2019-2020學(xué)年甘肅省張掖市高三(上)第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷2(1月份)(含答案解析)

1、第3頁.共17頁2019-2020學(xué)年甘肅省張掖市高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷2 （1月份）一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知A = yy = log2%,% > 1, B = yy = (7Z>x > 1> 則力 C 8 =()A. (0,扌)B. (0,1)C. l)D. 02.已知f是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z滿足Z（I-O = l+i,則復(fù)數(shù)Z的共軌復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為（）A. (0,1)B. (0,-1)C. (0)D. (-1,0)3.已知Sina =貝IJCoS2的值為（）ATB 冷cD=164.經(jīng)過中央電視臺彳魅力中國城欄目的三輪角逐，黔東南州以三輪競

2、演總分排坷第一名問鼎“最具人氣魅力城市”.如圖統(tǒng)汁了黔東南州從2010年到2017年的旅游總?cè)藬?shù)（單位:萬人次）的 變化情況，則下列給岀的四個判斷中錯誤的是（）HXXW9 (XK)Softo7 00() O(M)5 0004 0003 (XW)2 000I (XM)0A. 旅游總?cè)藬?shù)逐年增加B. 2017年旅游總?cè)藬?shù)超過了 2015, 2016兩年的旅游總?cè)藬?shù)之和C. 年份數(shù)與旅游總?cè)藬?shù)成正相關(guān)D從2014年旅游總?cè)藬?shù)增長加快5.在 >18C中，內(nèi)角 A, B, C所對的邊長分別為 Ib b, c, （Win<x>sC, +（sinDcos.4 =» 且ab = 2

3、,則力BC而積的最大值為（）A. 3B. 2C. 2z3D.46.已知點(diǎn)4（-VL）、BeL2）、C（-2,-l）. 0（3,4）>設(shè)向量喬與喬夾角是S則40=（）A.的10B 33C 3D.普7.函= SinlX>Jr3cos2X的最小值為（）A. 2B. y/3C. 2D. -38.已知拋物線G y2 = 2p%（p > 0）的焦點(diǎn)為化P, Q, M, N是拋物線C上的4點(diǎn)，且線段PQ過點(diǎn)&線段PM與線段ON交于A（PfO則直線PO與直線MN的斜率（存在）之比為（）B. 2C. PD. 2pA. 1如圖所示，以邊長為1的正方形ABCD的一邊AB為直徑在其內(nèi)部作一半

4、10.O圓.若在正方形中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好取自半圓部分的概率為（）A冷BC冷D町某幾何體的三視圖如圖所示，其中小正方形的邊長為1 現(xiàn)有一只螞蟻在最短的棱的中點(diǎn)處，沿著棱爬到與該條棱所在直線互為異而直線的棱的中點(diǎn)處，則螞蟻爬行的最短路程為（A. 7 + 22B. 22C. + 22D. 5 + 2211. 雙曲線C -=I（>0,b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，尸2，點(diǎn)P在C上， PFIF2為等腰直 角三角形，則雙曲線的離心率為（）A. 5-B. 2+ 1C. 3D. 5+12. 若函=x2 + aln(x + 1)在(一匕+8)上是增函數(shù)，則“的取值范圍是()A. 0, +)B.

5、 (0, +)C. (-j ÷)Dp +) 二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13. 在（2-）6的展開式中，含兀2項(xiàng)的系數(shù)是(x014設(shè)益y滿足約束條件x+2y4i貝UZ = 2%-y的最大值是( 2x + y 515. 已知函是奇函數(shù)，且當(dāng)XVO時f(x)=(護(hù)，貝療(3)的值是.16. 已知三棱錐D -ABC的每個頂點(diǎn)都在球O的表而上，AB=AC = 3, AD=BC = 32. AD丄底則球O的表而積為.三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)17. 已知數(shù)列j是遞增的等差數(shù)列，a3=7,且4是蚣與27的等比中項(xiàng).求5；若% = VK+7求數(shù)列仇的前"項(xiàng)和

6、席18. 甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時，負(fù)的一 方在下一局當(dāng)裁判.設(shè)各局中雙方獲勝的槪率均為扌，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁 判.(1) 求第4局甲當(dāng)裁判的槪率：(2) X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求X的概率分布.第3頁，共17頁19. 如圖，在三棱錐S-仍C中，S力丄平而ABG點(diǎn)D是SC的中點(diǎn)，且 平HABD丄平而SAC(I)求證：月3丄平而SAC()若S = 2AB = 34C,求二而角S-BD-A的余弦值.20. 已知橢圓E： £ +著=l(>b>0)的離心率為二，F(xiàn)1, F?分別為E的左.右焦點(diǎn)，過E的右焦

7、點(diǎn)F2作X軸的垂線交E于A, B兩點(diǎn)，F(xiàn)1AB的而積為近.(1) 求橢圓E的方程：(2) 是否存在與X軸不垂直的直線/與E交于GD兩點(diǎn),且弦CD的垂直平分線過E的右焦點(diǎn)F? 若存在，求出直線/的方程：若不存在，請說明理由.21 設(shè)函數(shù)f(x) = ex - 1 - % - ax2.(I)若 = 0,求f(E的單調(diào)區(qū)間;()若當(dāng)X /(x) 0,求“的取值范用.22. 在直角坐標(biāo)系Py中，曲線Cl的參數(shù)方程為；二；籍(“為參數(shù))，將曲線Cl上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的£縱坐標(biāo)縮短為原來的邏后得到曲線C2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為 S33 *2 極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)

8、方程為Q = 一侖.(1) 求C2的極坐標(biāo)方程和/的直角坐標(biāo)方程；(2) 在極坐標(biāo)系中，射線=與/, C?分別交于A, B兩點(diǎn)(異于極點(diǎn))，上點(diǎn)M(14,0),求ZlMMB的而積.23. 已知函f(X) = x+ 1| -2x (1) 求不等式f(x) 一6的解集：(2) 若存在實(shí)數(shù)X滿足f (%) = log2,求實(shí)數(shù)"的取值范I間.答案與解析1答案:解析：解:V ,4 = yy = Iog2Xf(X > l)fB = yy => 1),AnB = yy > 0 y0 <y Vm = yO < y v£.故選:A.由題設(shè)條件知A = yy&g

9、t; O, F = yO<y<,由此能夠得到ACB的值.本題考查集合的運(yùn)算，解題時要注意公式的靈活運(yùn)用.2. 答案：B解析：【分析】本題主要考査復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.【解答】解：因(i-0 = ÷i,所以“護(hù)尿甞W所以Z的共軌復(fù)數(shù)乏=i，所以共軌復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為(0,-1). 故選B.3. 答案：B解析：【分析】由已知可求sin,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos2的值，進(jìn)而利用二倍角的余弦函數(shù)公式 即可計(jì)算得解.本題主要考査了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用， 考査了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.【解答】解

10、：V Sina = 4 sin2 = t cos2 =,16 16 cos2a = cos2a sin2 =8故選：B.4.答案：B解析：【分析】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表數(shù)據(jù)的分析，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表進(jìn)行判斷即可.【解答】解：從圖中可以看岀，旅游的總?cè)藬?shù)逐年增加，故A正確；2015, 2016兩年的旅游總?cè)藬?shù)之和明顯大于IOOOo萬人次，超過2017年旅游總?cè)藬?shù)，故B錯誤; 年份數(shù)與旅游的總?cè)藬?shù)成正相關(guān)，故C正確；從2014年起旅游總?cè)藬?shù)增長加快，故D正確；故選5.答案：A解析：【分析】本題考查正、余弦左理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，屬中檔題.根據(jù)正、余弦泄理得到4+ac = a2+c2

11、,利用基本不等式結(jié)合三角形面積公式即可求出結(jié)果.【解答】解：WwiniJcosC + fViikBciMA = 1>»>結(jié)合正弦左理可得：siu4 SillZ? CosS(T + sin7 SillB c<wl = -Sin/?,2又B為AMBC的內(nèi)角t SinB O9BPSini4 COSC + COSA SinC =字 即Sin(A + C)=存又力 + B + C = TT, SinB = 2又 ab, B =3由余弦定理得4 = 2 + C2 - 2 ccB ,所以4 + ac = a2 + c2 2ac,得ac 4, 當(dāng)且僅當(dāng)a = C =2時等號成立.三

12、角形ABC而積最大值為：6答案：A解析：喬=(2,1), CD = (5,5)» cos0 = ii = =' 故選A.7.答案：C解析：【分析】本題考查了三角函數(shù)的輔助角公式，兩角差的正弦公式，以及利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值.【解答】解： y = sin2x yf3cos2x=2 (Sin2x - JCoS2咒)，=2 (Sin2x COSf- cos2x sin#),= 2sin(lx-最小值為-2.故選C.&答案：B解析：【分析】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線斜率，屬于基礎(chǔ)題. 根據(jù)拋物線的性質(zhì)，聯(lián)立題目條件求解即可.【解答】設(shè)直線PM的方程為X = my + p,第

13、9頁.共17頁代入y2 = 2p%Wy2 一 2mpy 一 2p2 = 0, 設(shè)P（Sy）M （咒沙2），則力卩2 = -2p2.設(shè)Q（X33），"（尤4，為），同理可得，卩3卩4 = 一2卩2, 由線段PQ過點(diǎn)F得y*3 = -P? 直線MN的斜率為S廠迸=急,又直線Po的斜率¼ =-= x3XLy 異-”2(兒+J(A-*.)2pyr3-2P?-2P?所以KPQ =力+兒=幾 丹 = KMN y+ys y+ys故選B.9答案：C解析：【分析】本題考查幾何概型，考查學(xué)生的理解分析能力，屬于基礎(chǔ)題. 分別訃算岀正方形的而枳和半圓的而積，結(jié)合題意做比值即可.【解答】解：根據(jù)題

14、意，正方形OABC的面積為1X1 = 1,而陰影部分由半徑為斗的半圓羽成，其面積為斗X （2 = ?2 2 v2z 8則正方形OABC中任取一點(diǎn)E點(diǎn)P取自陰影部分的概率為壬=1.1 8 故選C.io.答案：C解析:【分析】本題考查空間幾何體的三視圖，還原幾何體是關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力.屬于基礎(chǔ) 題.【解答】解：由三視圖可知原幾何體是一個底而為直角三角形的三棱錐，且AB垂直于底而BCD, 其中AB = BC = 4, BD = 3, AD = CD = 5, AC = 42.因?yàn)槲浵佋谧疃痰睦釨D的中點(diǎn)處，沿著棱爬到與該條棱所在直線互為異而直線的棱AC的中點(diǎn)處, 所以最小值為環(huán)+

15、 4 + 22 = +22.故選C.11.答案：B解析：【分析】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，離心率的計(jì)算，屬于中檔題.根據(jù)F1F2 = PF2列方程得出"，b, C的關(guān)系，從而得出答案.【解答】解：不妨設(shè)P在第一象限， PF1F2為等腰直角三角形，F(xiàn)1F2 = PF2, IiLFlF2丄P甩，把X = C代入雙曲線方程Wy = -,即PF2 =CLa 2c = = C g-> 即c? 2ac a? = 0,aa e2 - 2e - 1 = 0.解得e = 2 + 1 或& = 一+1（舍）， 故選:B.12.答案：D 解析：解：f(E = 2% + ± =竺半，V

16、Zx+l x+1若函數(shù)f(x) = X2 + aln(x + 1)在(-l,+)上是增函數(shù)，則2乂 + 2 + a O在(一匕+8)恒成立，即 -2x2 - 2xt(-l, +8)恒成立，4%) = -2x2- 2x, (X > -1),P(X)I(-,-)遞增，在(-,+)遞減，故g()的最大值是9(一£) = £，故?故選：D.求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a-2%2-2xi(-l,+)恒成立，g(X) =-2x2-2x, (x>-1), 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出“的范圍即可.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考査導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題.13 倍

17、案：192解析：解：&+I = C£(2仮)6"(去)= (_1)©26"£",由3-r = 2,得r = 1.含*項(xiàng)的系數(shù)是一C扌×2s = -192.故答案為：-192.寫岀二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，由X的次數(shù)為2求得/值，則含%2項(xiàng)的系數(shù)可求.本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是對二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的記憶與運(yùn)用，是基礎(chǔ)題.14.答案：3解析：【分析】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題；正確畫岀可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值是解答的關(guān)鍵. 畫岀不等式組表示的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值.【解答】(X O解：X, y滿

18、足約朿條件x+2y >4,(2x + y 5z = 2x-y得到y(tǒng) = 2x-z,所以當(dāng)直線經(jīng)過圖中A(2tl)時，直線在$軸上的截距最小, 所以Z的最大值為2 × 2- 1 = 3；故答案為3.15答案：-8解析：解：根拯題意，函數(shù)f(x)滿足當(dāng)XVO時，f() = (護(hù)，貝Jf(-3) = 3 = 8,又由函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(3) = -/(-3) = -8：故答案：一8根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出f(-3)的值，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得f(3)的值，即可得答案. 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)解析式的求值，屬于基礎(chǔ)題.16. 答案：36如圖，由所給數(shù)據(jù)

19、，易知4C丄AB,又AD 丄5FlIff ABC.可知，所給三棱錐是球內(nèi)接長方體的一角,球直徑為長方體的體對角線長，長方體體對角線長為6,得球半徑為3,得球面積為36m故答案為：36r.由所給數(shù)據(jù)結(jié)合勾股立理可得AC, AB垂直，進(jìn)而得AC, ABt AD兩兩垂直，從而聯(lián)想長方體內(nèi)接 于球，得解.此題考查了長方體外接球的問題，難度不大.17. 答案：解：設(shè)j的公差為，則d>0.據(jù)題意有烏二：，即I QS 27 ClI(。3 = 7I (3 + d)? = 27(a3 2d)'解得d = 2或d = 70. d > 0, d = 2, an = a3 + (n 3)d = 2

20、n + 1 =匠+£= E:E =+3-2n + l),數(shù)列b71的前"項(xiàng)和：Tn = (5-3 + 7-5 + + 2n + l- 2n-l + 2n + 3 - 2n + 1) = (2n + 3 - 3).解析：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的性質(zhì)、裂項(xiàng)相消法求和，考查的核心素養(yǎng)是 邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.(1) 首先設(shè)數(shù)列a71的公差為然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)建立方程組，解方 程組可求得數(shù)列a71的公差，從而求得通項(xiàng)公式：(2) 首先由(1)求出bn,然后利用裂項(xiàng)相消法求和.常見的裂項(xiàng)公式： 7= = (+fc-n);(3) (2n-l)(2

21、n+l) 2(4) 一一 =斗一 _ 一一1V J n(n+l)(n+2)2 L(n+1)(n+l)(n+2)J*18. 答案：解：(1)令金表示第2局結(jié)果為甲獲勝.力2表示第3局甲參加比賽時，結(jié)果為甲負(fù).A表示 第4局甲當(dāng)裁判.則力=列去，P(A) = P(Al- A2) = P(Al)P(A2)=扌；(2)X的所有可能值為0, 1, 2.令力3表示第3局乙和丙比賽時，結(jié)果為乙勝.町表示第1局結(jié)果為乙 獲勝，巳表示第2局乙和甲比賽時，結(jié)果為乙勝，內(nèi)表示第3局乙參加比賽時，結(jié)果為乙負(fù)，則 P(X = 0)= P(F1F2B3) = P(BjP(B2)P(B3) = &P(X = 2)

22、= P(BlB3) = P(Bi)P(B3) = z.P(X = I) = I- P(X = O) _ P(X = 2)=-. 8故X的分布列為X012P185814解析：本題考査互斥、獨(dú)立事件的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望等知識，同時考査利用概 率知識解決問題的能力.CL）令力I表示第2局結(jié)果為甲獲勝，力2表示第3局甲參加比賽時.結(jié)果為甲負(fù)，A表示第4局甲當(dāng)裁 判，分析其可能情況，每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立且互斥，利用獨(dú)立事件、互斥事件的概率求解即可.（2）X的所有可能值為0, 1, 2分別求出X取每一個值的概率，列出分布列即可.19答案：（I）證明：如圖，在平而SAC中，過點(diǎn)S作SH丄A

23、D.垂足 為H,平而朋D丄平而SAC,平而朋"平而SM=ED,.-.SH 丄平而 ABD,又AB C5FlfifABDt ：. AB 丄 SH.又SA丄平而ABC9 AB U平面ABC. 力3丄$4-SAr SH = S.且SA, SHU平而SAC,力8丄平而SAC：（D）解：不妨設(shè)4C= 2, AB = 3, AS = 6,由（I）知，/3丄平而SAC,又ACU平面SAG AB丄4C,分別以AE C> AS所在直線為兒y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系 則有4(0,0. 0), 3(3,0, 0), C(OZ 0), S(OJOt 6). £)(0，3).AS = (300

24、),75 = (Oi3)，'> *設(shè)平而 ABD 的一個法向 =(XlfyVZI WIJri= 3X1 = 0n1 AD = y1 + 3z1 = 0 取ZI = 1,得局=(Oj-3,1) 同理可得平而SBD的一個法向量芯=(-2,-3, -1),284 3S COS V "2 >=i-ii = i = I二而角S BD 一 4的余弦值為一迴 解析：（I）在平而SAC中，過點(diǎn)S作SH丄仙，垂足為H,由而而垂直和線而垂直的性質(zhì)可得加丄SH, 再由SA丄平面ABG得AB丄S力，結(jié)合線而垂直的判泄可得MB丄平SAC;（II）不妨設(shè)4C = 2, AB = 3t AS

25、= 6,由（I）知，力B丄平而SAC9得朋 丄4C,分別以AB、AC. AS所在直線為小八Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.求出兩個平而ABD與平而SBD的一個法向量，由法向量所成角的余弦值可得二而角S - BD - 4的余弦值.本題考查直線與平而垂直的判左，訓(xùn)練了利用空間向量求二而角的平而角，是中檔題.20. 答案：解：設(shè)F1(-c,0), 2(c,0),S“'AB =扌 X 2c X |力8| = C 壬=2>而£ =密a 2則滬=1, a2 = 2, 因此橢圓E的方程為斗+ y2 = l.(2)假設(shè)存在直線/滿足條件，設(shè)直線/： y = kx + m9 C(XpyI), D

26、(x2,y2),線段 CP 的中點(diǎn)M(XQfyQ).將直線/的方程代入橢圓方程得(1 + 2fc2)x2 + 4kmx + 2m2-2 = 0f 則 2x0 = x+X2 = 一呂器，2km l+2k2又y0 = kx0 + m.所以坯=石麗即M(-2km Tn l+2k2" l+2k2第17貞，共17頁若CD的垂直平分線過右焦點(diǎn)2(0),m2fm 所以 1. + 2k2 = km、 即Xo =-諾？= 2,與Xo (-2f2)矛盾 故不存在這樣的直線/滿足條件.解析：本題考査了橢圓的性質(zhì)及幾何意義、直線與橢圓的位置關(guān)系和圓錐曲線中的綜合問題，是中 檔題.由題意SAB = ×

27、;2c×AB = c-= 又汁乎，得岀“，b，即可得出橢圓方程：(2)假設(shè)存在直線/滿足條件，設(shè)直線liy = kx+m, C(x1,y1), D(x2,y2),線段CD的中點(diǎn)M(Xo,y°).m聯(lián)立得M(-鵲7,島)，若CD的垂直平分線過右焦點(diǎn)f(0),則fe-=-即M)=丄+2詐一-鵲 =2,與XO (-2,2)矛盾.故不存在這樣的直線/滿足條件.21. 答案：(I) = 0時，f(x) = ex-l-x, f,(x) = ex-l.當(dāng)x(-,0)時，f,(x) < 0：當(dāng) (0,+8)時，,(x) > 0.故fU)在(一so)單調(diào)減少，在(0, +)單調(diào)增加()r (%) = ex - 1 - 2x由(1)知e” l+x.當(dāng)且僅當(dāng)咒=O時等號成立.故f(x) X - 2ax = (I- 2a)x,從而當(dāng) 1 - 2 0,即QS 扌時，f,(x) O(X 0),而 f(0) = 0,于是當(dāng)咒 0時，/(x) 0由e” >l + x(x 0)可得g-” >l-x(x0). 從而當(dāng) > 扌時，/(%) <ex-l+ 2a(e - 1) = ex(ex 一 l)(e 一 2), 故當(dāng)兀 (0, n2)時,/(x) V 0, W(0) = 0,于是當(dāng)X (OJn2)時，f(y) &