《高等數(shù)學》11-5冪級數(shù)的應用

1、 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下） 河海大學理學院河海大學理學院整理課件第三節(jié) 冪級數(shù)展開式的應用（3） 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）整理課件一、近似計算,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar誤誤差差兩類問題兩類問題: :1.1.給定項數(shù)給定項數(shù), ,求近似值并估計誤差；求近似值并估計誤差；2.2.給出誤差給出誤差, ,確定項數(shù)確定項數(shù). .關健關健: :通過估計余項通過估計余項, ,確定誤差或項數(shù)確定誤差或項數(shù). . 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）整理課件常用方法常用方法: :(L) 級數(shù)級數(shù),則可用余項的首項來解決則可用余項的首項來解決; ;2.2.若不是交錯級數(shù)若不是交錯級數(shù)

2、, ,則放大余項中的各項則放大余項中的各項, ,使之成為等使之成為等比級數(shù)或其它易求和的級數(shù)比級數(shù)或其它易求和的級數(shù), ,從而求出其和從而求出其和. .例例1 1.10,5 使其誤差不超過使其誤差不超過的近似值的近似值計算計算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）整理課件余項余項: : )!()!(2111nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 31! 2111 e718

3、28. 2 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）整理課件例例2 2.,9sin! 3sin03并并估估計計誤誤差差的的近近似似值值計計算算利利用用xxx 解解20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 ,105 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其誤差不超過其誤差不超過 . .510 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）整理課件二、計算定積分.,ln1,sin,2難難以以計計算算其其定定積積分分函函數(shù)數(shù)表表示示原原函函數(shù)數(shù)不不能能用用初初等等例例如如函函數(shù)數(shù)xxxex 解法解法逐項積分逐項積分展開成冪級數(shù)展開成冪

4、級數(shù)定積分的近似值定積分的近似值被積函數(shù)被積函數(shù) 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）整理課件n n 3 3 時，時，30001!771 ,104 取前三項作為積分的近似值取前三項作為積分的近似值, ,得得! 551! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例3 3.10,sin410 精精確確到到的的近近似似值值計計算算dxxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311sin10dxxx收斂的交錯級數(shù)收斂的交錯級數(shù))!12)(12(1nnrn410 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）整理課件的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開式式由由xenixixnixix

5、e)(!1)(! 2112)!12() 1(! 31()!2() 1(! 211 (12322nxxxinxxnnnnxixsincos xcosxsin三、Euler公式 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）整理課件xixeixsincos ieexeexixixixix2sin2cosxixeixsincos 揭示了三角函數(shù)和復變量指數(shù)函數(shù)之揭示了三角函數(shù)和復變量指數(shù)函數(shù)之間的一種關系間的一種關系. .歐拉公式歐拉公式)sin(cosieei 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）整理課件思考題思考題1 1、求函數(shù)、求函數(shù) e ex xcosx cosx 關于關于 x x 的冪級數(shù)的展開式的冪級數(shù)的展開式解

6、解)Re()4sin4(cos2xie0!)4sin4(cos2Rennnxni),(!4cos202nnnnxn 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）整理課件 1022)212()(nxnndxxnxs 112)2(nnnx)2(1(12 nnxx)21(22 xxx)2(2 xx,)2(2222xx .3)1(2121snnn故2 2、.2121的的和和求求 nnn解解,212)(221 nnnxnxs令令)2, 2( 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）整理課件3、.2!12的的和和求求 nnnn解解,!)(12nnxnnxs 令令),(xnnxnnxs1)!1(1) 1()(nnnnxnxn12)!1

7、(1)!2(1xxxeex2 122 !nnnn)21( s .43e 11nnxnn)!( 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）整理課件四、求數(shù)項級數(shù)的和2.2.利用級數(shù)和的定義求和利用級數(shù)和的定義求和: :(1)直接法直接法;(2)拆項法拆項法;(3)遞推法遞推法.例例4 4.21arctan12的的和和求求 nn解解,21arctan1 s81arctan21arctan2 s812118121arctan ,32arctan 1.1.求得函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)求得函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù), ,代值求和代值求和. . 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）整理課件181arctan32arctan 181arctan23 ss,43arctan 1ar