2,-2) V兩向量垂直，3 ( k- 1)+ 2k- 2X 2=0. k

5、=75答案：D4已知空間三點(diǎn) A (1 , 1 , 1 )、B (- 1, 0 , 4)、C (2, 2 , 3),貝U AB與 CA的夾角 e的大小是.解析：AB = ( 2, 1, 3) , CA = ( 1 , 3, 2),cosAB, CA( 2) ( 1)( 1) 3 3 ( 2)7=14 -答案：1=-, e = AB , CA > =120 ° 2120 °、14 . 14uur uur.5已知點(diǎn) A (1 , 2 , 1 )、B ( 1 , 3 , 4)、D (1, 1, 1),若 AP= 2PB ,則 | PD |的值解析:設(shè)點(diǎn)P (x , y ,

6、z),則由AP =2 PB，得(x- 1, y- 2 , z- 1) =2 (- 1-x , 3-y ,4 -z),即12 6 2y,解得12x,2z,13，8,則 |PDI=、：( 3 1)2 (| 1)2 (3 1)2 v773,答案:【典例剖析】【例1】已知AB= (2 ,1), AC= (4 , 5 , 3),求平面ABC的單位法向量(x,1即 x 2,-y 1,解：設(shè)面ABC的法向量n=y , 1),則 n丄 AB 且 n丄 AC ,即 n AB =0 ,且 n 1n1-n= ( , - 1 , 1),單位法向量 no=±=± (2|n|3AC =0 ,"

7、;2x+2y+1=0 ,4x+5y+3=0,特別提示一般情況下求法向量用待定系數(shù)法 由于法向量沒(méi)規(guī)定長(zhǎng)度，僅規(guī)定了方向，所以有一 個(gè)自由度，可把 n的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1,再求另兩個(gè)坐標(biāo)平面法向量是垂直于平面的向量, 故法向量的相反向量也是法向量，所以本題的單位法向量應(yīng)有兩解【例 2在三棱錐 S- ABC 中，/ SAB= / SAC=/ ACB=90°, AC=2, BC= 13 , SB= . 29 .（1）求證：SC丄BC;（2）求SC與AB所成角的余弦值解法一：如下圖，取A為原點(diǎn)，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有AC=2,BC= 13 , SB= 29，得 B (0

8、,V17 , 0)、S (0,0, 2*0 )、C (2 J,V 17,0), SC朋、 CB=（-2 需,場(chǎng),0）xC(1)T SC CB =0, SC丄BC.(2)設(shè) SC 與 AB 所成的角為 a , / AB = ( 0 , .17 , 0) , SC AB =4 , |SC| AB|=4 .一 17 ,17 COS a =,即為所求.17解法二：(1)v SA丄面ABC , AC丄BC, AC是斜線(xiàn)SC在平面ABC內(nèi)的射影， SC丄BC.(2)如下圖，過(guò)點(diǎn) C作CD / AB ,過(guò)點(diǎn)A作AD / BC交CD于點(diǎn)D,連結(jié)SD、SC ,17cos/ SCD=,即為所求.17則/ SCD為

9、異面直線(xiàn)SC與AB所成的角四邊形ABCD是平行四邊形，CD= 17 , SA=2 . 3 ,2 2SBCSD= SA2 AD2 =.12 13=5，在 SDC 中，由余弦定理得特別提示本題（1、采用的是“定量”與“定性”兩種證法.題（2）的解法一應(yīng)用向量的數(shù)量積直接計(jì)算，避免了作輔助線(xiàn)、平移轉(zhuǎn)化的麻煩，但需建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；解法二雖然避免了建系，但要選點(diǎn)、平移、作輔助線(xiàn)、解三角形【例3】 如下圖，直棱柱 ABCA1B1C1的底面 ABC中，CA=CB=1，/ BCA=90 ° , 棱AAi=2，M、N分別是AiBi、A1A的中點(diǎn).Ax(1) 求BN的長(zhǎng)；uuir uuur(2) 求

10、cos BA1,CB1的值；二 cos BA1 , CB1 >BAi CBi 30| BA1 |CB1 | io(3) 求證：AiB 丄 CiM.(i)解:依題意得B(0,i, 0),N (i , 0, i),| BN1 = (i20)(02i)(i 0)2 = 3.(2)解:Ai (i,0,2),B ( 0,i , 0), C (0, 0, 0), Bi (0, i, 2),-BAi =(i, i，2),CBi=(0,i, 2),BAiCBi =3,|BAi| =J6, |CBi|=.51 i(3)證明：Ci (0, 0, 2) , M ( , , 2),2 2i iAiB= (- i

11、, i, 2) , CjM = ( , , 0), - AB CiM =0,a AiB丄CiM. 2 2深化拓展根據(jù)本題條件，還可以求直線(xiàn)ACi與平面AiABBi所成的角.（答案是.i0 arcsini0【例4】如下圖，在正方體ABCD AiBiCiDi 中，E、F 分別是 BBi、CD 的中點(diǎn).DiCCi（1）證明 AD 丄 DiF ;B（2）求AE與DiF所成的角；（3）證明面 AED丄面AiDiF.解：取D為原點(diǎn)，DA、DC、DDi為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，取正方體棱長(zhǎng) 為 2,則 A （2，0，0）、Ai （2，0，2）、Di （0，0，2）、E （2，2，i）、F （0，i，0）.(i)T DA DiF = (2，0，0) (0，i， 2) =0，a AD 丄 DiF.(2) v AE DiF = (0, 2, 1) ( 0,1, 2) =0, AE丄 DiF,即 AE 與 DiF 成 90° 角.(3) t DE DiF = (2, 2, 1) ( 0, 1, 2) =0, DE 丄 D1F. / AE 丄D1F, D1F丄面 AED.TD1F £面 A1D1F，面 AED 丄面 A1D1F.思考討論本