高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料第十一章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)

1、第十一章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)§11.1 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)復(fù)數(shù)：形如a+bi的數(shù)（a,bÎR），復(fù)數(shù)通常有小寫字母z表示，即z=a+bi,其中a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部、b叫做復(fù)數(shù)的虛部，i稱做虛數(shù)單位.分類：復(fù)數(shù)a+bi(a,bÎR)中，當(dāng)b=0時(shí)，就是實(shí)數(shù)；除了實(shí)數(shù)以外的數(shù)，即當(dāng)b¹0時(shí)，a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0,b¹0時(shí)，叫做純虛數(shù).復(fù)數(shù)集：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合.復(fù)數(shù)相等：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi與c+di的實(shí)部與虛部分別相等，記作：a+bi=c+di.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面.在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y 軸

2、叫做虛軸.復(fù)數(shù)的模：設(shè)oz=a+bi,則向量oz的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)a+bi的模（或絕對(duì)值），記作a+bi.(1)z=a+bi=a+b；22(2)z1+z2=z2+z1；(3)z1z2z1z2=；7共扼復(fù)數(shù)：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共扼復(fù)數(shù).二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，而不全是實(shí)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小2222zÎR,則z³0，而zÎC，則z³0不一定成立，如z=i時(shí)i=-1<0；3zÎR,z2=z，而zÎC則z22=z不一定成立；2224若z1,z2,z3ÎC,(z1-z2)+

3、(z2-z3)=0不一定能推出z1=z2=z3；25若z1,z2ÎR，則z1-z2=(z1+z2)-4z1z2，但若z1,z2ÎC,則上式不一定成立.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1兩個(gè)共扼復(fù)數(shù)的差是（ ）A.實(shí)數(shù) B.純虛數(shù) C.零 D.零或純虛數(shù)錯(cuò)解:當(dāng)?shù)玫絲-z=2bi時(shí)就錯(cuò)誤的選B，忽略了b可以為零的條件.正解：設(shè)互為共扼的兩復(fù)數(shù)分別為z=a+bi及z=a-bi(a,bÎR)則z-z=2bi 或z-z=2bi當(dāng)b¹0時(shí)，z-z，z-z為純虛數(shù)當(dāng)b=0時(shí)，z-z=0，z-z=0，因此應(yīng)選D.注：要認(rèn)真審題，看清題設(shè)條件，結(jié)論. 學(xué)會(huì)全面辯證的思考問題，準(zhǔn)確記

4、憶有關(guān)概念性質(zhì).例2判斷下列命題是否正確(1)若zÎC, 則z2³0(2)若z1,z2ÎC,且z1-z2>0，則z1>z2 (3)若a>b，則a+i>b+i錯(cuò)解：(1)認(rèn)為任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方大于零可推廣到復(fù)數(shù)中，從而(1)是正確的(2)認(rèn)為兩實(shí)數(shù)之差大于零等價(jià)于前一個(gè)大于后一個(gè)實(shí)數(shù)，也可推到復(fù)(3)把不等式性質(zhì)錯(cuò)誤的推廣到復(fù)數(shù)中，忽略不等式是在實(shí)數(shù)中成立的前提條件.22正解：(1)錯(cuò)，反例設(shè)z=i則z=i=-1<0(2)錯(cuò)，反例設(shè)z1=2+i，z2=1+i，滿足z1-z2=1>0，但z1z2不能比較大小.(3)錯(cuò)，Qa>b

5、，a,bÎR，故a+i，b+i都是虛數(shù)，不能比較大小.a-a-6a+3例3實(shí)數(shù)a分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=+(a-2a-15)i是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù).解：實(shí)部a-a-6a+3=(a+2)(a-3)a+3，虛部a-2a-15=(a+3)(a-5).（1）當(dāng) 時(shí)，z是實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)（3） 當(dāng) ，且 或 時(shí)，z是虛數(shù)； 時(shí)是純虛數(shù) 例4 設(shè)z1=(m2-2m-3)+(m2-4m+3)i(mÎR),z2=5+3i，當(dāng)m取何值時(shí)，(1) z1=z2; (2)z1¹0.分析：復(fù)數(shù)相等的充要條件，提供了將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的依據(jù)，這是解復(fù)數(shù)問題常用的思想方法

6、，這個(gè)題就可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件來(lái)列出關(guān)于實(shí)數(shù) 的方程，求出 的值2ìïm-2m-3=5解：(1)由可得：í解之得m=4，2ïîm-4m+3=3 即：當(dāng)(2)當(dāng) 時(shí) 可得：或 ，即 時(shí)z1¹0.2例5z1,z2是兩個(gè)不為零的復(fù)數(shù)，它們?cè)趶?fù)平面上分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)P和Q，且4z12-2z1z2+z2=0，證明OPQ為直角三角形（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），并求兩銳角的度數(shù)2分析 本題起步的關(guān)鍵在于對(duì)條件4z12-2z1z2+z2等式左邊是關(guān)于z1,z2的二次=0的處理齊次式，可以看作二次方程求解，也可配方2解：由4z12-2z1z2+z2=0（，不為零）

7、，1±43i得 z1=2±23i8z2=z2 z1z21éæpöæpöù=êcosç±÷+isinç±÷ú2ëè3øè3øû即向量OP與向量OQ的夾角為p3，在圖中，ÐPOQ=p3，又|z1|=12|z2|，設(shè)|z1|=r,|z2|=2r，在OPQ中，由余弦定理OPQ為直角三角形，四、典型習(xí)題導(dǎo)練1. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系z(mì)+|z|=2+i，那么z等于（ ）A B C D

8、. 2.復(fù)數(shù)系方程(1+i)x2-(1-i)x-2-6i=0有實(shí)數(shù)根，則這個(gè)實(shí)數(shù)是_3. 實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限4.已知f(z)=+z-z且f(-z)=10+3i,求復(fù)數(shù)z 是(1)純虛數(shù)；(2)在復(fù)平面上5.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z=5且(3+4i)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限、四象限的角平分線上，2z-m=52(mÎR),求z和m的值§11.2 復(fù)數(shù)的運(yùn)算一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義(1)加法的幾何意義®®®復(fù)數(shù)z1+z2 是以oz1、oz2為兩鄰邊的平行四邊形對(duì)角線oz所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù)z1-z

9、2是連接向量OZ1、OZ2的終點(diǎn)，并指向被減數(shù)的向量z1z2所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).2. 重要結(jié)論（1） 對(duì)復(fù)數(shù)z 、z1、z2和自然數(shù)m、n，有zm·z1n=zm+n，(z)=z3mnmnn，(z1·z2)=z1·z2 nn(2) i=i，i=-1，i=-i，i=1；i4n+124=1，i4n+2=-1，i1-i1+i4n+3=-i，i4n=1. (3) (1±i)=±2i，-1+23i2=-i，1+i1-i=i. (4)設(shè)w=，w2=v，w2=w，1+w+w2=0，w3n=w3n，w+wnn+1+wn+2=0二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.對(duì)于z×z=

10、z2=z，是復(fù)數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算相互轉(zhuǎn)化的主要依據(jù)，也是把復(fù)數(shù)2看作整體進(jìn)行運(yùn)算的主要依據(jù)，在解題中加以認(rèn)識(shí)并逐漸體會(huì).2.在進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，不能把實(shí)數(shù)的某些法則和性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來(lái)，如下面的結(jié)論.當(dāng)zÎC時(shí)，不總是成立的.(1)(zm)n=zmn(m,n為分?jǐn)?shù)時(shí)不成立)；(2)zm=znÞm=n(z=1時(shí)不成立)；(3)z1+z2=0Ûz1=z2=0(z1,z2是虛數(shù)時(shí)不成立(4)z222)； =z(z為虛數(shù)時(shí)不成立2)； (5)z<aÛ-a<z<a(z為虛數(shù)時(shí)不成立三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 滿足條件z-2i+z+1=) 5的點(diǎn)的軌跡是

11、（ ）A.橢圓 B.直線 C.線段 D.圓錯(cuò)解：選A或B.錯(cuò)因：如果把z-2i看作動(dòng)點(diǎn)Z到定點(diǎn)（0，2）的距離，由上式表示到兩個(gè)定點(diǎn)（0，2）與（-1，0）的距離之和為常數(shù)5動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合橢圓的定義，但是，有一定的前提的就是兩點(diǎn)間的距離小于定常數(shù). 正解：Q點(diǎn)（0，2）與（-1，0）間的距離為5，動(dòng)點(diǎn)在兩定點(diǎn)（0，-2）與（-1，0）之間，選C評(píng)注：加強(qiáng)對(duì)概念的理解加深，認(rèn)真審題.例2 求值：(1+i)×(1-i)錯(cuò)解：原式=(1-i)(6n6-n. 3n1+i1-i)n=(-2i)×i=8in+1當(dāng)n=2時(shí)，原式=-8當(dāng)n=3時(shí)，原式=8錯(cuò)因：上面的解答錯(cuò)在沒有真正理解n

12、ÎZ的含義，只是用了三個(gè)特殊整數(shù)代替了所有整數(shù)，犯了用特殊代替一般的錯(cuò)誤.另外還可以看出對(duì)虛數(shù)單位i的整數(shù)冪的運(yùn)算不熟悉，沒有掌握虛數(shù)單位i整數(shù)冪的運(yùn)算結(jié)果的周期性.正解：原式=(1-i)6(=(-2i)3×in=8in+1 1+i1-i) n(n=4k+1),ì-8ï(n=4k+2),(k為非負(fù)整數(shù))ï-8i=í 8（n=4k+3）,ïï8i(n=4k).î評(píng)注：虛數(shù)單位i整數(shù)冪的值具有以4為周期的特點(diǎn)，根據(jù)n求in時(shí)，必須按被4整除余數(shù)為0、1、2、3四種情況進(jìn)行分類討論.例3已知z=-21+3i，求

13、1+z+z2L+z2000的值.分析：結(jié)論是等比數(shù)列的求和問題，所以應(yīng)聯(lián)想到求和公式Sn=將條件代入求和公式，則顯得較為麻煩，不妨先將條件化簡(jiǎn). z=-21+3i2001a1(1-q)1-qn，若直接=-2(1-43i)=-12+32i=w原式=1-z1-z=1-w3*6671-w=1-11-w=0評(píng)注：由于數(shù)列中的數(shù)可以是復(fù)數(shù)，所以數(shù)列的諸性質(zhì)在復(fù)數(shù)集中仍成立.例4已知復(fù)數(shù)w滿足w-4=(3-2w)i根的實(shí)系數(shù)一元二次方程.解法一： Qw(1+2i)=4+3i,52-i，z=(i為虛數(shù)單位）5w+|w-2|，求一個(gè)以z為w=4+3i1+2i=2-i， z=+|-i|=3+i.若實(shí)系數(shù)一元二次

14、方程有虛根z=3+i，則必有共軛虛根=3-i. Qz+=6,z×=10， 所求的一個(gè)一元二次方程可以是x2-6x+10=0. 解法二：設(shè)w=a+bi(a、bÎR)a+bi-4=3i-2ai+2b，得 íìa-4=2b,îb=3-2a, íìa=2,îb=-1,w=2-i，以下解法同解法一.例5設(shè)z是虛數(shù)，w=z+1z是實(shí)數(shù)，且-1<w<2.求zz的實(shí)部的取值范圍.解析 Qz是虛數(shù) 1z1x+yi 可設(shè)w=z+=(x+yi)+ =x+yi+x-yix+y22=(x+xx+y122)+(y-yx+y222)i Qw是實(shí)數(shù)，且y¹0, 1-x+y22=0,即x+y2=1 z=1, 此時(shí)w=2x由-1<w<2得-1<2x<2-12<x<1,即z的實(shí)部的范圍是(-12,1)四、典型習(xí)題導(dǎo)練1非空集合G關(guān)于運(yùn)算Å滿足：（1）對(duì)任意a,bÎG，都有aÅbÎG；（2）存在eÎG，使得對(duì)一切a&#