用有限覆蓋定理證明實(shí)數(shù)完備性的幾個(gè)定理Word版

1、第一章 前言眾所周知, 極限的存在性問題是極限理論的首要問題. 一個(gè)數(shù)列是否存在極限不僅與數(shù)列本身的結(jié)構(gòu)有關(guān), 而且與數(shù)列所在的數(shù)集密切相關(guān). 從運(yùn)算的角度來說, 實(shí)數(shù)集關(guān)于極限的運(yùn)算是封閉的, 它反映了實(shí)數(shù)集的完備性, 這是實(shí)數(shù)的優(yōu)點(diǎn). 因此, 將極限理論建立在實(shí)數(shù)集之上, 極限理論就有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).我們常常從實(shí)數(shù)系的連續(xù)性出發(fā)證明實(shí)數(shù)系的完備性, 也可從實(shí)數(shù)系的完備性出發(fā)去證明實(shí)數(shù)系的連續(xù)性, 所以這兩個(gè)關(guān)系是等價(jià)的. 因此, 我們也稱實(shí)數(shù)系的連續(xù)性為實(shí)數(shù)系的完備性.數(shù)學(xué)分析課程是高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)的主要基礎(chǔ)課程之一, 更是高等師范學(xué)校數(shù)學(xué)教育專業(yè)最主要的基礎(chǔ)課程. 在數(shù)學(xué)分析教材中, 實(shí)數(shù)

2、集的確界定理、單調(diào)有界定理、閉區(qū)間套定理、柯西收斂準(zhǔn)則、聚點(diǎn)定理和有限覆蓋定理通稱為實(shí)數(shù)的完備性定理, 他們各自從不同的角度反映了實(shí)數(shù)的完備性或稱為實(shí)數(shù)的連續(xù)性, 成為數(shù)學(xué)理論乃至數(shù)學(xué)分析堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 這六個(gè)基本定理是相互等價(jià)的, 也就是說可以相互循環(huán)論證. 在我們學(xué)過的劉玉璉等主編的數(shù)學(xué)分析講義中, 實(shí)數(shù)完備性基本定理是從公理出發(fā), 首先運(yùn)用公理證明了閉區(qū)間套定理, 然后用前一個(gè)定理為條件, 證明了后一個(gè)定理的結(jié)論, 它們依次是: 確界定理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)定理、致密性定理、柯西收斂準(zhǔn)則的充要性, 最后再運(yùn)用柯西收斂準(zhǔn)則的充要性證明了公理（作為練習(xí)題）. 而在本文中把有限覆蓋定理作為出發(fā)點(diǎn)

3、, 利用反證法和有限覆蓋的思想來分別證明確界原理、單調(diào)有界定理、區(qū)間套定理、聚點(diǎn)定理、柯西收斂準(zhǔn)則. 下面我們就來闡述有限覆蓋的定義和定理的內(nèi)容, 為后面的證明做鋪墊.定義1.2.1 設(shè)為數(shù)軸上的點(diǎn)集, 為開區(qū)間的集合,（即的每一個(gè)元素都是形如的開區(qū)間）, 若中任何一點(diǎn)都含在中至少一個(gè)開區(qū)間內(nèi), 則稱為的一個(gè)開覆蓋, 或稱覆蓋. 若中開區(qū)間的個(gè)數(shù)是無限（有限）的, 則稱為的一個(gè)無限開覆蓋（有限開覆蓋）. 定理1.2.1 （有限覆蓋定理）設(shè)為閉區(qū)間的一個(gè)（無限）開覆蓋, 則從中可選出有限個(gè)開區(qū)間來覆蓋.第二章 有限覆蓋定理證明實(shí)數(shù)完備性的其它定理 2.1 用有限覆蓋定理證明確界定理 本節(jié)主要運(yùn)用

4、有限覆蓋定理證明確界定理, 首先給出確界的定義和定理如下:定義2.1.1 有非空的數(shù)集, 如果存在, 有下列性質(zhì):（1）對任意, 有;（2）對任意, 總存在某個(gè)數(shù), 有, 則稱是數(shù)集的上確界, 認(rèn)為: . 定義2.1.2 非空的數(shù)集, 如果存在, 有下列性質(zhì): （1）對任意, 有;（2）對任意, 總存在某個(gè)數(shù), 有, 則稱是數(shù)集的下確界, 認(rèn)為: .定理2.1.1（確界定理）任何非空集, 若它有上界, 則必有上確界（等價(jià)地若有下界, 必有下確界）.證明 設(shè)有. 任取一點(diǎn), 考慮閉區(qū)間, 假若無上確界（最小上界）, 那么:i) 當(dāng)為的上界時(shí), 必有更小的上界, 因而有一開領(lǐng)域, 其中皆為的上界;

5、ii) 當(dāng)不是的上界時(shí), 自然有中的點(diǎn), 于是有開領(lǐng)域, 其中每點(diǎn)皆不是的上界.上每點(diǎn)都找出一個(gè)領(lǐng)域, 它要么屬于第一類（每點(diǎn)為上界）, 要么屬于第二類（每點(diǎn)皆不是上界）, 這些領(lǐng)域, 組成閉區(qū)間的一個(gè)開覆蓋, 由有限覆蓋定理,必存在有限子覆蓋, 注意, 所在的開區(qū)間, 應(yīng)為第一類的, 相鄰接的開區(qū)間有公共點(diǎn), 也應(yīng)為第一類的, 經(jīng)過有限次鄰接. 可知所在的開區(qū)間也是第一類, 這便得出矛盾. 從而得證非空集, 若它有上界, 則必有上確界. 同理可證非空集, 若它有下界, 則必有下確界.2.2 用有限覆蓋定理證明單調(diào)有界定理 本節(jié)主要運(yùn)用有限覆蓋定理證明單調(diào)有界定理, 首先給出單調(diào)有界的定義和定

6、理如下:定義2.2.1 若數(shù)列的各項(xiàng)滿足關(guān)系式 ,則稱為遞增（遞減）數(shù)列. 遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.定理2.2.1（單調(diào)有界定理）任何有界的單調(diào)數(shù)列一定有極限.證明 不妨設(shè)為單調(diào)有界數(shù)列, 若對, 都不是的極限, 則 對 有 則在內(nèi)僅含有的有限項(xiàng), 令, 則是閉區(qū)間的一個(gè)開覆蓋, 由有限覆蓋定理知: 其必存在有限子覆蓋, 不妨設(shè)存在 是它的一個(gè)子覆蓋, 即, 而只含有限個(gè)點(diǎn), 從而它們的并也只含有限個(gè)點(diǎn), 從而得出也只含有限個(gè)點(diǎn), 這與是無限點(diǎn)集矛盾, 從而得證任何有界的單調(diào)數(shù)列一定有極限.2.3 用有限覆蓋定理證明區(qū)間套定理 本節(jié)主要運(yùn)用有限覆蓋定理證明區(qū)間套定理, 首先給出區(qū)間套

7、的定義和定理如下:定義2.3.1 若閉區(qū)間列具有下列性質(zhì): （1）,n=1,2,3;（2）則稱這個(gè)閉區(qū)間列為閉區(qū)間套, 或稱區(qū)間套.定理2.3.1（區(qū)間套定理）若是一個(gè)區(qū)間套, 則存在唯一一點(diǎn), 使得, n=1,2,3, 或, n=1,2,3, 證明 設(shè)為閉區(qū)間套, 但對, 至少, 使, 從而, 使.現(xiàn)因是的一個(gè)開覆蓋, 故中有限個(gè)開區(qū)間即可完全覆蓋, 記為 ,其中 （=1,2,n;）. 令, 則. 于是對, 都有, 由此得出 這與為的開覆蓋條件矛盾, 從而假設(shè)不成立, 問題得證.2.4 用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理 本節(jié)主要運(yùn)用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理, 首先給出聚點(diǎn)的定義和定理如下:定義2.

8、4.1 設(shè)是直線上的點(diǎn)集, 是一個(gè)定點(diǎn)（它可屬于, 也可不屬于）. 若的任意領(lǐng)域內(nèi)含有的無限多個(gè)點(diǎn), 則稱為的一個(gè)聚點(diǎn).其等價(jià)定義: 對于點(diǎn)集, 若點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)都含有的一個(gè)異于的點(diǎn)（即）, 則稱為的一個(gè)聚點(diǎn).定理 2.4.1（聚點(diǎn)定理）直線上的有界無限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn). 證明 設(shè)為直線上有界無窮點(diǎn)集, 若存在, 使中任何點(diǎn)不是的聚點(diǎn), 則對每一個(gè), 必存在相應(yīng)的, 使得在內(nèi)至多含有的有限多個(gè)點(diǎn).設(shè), 則是的一個(gè)開覆蓋, 由有限覆蓋定理, 中存在有限個(gè)開覆蓋（j=1,2,3,）構(gòu)成的一個(gè)開覆蓋, 當(dāng)然也覆蓋了. 則在中至多含有的有限多個(gè)點(diǎn)（j=1,2,3,）. 故為有限點(diǎn)集, 這與題設(shè)為無限

9、點(diǎn)集相矛盾. 于是, 至少有一個(gè)聚點(diǎn).2.5 用有限覆蓋定理證明Cauchy收斂準(zhǔn)則 本節(jié)主要運(yùn)用有限覆蓋定理證明Cauchy收斂準(zhǔn)則, 首先給出Cauchy收斂準(zhǔn)則如下:定理2.5.1 （柯西收斂準(zhǔn)則）數(shù)列收斂的充要條件是: 對任給的正數(shù), 總存在某一個(gè)自然數(shù), 使得時(shí), 都有 柯西收斂準(zhǔn)則又叫實(shí)數(shù)完備性定理.柯西收斂準(zhǔn)則（充分性部分） 若實(shí)數(shù)列滿足: ,有, 則收斂.證明 有 其中是有界的, 設(shè), 若對, 都不是的極限, 則 對 有 則在內(nèi)僅含有的有限項(xiàng), 令, 則是閉區(qū)間的一個(gè)開覆蓋, 由有限覆蓋定理知: 其必存在有限子覆蓋, 不妨設(shè)存在是它的一個(gè)子覆蓋, 即, 而只含有限個(gè)點(diǎn), 從而它

10、們的并也只含有限個(gè)點(diǎn), 從而得出也只含有限個(gè)點(diǎn), 這與是無限點(diǎn)集矛盾, 從而假設(shè)不成立, 問題得證.柯西收斂準(zhǔn)則 （必要性部分）若實(shí)數(shù)列收斂, 則滿足:,時(shí), 有成立.證明 設(shè)收斂于, 按照收斂的定義, 時(shí), 有 于是 .2.6 總結(jié)眾所周知, 實(shí)數(shù)系的完備性是實(shí)數(shù)的一個(gè)重要特征, 與之相關(guān)的6個(gè)基本定理是彼此等價(jià)的, 并且是論證其它一些重要定理（如一致連續(xù)定理等）的依據(jù), 確界定理、單調(diào)有界定理、閉區(qū)間套定理、柯西收斂準(zhǔn)則、聚點(diǎn)定理、柯西收斂準(zhǔn)則屬于同一類型, 它們都指出, 在某一條件下，便有某種“點(diǎn)”存在, 而有限覆蓋定理屬于另一種類型, 它是其它實(shí)數(shù)完備性定理的逆否形式, 不論是前五個(gè)定

11、理來分別證明有限覆蓋定理, 還是在本文研究的用有限覆蓋定理分別推出前五個(gè)定理, 都可用反證法完成; 同時(shí)需要特別強(qiáng)調(diào)的是有理數(shù)集并不具有完備性.參考文獻(xiàn)1 劉玉璉等, 數(shù)學(xué)分析講義與指導(dǎo)M, 第2版 , 高等教育出版社, 2005.2 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系, 數(shù)學(xué)分析M, 第2版, 高等教育出版社, 1991.3 裴禮文編的數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法, 第2版, 高等教育出版社.4 陳紀(jì)修等, 數(shù)學(xué)分析M,第2版, 高等教育出版社, 2004.5 裘兆泰、王承國、章仰文編的數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)M, 科學(xué)出版社, 2004.致謝為期近半年的論文寫作即將畫上一個(gè)圓滿的句號, 在論文寫作的過程中,從論文的選題到確定思路, 從資料的搜集、提綱的擬定到內(nèi)容的寫作與修改, 繼而諸多觀點(diǎn)的梳理, 都得益于我的導(dǎo)師李老師的悉心指導(dǎo)和匠心點(diǎn)撥.論文的點(diǎn)評中總是閃爍著智慧的火花, 與她的每次交談我都能從中獲益.她嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度, 一絲不茍的負(fù)責(zé)精神, 以及對學(xué)生孜孜不倦的教誨都給予了我極其深刻的印象, 讓我受益匪淺. 在此, 謹(jǐn)向李老師表示