《高等數(shù)學教學匯編》(17)

1、編輯編輯ppt 格林公式及其應用格林公式及其應用編輯編輯ppt一、區(qū)域連通性的分類一、區(qū)域連通性的分類 設設D為平面區(qū)域為平面區(qū)域, , 如果如果D內(nèi)任一閉曲線所內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于圍成的部分都屬于D, , 則稱則稱D為平面單連通區(qū)為平面單連通區(qū)域域, , 否則稱為復連通區(qū)域否則稱為復連通區(qū)域. .復連通區(qū)域復連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域DD編輯編輯ppt連成連成與與由由21LLL組組成成與與由由21LLL邊界曲線邊界曲線L L的正向的正向: 當觀察者沿邊界行走時當觀察者沿邊界行走時,區(qū)區(qū)域域D內(nèi)在他近處的部分總在他的左邊內(nèi)在他近處的部分總在他的左邊.2LD1L2L1LD編輯編輯pp

2、t 設設閉閉區(qū)區(qū)域域D由由分分段段光光滑滑的的曲曲線線L圍圍成成, ,函函數(shù)數(shù)),(),(yxQyxP及及在在D上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù), , 則則有有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( ( (1 1) )其其中中L是是D的的取取正正向向的的邊邊界界曲曲線線, ,公公式式( (1 1) )叫叫做做格格林林公公式式. .二、格林公式二、格林公式定理定理1 1編輯編輯ppt),()(),(21bxaxyxyxD 證明證明若若區(qū)區(qū)域域D既既是是 X型型又又是是 Y型型,即即平平行行于于坐坐標標軸軸的的直直線線和和L至至多多交交于于兩兩點點.),()(),(21dycyxyyxD

3、yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx X型型Y型型（）編輯編輯pptdxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可證同理可證 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx BA編輯編輯ppt兩式相加得兩式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(編輯編輯ppt若若D 是由一條按段光滑的閉曲線圍成，且不滿足是由一條按段光滑的閉曲線圍成，且不滿足 321DDD yxyPx

4、QDdd 1L LyQxPddX 型又是型又是 Y 型的區(qū)域型的區(qū)域 , 如圖，如圖，)(的的正正向向邊邊界界表表示示kkDL以上條件以上條件,的格林公式，并相加即可的格林公式，并相加即可.則可通過添加輔助線將其分為有限個既是則可通過添加輔助線將其分為有限個既是 然后逐塊按然后逐塊按(i)得到它們得到它們1D2D3D 2L 3L1L2L3LABC編輯編輯ppt(iii) 若若D 是由幾條閉曲線圍成，如圖，這時可適當是由幾條閉曲線圍成，如圖，這時可適當AB( yxyPxQDdd 132)(LLLQdyPdx LyQxPdd證畢證畢添加直線段添加直線段 AB，CE，把區(qū)域化為把區(qū)域化為(ii)的情

5、況處理的情況處理.BACE 2L BA AFC CEF 3L2L3L EC)(QdyPdxCGAG1L編輯編輯ppt格格林林公公式式的的實實質(zhì)質(zhì): : 溝溝通通了了沿沿閉閉曲曲線線的的積積分分與與二二重重積積分分之之間間的的聯(lián)聯(lián)系系.LDyQxPyxyPxQdddd注：若注：若L 為區(qū)域為區(qū)域 D 的邊界曲線，并取負方向，則的邊界曲線，并取負方向，則編輯編輯ppt推論推論: 正向閉曲線正向閉曲線 L 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 D 的面積的面積LxyyxAdd21取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2閉閉區(qū)區(qū)域域D的的面面積積 LydxxdyA21.編輯編輯ppt例如例如, 橢圓橢圓20,si

6、ncos:byaxL所圍面積所圍面積LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab編輯編輯pptxyo例例 1 1 計計算算 ABxdy,其其中中曲曲線線AB是是半半徑徑為為r的的圓圓在在第第一一象象限限部部分分.ABD應應用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有解解 為了使用格林公式為了使用格林公式, 添加輔助線段添加輔助線段,BO,OA它們與它們與 所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為D , 則則AB 編輯編輯ppt00Ddxdy,BOOAOABOABxdyxdyxdy原式.412rdxdyDxyoLABD 編輯編輯ppt例例2 計算計算 ,d)(d)3(22yxyxyxL其中其中L

7、為上半為上半24xxy從從 O (0, 0) 到到 A (4, 0).解解 為了使用格林公式為了使用格林公式, 添加輔助線段添加輔助線段,AO它與它與L 所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為D , 則則原式原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4AOyxyxyxd)(d)3(22042dxx3648 yA xoLD編輯編輯ppt例例3 計算計算 ,dd22 Lyxxyyx其中其中L為一無重點為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線且不過原點的分段光滑正向閉曲線. 解解 令令,022時時則則當當 yx22222)(yxxyxQ 設設 L 所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為D, 當當D )0 , 0(時，時，0d)

8、(dd22 DLyPxQyxxyyx ,22yxyP 22yxxQ yP DO由格林公式知由格林公式知編輯編輯ppt記記 L 和和 -l 所圍的所圍的,)0 , 0(時時當當D 在在D 內(nèi)作圓周內(nèi)作圓周,:222ryxl 取逆時取逆時針方向針方向, l 的順時針方向記為的順時針方向記為 -l ,區(qū)域為區(qū)域為D1，對區(qū)域，對區(qū)域 D1 應用格林公式應用格林公式 , 得得 Lyxxyyx22dd lyxxyyx22dd)(22ddlLyxxyyx0dd01 yxD lLyxxyyxyxxyyx2222ddddoyx1D.2 drrr22222sincos 20編輯編輯pptGyxo 1LQdyPd

9、x則則稱稱曲曲線線積積分分 LQdyPdx在在G內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān), ,三、三、平面上曲線積分與路徑無關(guān)平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件的等價條件 2LQdyPdx1L2LBA如果在區(qū)域如果在區(qū)域G內(nèi)有內(nèi)有 否否則則與與路路徑徑有有關(guān)關(guān). .編輯編輯ppt定理定理2.2. 設設D 是單連通域是單連通域 , ,),(),(yxQyxP在在D 內(nèi)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)具有一階連續(xù)偏導數(shù), ,(1) (1) 沿沿D 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 L L , , 有有.0ddLyQxP(2) (2) 對對D 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 L L, , 曲線積分曲線積分(3)(3)yQ

10、xPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) (4) 在在 D 內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有.xQyPLyQxPdd與路徑無關(guān)與路徑無關(guān). . 函數(shù)函數(shù)則以下四個條件等價則以下四個條件等價: :在在 D 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分, ,即即 編輯編輯ppt說明說明: 積分與路徑無關(guān)時積分與路徑無關(guān)時, 曲線積分可記為曲線積分可記為 證明證明 (1) (2)設設21, LL21ddddLLyQxPyQxP)(21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP為為D 內(nèi)內(nèi)任意任意兩條由兩條由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲線線, 則則(根據(jù)條件根據(jù)條

11、件(1)BAyQxPddAByQxPdd編輯編輯ppt證明證明 (2) (3)在在D內(nèi)取定點內(nèi)取定點),(00yxA因曲線積分因曲線積分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux則則),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxPxxxxPdxyxxP),(同理可證同理可證yu),(yxQ因此有因此有yQxPuddd和任一點和任一點B( x, y ),與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),),(yxxC),(yxB),(00yxA有函數(shù)有函數(shù) 編輯編輯ppt證明證明 (3) (4)設存在函數(shù)設存在函數(shù) u ( x , y ) 使得使

12、得yQxPuddd則則),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù),xyuyxu22所以從而在從而在D內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有xQyPxyuxQyxuyP22,編輯編輯ppt證明證明 (4) (1)設設L為為D中任一分段光滑閉曲線中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖如圖) ,上因此在DxQyP利用利用格林公式格林公式 , 得得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為證畢證畢編輯編輯pptyx說明說明: :根據(jù)定理根據(jù)定理2 , 2 , 若在某區(qū)域內(nèi)若在某區(qū)域內(nèi),xQyP則則2) 2) 可用積分法求可用積分法求 P dx + Q

13、dy在域在域 D 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù): :Dyx),(00及動點及動點,),(DyxxxxyxPyxu0d),(),(0或或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為則原函數(shù)為CyyxQyy0d),(CxyxPxx0d),(取定點取定點1) 1) 計算曲線積分時計算曲線積分時, , 可選擇方便的積分路徑可選擇方便的積分路徑; ;編輯編輯pptxxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解 xQyP ，原原積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān) 故故原原式式 101042)1(dyydxx.1523 編輯編輯ppt例例5. 驗證驗證yyxxyxdd22是某個函數(shù)的全微分是某個函數(shù)的全微分, 并求并求出它的原函數(shù)出它的原函數(shù). 證證: 設設,22yxQyxP則則xQyxyP2由定理由定理2 可知可知, 存在函數(shù)存在函數(shù) u (x , y) 使使yyxxyxuddd22Cyyxxyxyxuyx),()0, 0(22dd),()0 , 0(),(yx)0 ,(xxxx0d0Cyyxyd02Cyyxyd02Cyx22