材料力學(xué)第五章 彎曲強(qiáng)度課件

1、材料力學(xué)材料力學(xué)10何斌2022-1-22Page 2 何斌何斌材料力學(xué)Page 3 何斌何斌材料力學(xué)Page 4 何斌何斌材料力學(xué) 跨中部位出現(xiàn)一些跨中部位出現(xiàn)一些貫穿性垂直裂縫貫穿性垂直裂縫，截面的，截面的下邊下邊緣緣處首先出現(xiàn)，向梁截面中間部位延伸處首先出現(xiàn)，向梁截面中間部位延伸.現(xiàn)象分析？鋼筋砼矩形截面梁鋼筋砼矩形截面梁Page 5 何斌何斌材料力學(xué)現(xiàn)代梁理論由現(xiàn)代梁理論由伽利略伽利略開始開始關(guān)于兩門新科學(xué)的對(duì)話關(guān)于兩門新科學(xué)的對(duì)話，16381638年年出版。出版。伽利略研究的重要意義：伽利略研究的重要意義：建立了建立了“實(shí)驗(yàn)觀測(cè)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)假設(shè)假設(shè)分析與推導(dǎo)分析與推導(dǎo)”現(xiàn)代科學(xué)研究方法！

2、現(xiàn)代科學(xué)研究方法！ 18261826年年，由，由NavierNavier完成彎曲正應(yīng)力的推導(dǎo)。完成彎曲正應(yīng)力的推導(dǎo)。188年！年！Page 6 何斌何斌材料力學(xué)受力：荷載平面與幾何縱向?qū)ΨQ面重合幾何：具有縱向?qū)ΨQ面qpFeMAyFByFBA縱縱向向?qū)?duì)稱稱面面平面彎曲平面彎曲Page 7 何斌何斌材料力學(xué)純彎曲純彎曲 梁的橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力的彎曲。橫力彎曲橫力彎曲 梁的橫截面上既有彎矩又有剪力的彎曲。MxFQx +PF aPFPF aPFAaPFBCDFPPage 8 何斌何斌材料力學(xué)應(yīng)力分布應(yīng)力公式變 形應(yīng)變分布物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系實(shí)驗(yàn)觀測(cè)實(shí)驗(yàn)觀測(cè) 變形幾何變形幾何變形幾何

3、變形幾何Page 9 何斌何斌材料力學(xué)應(yīng)力分布應(yīng)力公式變 形應(yīng)變分布變形幾何變形幾何物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系實(shí)驗(yàn)觀測(cè)實(shí)驗(yàn)觀測(cè) Page 10 何斌何斌材料力學(xué)應(yīng)力分布應(yīng)力公式變 形應(yīng)變分布變形幾何變形幾何物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系實(shí)驗(yàn)觀測(cè)實(shí)驗(yàn)觀測(cè) 1.1.外部變形外部變形觀測(cè)觀測(cè)（2 2）橫向線：）橫向線：仍為直線，只是相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度；仍為直線，只是相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度； 且仍與縱向線正交。且仍與縱向線正交。（1 1）縱向線：）縱向線：變成彼此平行的弧線，變成彼此平行的弧線，且上縮下伸。且上縮下伸。Page 11 何斌何斌材料力學(xué)應(yīng)力分布應(yīng)力公式變 形應(yīng)變分布變形幾何變形幾何物

4、理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系1.1.外部變形外部變形觀測(cè)觀測(cè)（2 2）橫向線：）橫向線：仍為直線，只是相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度；仍為直線，只是相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度； 且仍與縱向線正交。且仍與縱向線正交。（1 1）縱向線：）縱向線：變成彼此平行的弧線，變成彼此平行的弧線，且上縮下伸。且上縮下伸。2.2.內(nèi)部變形內(nèi)部變形 變形前為平面的橫截面變形后變形前為平面的橫截面變形后 仍為平面仍為平面，僅僅是轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)，僅僅是轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè) 角度且角度且仍垂直于仍垂直于變形后的軸線。變形后的軸線。梁是由許多縱向?qū)咏M成的，梁是由許多縱向?qū)咏M成的，且且（1 1）彎曲平面假設(shè)彎曲平面假設(shè)：（2 2）單向受力假設(shè)單向受力假設(shè)

5、各縱向?qū)又g各縱向?qū)又g無(wú)擠壓無(wú)擠壓。假設(shè)假設(shè)Page 12 何斌何斌材料力學(xué)應(yīng)力分布應(yīng)力公式變 形應(yīng)變分布變形幾何變形幾何物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系 根據(jù)變形的連續(xù)性可知，梁彎曲時(shí)中間必有一層縱向既不伸長(zhǎng)也不縮短-稱為中性層中性層 。 中性層：中性層與橫截面的交線稱之為中性軸中性軸。凹入凹入一側(cè)纖維一側(cè)纖維縮短縮短突出突出一側(cè)纖維一側(cè)纖維伸長(zhǎng)伸長(zhǎng)Page 13 何斌何斌材料力學(xué)應(yīng)力分布應(yīng)力公式變 形應(yīng)變分布變形幾何變形幾何物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系Page 14 何斌何斌材料力學(xué)應(yīng)力分布應(yīng)力公式變 形應(yīng)變分布變形幾何變形幾何物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系Page 15 何斌何斌

6、材料力學(xué)應(yīng)力分布應(yīng)力公式變 形應(yīng)變分布變形幾何變形幾何物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系Page 16 何斌何斌材料力學(xué)應(yīng)力分布應(yīng)力公式變 形應(yīng)變分布變形幾何變形幾何物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系Page 17 何斌何斌材料力學(xué)應(yīng)力分布應(yīng)力公式變 形應(yīng)變分布變形幾何變形幾何物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系中性層曲率中心中性層曲率中心(1) . y11A BABAB11A BOOOO橫截面上任一點(diǎn)處的縱向正應(yīng)變與該橫截面上任一點(diǎn)處的縱向正應(yīng)變與該點(diǎn)到中性軸的距離點(diǎn)到中性軸的距離y 成正比成正比。dxyzxoyABoo d dyzyxooA1B2dddy)(yPage 18 何斌何斌材料力學(xué)應(yīng)力分

7、布應(yīng)力公式變 形應(yīng)變分布變形幾何變形幾何物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系在彈性范圍內(nèi)，E(2) . EyE1.1.沿沿y y軸即高度方向線性分布軸即高度方向線性分布2.2.上下緣上下緣最大最大，Z Z軸上各點(diǎn)應(yīng)力為零軸上各點(diǎn)應(yīng)力為零 3.3.與與z z坐標(biāo)無(wú)關(guān)，沿寬度方向均勻分布。坐標(biāo)無(wú)關(guān)，沿寬度方向均勻分布。Page 19 何斌何斌材料力學(xué)應(yīng)力分布應(yīng)力公式變 形應(yīng)變分布變形幾何變形幾何物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系應(yīng)力分布圖：應(yīng)力分布圖：中性軸的位置中性軸的位置中性層的曲率中性層的曲率1？zMzMyxztmaxcmax1.1.沿沿y y軸即高度方向線性分布軸即高度方向線性分布2.2.上下緣

8、上下緣最大最大，Z Z軸上各點(diǎn)應(yīng)力為零軸上各點(diǎn)應(yīng)力為零 3.3.與與z z坐標(biāo)無(wú)關(guān)，沿寬度方向均勻分布。坐標(biāo)無(wú)關(guān)，沿寬度方向均勻分布。Page 20 何斌何斌材料力學(xué)應(yīng)力分布應(yīng)力公式變 形應(yīng)變分布變形幾何變形幾何物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系(2) . EyE AdA NFAydAE dAyEA00zzSSE中性軸中性軸Z軸為形心軸軸為形心軸yxMZZyzdAPage 21 何斌何斌材料力學(xué)應(yīng)力分布應(yīng)力公式變 形應(yīng)變分布變形幾何變形幾何物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系(2) . EyE AdAy zMAdAyE2 ZEIydAyEAZ1EIMzZIyMz截面對(duì)于中截面對(duì)于中性軸的慣性性軸的慣

9、性矩矩抗彎剛度抗彎剛度Page 22 何斌何斌材料力學(xué)最大正應(yīng)力公式與彎曲截面模量最大正應(yīng)力公式與彎曲截面模量 工程上最感興趣的是橫截面上的最大正應(yīng)力，也就是橫截面工程上最感興趣的是橫截面上的最大正應(yīng)力，也就是橫截面上到中性軸最遠(yuǎn)處點(diǎn)上的正應(yīng)力。這些點(diǎn)的上到中性軸最遠(yuǎn)處點(diǎn)上的正應(yīng)力。這些點(diǎn)的y坐標(biāo)值最大，即坐標(biāo)值最大，即y=ymax。將。將y=ymax代入正應(yīng)力公式得到代入正應(yīng)力公式得到 zzM yI maxmaxzzzzM yMIW稱為彎曲截面系數(shù)，單位是稱為彎曲截面系數(shù)，單位是mmmm3 3或或m m3 3 。 maxzzIWyPage 23 何斌何斌材料力學(xué) 純彎曲時(shí)，梁橫截面上正應(yīng)力分

10、析純彎曲時(shí)，梁橫截面上正應(yīng)力分析yzbh3212622zzbhIbhWhh3212622yyhbIhbWbb43643222yzdIdWWWddzyd最大正應(yīng)力公式與彎曲截面模量最大正應(yīng)力公式與彎曲截面模量 Page 24 何斌何斌材料力學(xué) 純彎曲時(shí)，梁橫截面上正應(yīng)力分析純彎曲時(shí)，梁橫截面上正應(yīng)力分析zzzzWMIyMmaxmaxmaxzzIWy443411643222yzDDIWWWDDdD最大正應(yīng)力公式與彎曲截面模量最大正應(yīng)力公式與彎曲截面模量 zydDPage 25 何斌何斌材料力學(xué)Page 26 何斌何斌材料力學(xué) 首先首先決定正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是決定正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力。壓應(yīng)力。 確

11、定正應(yīng)力正負(fù)號(hào)比較簡(jiǎn)單確定正應(yīng)力正負(fù)號(hào)比較簡(jiǎn)單的方法是首先確定橫截面上彎矩的的方法是首先確定橫截面上彎矩的實(shí)際方向，確定中性軸的位置；然實(shí)際方向，確定中性軸的位置；然后根據(jù)所要求應(yīng)力的那一點(diǎn)的位置，后根據(jù)所要求應(yīng)力的那一點(diǎn)的位置，以及以及“彎矩是由分布正應(yīng)力合成的彎矩是由分布正應(yīng)力合成的合力偶矩合力偶矩”這一關(guān)系，就可以確定這一關(guān)系，就可以確定這一點(diǎn)的正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)這一點(diǎn)的正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力。力。 xyzMz My + +Page 27 何斌何斌材料力學(xué)maxmaxzzM yImaxmaxzzM yI 如果梁的橫截面具有一對(duì)相互垂直的對(duì)稱軸，并且加載方向如果梁的橫截面具有一對(duì)相互

12、垂直的對(duì)稱軸，并且加載方向與其中一根對(duì)稱軸一致時(shí)，則中性軸與另一對(duì)稱軸一致。此時(shí)最與其中一根對(duì)稱軸一致時(shí)，則中性軸與另一對(duì)稱軸一致。此時(shí)最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力絕對(duì)值相等。大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力絕對(duì)值相等。 如果梁的橫截面只有一根對(duì)稱軸，而且加載方向與對(duì)稱軸一如果梁的橫截面只有一根對(duì)稱軸，而且加載方向與對(duì)稱軸一致，則中性軸過(guò)截面形心并垂直對(duì)稱軸。這時(shí)，橫截面上最大拉致，則中性軸過(guò)截面形心并垂直對(duì)稱軸。這時(shí)，橫截面上最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力絕對(duì)值不相等，可由下列二式分別計(jì)應(yīng)力與最大壓應(yīng)力絕對(duì)值不相等，可由下列二式分別計(jì)算：算： 在實(shí)際計(jì)算中，可以不注明應(yīng)力的正負(fù)號(hào)，只要在計(jì)算結(jié)果在實(shí)際計(jì)算中，可以不注

13、明應(yīng)力的正負(fù)號(hào)，只要在計(jì)算結(jié)果的后面用括號(hào)注明的后面用括號(hào)注明“拉拉”或或“壓壓”。 Page 28 何斌何斌材料力學(xué)maxmaxzzM yImaxmaxzzM yIPage 29 何斌何斌材料力學(xué)ZIyMz細(xì)長(zhǎng)桿細(xì)長(zhǎng)桿橫力彎曲橫力彎曲PP翹曲變形翹曲變形Page 30 何斌何斌材料力學(xué)2009年春，范欽珊教授提出一個(gè)關(guān)于細(xì)長(zhǎng)梁理論的怪例：Page 31 何斌何斌材料力學(xué)何斌，張慧玲，陳晨，范欽珊，從一個(gè)怪例看細(xì)長(zhǎng)梁理論何斌，張慧玲，陳晨，范欽珊，從一個(gè)怪例看細(xì)長(zhǎng)梁理論的基本假定的基本假定, 力學(xué)與實(shí)踐，力學(xué)與實(shí)踐，2010，32(4)：90-93 何斌，范欽珊，張慧玲何斌，范欽珊，張慧玲 ，

14、均布力偶作用下細(xì)長(zhǎng)梁力學(xué)分，均布力偶作用下細(xì)長(zhǎng)梁力學(xué)分析，固體力學(xué)學(xué)報(bào)，析，固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2011，32(5)：534-540(EI)何斌，張慧玲，范欽珊，再論從一個(gè)怪例看細(xì)長(zhǎng)梁理論的何斌，張慧玲，范欽珊，再論從一個(gè)怪例看細(xì)長(zhǎng)梁理論的基本假定基本假定, 力學(xué)與實(shí)踐，力學(xué)與實(shí)踐，2011，33(6)：79-80 Page 32 何斌何斌材料力學(xué)Page 33 何斌何斌材料力學(xué) 矩形截面懸臂梁有兩個(gè)對(duì)稱面：由橫截面鉛垂對(duì)稱軸矩形截面懸臂梁有兩個(gè)對(duì)稱面：由橫截面鉛垂對(duì)稱軸所組成的平面，稱為鉛垂對(duì)稱面；由橫截面水平對(duì)稱軸所所組成的平面，稱為鉛垂對(duì)稱面；由橫截面水平對(duì)稱軸所組成的平面，稱為水平對(duì)稱面。梁

15、在自由端承受外加力偶組成的平面，稱為水平對(duì)稱面。梁在自由端承受外加力偶作用，力偶矩為作用，力偶矩為Me，力偶作用在鉛垂對(duì)稱面內(nèi)。試畫出梁，力偶作用在鉛垂對(duì)稱面內(nèi)。試畫出梁在固定端處橫截面上的正應(yīng)力分布圖。在固定端處橫截面上的正應(yīng)力分布圖。 Page 34 何斌何斌材料力學(xué)確定固定端處橫截面上的彎矩確定固定端處橫截面上的彎矩 根據(jù)梁的受力，從固定端處將梁截開，考慮右邊部分的平衡，根據(jù)梁的受力，從固定端處將梁截開，考慮右邊部分的平衡，可以求得固定端處梁截面上的彎矩可以求得固定端處梁截面上的彎矩: MMe 。這一梁的所有橫截面這一梁的所有橫截面上的彎矩都等于外加力偶的力偶矩上的彎矩都等于外加力偶的力

16、偶矩Me。 Page 35 何斌何斌材料力學(xué)確定中性軸的位置確定中性軸的位置中性軸中性軸中性軸通過(guò)截面形心并與截面的鉛垂對(duì)稱軸中性軸通過(guò)截面形心并與截面的鉛垂對(duì)稱軸(y)垂直。因垂直。因此，此，z軸就是中性軸。軸就是中性軸。判斷橫截面上承受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力的區(qū)域判斷橫截面上承受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力的區(qū)域 根據(jù)彎矩的方向可判斷橫截面中性軸以上各點(diǎn)均受壓應(yīng)根據(jù)彎矩的方向可判斷橫截面中性軸以上各點(diǎn)均受壓應(yīng)力；橫截面中性軸以下各點(diǎn)均受拉應(yīng)力。力；橫截面中性軸以下各點(diǎn)均受拉應(yīng)力。 Page 36 何斌何斌材料力學(xué)中性軸中性軸判斷橫截面上承受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力的區(qū)域判斷橫截面上承受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力的區(qū)域 根據(jù)彎矩的方向

17、可判斷橫截面中性軸以上各點(diǎn)均受壓應(yīng)力；根據(jù)彎矩的方向可判斷橫截面中性軸以上各點(diǎn)均受壓應(yīng)力；橫截面中性軸以下各點(diǎn)均受拉應(yīng)力。橫截面中性軸以下各點(diǎn)均受拉應(yīng)力。 畫梁在固定端截面上正應(yīng)力分布圖畫梁在固定端截面上正應(yīng)力分布圖 根據(jù)正應(yīng)力公式，橫截面上正應(yīng)力沿截面高度（根據(jù)正應(yīng)力公式，橫截面上正應(yīng)力沿截面高度（y）按直線分）按直線分布，在上、下邊緣正應(yīng)力最大。本例題中，上邊緣承受最大壓應(yīng)布，在上、下邊緣正應(yīng)力最大。本例題中，上邊緣承受最大壓應(yīng)力；下邊緣承受最大拉應(yīng)力。于是可以畫出固定端截面上的正應(yīng)力；下邊緣承受最大拉應(yīng)力。于是可以畫出固定端截面上的正應(yīng)力分布圖。力分布圖。Page 37 何斌何斌材料力學(xué)

18、 矩形截面簡(jiǎn)支梁承受均布載荷作用。已知：矩形截面簡(jiǎn)支梁承受均布載荷作用。已知：矩形的寬度矩形的寬度b=20mm，高度，高度h30mm；均布載荷；均布載荷集度集度q10 kN/m ；梁的長(zhǎng)度；梁的長(zhǎng)度l450mm。求：梁。求：梁最大彎矩截面上最大彎矩截面上1、2兩點(diǎn)處的正應(yīng)力。兩點(diǎn)處的正應(yīng)力。 l/2l/2Page 38 何斌何斌材料力學(xué)l/2l/2確定彎矩最大截面以及最大彎矩?cái)?shù)值確定彎矩最大截面以及最大彎矩?cái)?shù)值 根據(jù)靜力學(xué)平衡方程根據(jù)靜力學(xué)平衡方程 MA0 和和 MB0，可以求得支座，可以求得支座A和和B處的約束力分別為處的約束力分別為 N1025. 2210450mm10kN/m1023-3

19、3RRqlFFBAFRAFRBPage 39 何斌何斌材料力學(xué)確定彎矩最大截面以及最大彎矩?cái)?shù)值確定彎矩最大截面以及最大彎矩?cái)?shù)值3RR2 25 10 N2.ABqlFF梁的中點(diǎn)處橫截面上彎矩最大，數(shù)值為梁的中點(diǎn)處橫截面上彎矩最大，數(shù)值為 mN10253. 08)10450mm(10kN/m10832-332maxqlMl/2l/2FRAFRBPage 40 何斌何斌材料力學(xué)計(jì)算慣性矩計(jì)算慣性矩 根據(jù)矩形截面慣性矩的公式根據(jù)矩形截面慣性矩的公式, ,本例題中，矩形截面本例題中，矩形截面對(duì)對(duì)z軸的慣性矩為軸的慣性矩為 483-3-33m105412)10mm30(10mm2012.bhIzl/2l/

20、2FRAFRBPage 41 何斌何斌材料力學(xué)求彎矩最大截面上求彎矩最大截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力兩點(diǎn)的正應(yīng)力 均布載荷作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，因此橫截面的水平對(duì)稱軸均布載荷作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，因此橫截面的水平對(duì)稱軸(x)就就是中性軸。根據(jù)彎矩最大截面上彎矩的方向，可以判斷：是中性軸。根據(jù)彎矩最大截面上彎矩的方向，可以判斷：1點(diǎn)受拉應(yīng)點(diǎn)受拉應(yīng)力，力，2點(diǎn)受壓應(yīng)力。點(diǎn)受壓應(yīng)力。1 1、2兩點(diǎn)到中性軸的距離分別為兩點(diǎn)到中性軸的距離分別為 m105 . 741030442331hhhym1015210302332hyl/2l/2FRAFRBPage 42 何斌何斌材料力學(xué)求彎矩最大截面上求彎矩最大截面上1

21、、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力兩點(diǎn)的正應(yīng)力 FRAFRB317 5 10 m.y3215 10 my于是，在彎矩最大截面上，于是，在彎矩最大截面上，1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力分別為兩點(diǎn)的正應(yīng)力分別為 42.2MPaPa104220m104.5m105710m0.253N1848-331max.zIyM 84.2MPaPa108420m104.5m101510m0.253N2348-332max.zIyMPage 43 何斌何斌材料力學(xué)丁字形截面簡(jiǎn)支梁在中點(diǎn)承受集中力丁字形截面簡(jiǎn)支梁在中點(diǎn)承受集中力FP32kN，梁的，梁的長(zhǎng)度長(zhǎng)度l=2m。丁字形截面的形心坐標(biāo)丁字形截面的形心坐標(biāo)yC=96.4mm，橫截面對(duì)橫截面對(duì)于于z軸的慣性矩軸的慣性矩Iz =1.02 108 mm4。求：彎矩最大截面上的。求：彎矩最大截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。Page 44 何斌何斌材料力學(xué)Mmax確定彎矩最大截面以及最大彎矩?cái)?shù)值確定彎矩最大截面以及最大彎矩?cái)?shù)值 根據(jù)靜力學(xué)平衡方程根據(jù)靜力學(xué)平衡方程 MA0 和和 MB0，可以求得支座，可以求得支座A和和B處的約束力分別為處的約束力分別為FRAFRB16 kN。根據(jù)內(nèi)力分析，梁中。根據(jù)內(nèi)力分析，梁中點(diǎn)的截面上彎矩最大，數(shù)值