復化梯形公式和復化辛普森公式的精度比較

1、實驗四、復化梯形公式和復化Simpson公式的精度比較（2學時）一、實驗目的與要求1、熟悉復化Simpson公式和復化梯形公式的構(gòu)造原理；2、熟悉并掌握二者的余項表達式；3、分別求出準確值，復化梯形的近似值，復化Simpson的近似值，并比較后兩者的精度；4、從余項表達式，即誤差曲線，來觀察二者的精度，看哪個更接近于準確值。二、實驗內(nèi)容： 1sinxsinxdx。 對于函數(shù)f(x)=，試利用下表計算積分I=0xx表格如下：注：分別利用復化梯形公式和復化Simpson公式計算，比較哪個精度更好。其中：積分的準確值I=0.9460831。三、實驗步驟1、 熟悉理論知識，并編寫相應的程序；2、 上機

2、操作，從誤差圖形上觀察誤差，并與準確值相比較，看哪個精度更好；3、 得出結(jié)論，并整理實驗報告。四、實驗注意事項1、復化梯形公式，程序主體部分：for n=2:10T(n)=0.5*T(n-1)for i=1:2(n-2)T(n)=T(n)+(sin(2*i-1)/2(n-1)/(2*i-1)/2(n-1)/2(n-1)； endend2、復化Simpson公式，程序主體部分：for i=1:10n=2.ix=0:1/n:1f=sin(x)./xf(1)=1s=0for j=1:n/2s=s+f(2*j)endt=0for j=1:(n/2-1)t=t+f(2*j-1)endS(i)=1/3/n

3、*(f(1)+4*s+2*t+f(n+1)end五實驗內(nèi)容復化梯形公式和復化辛普森公式的引入復化梯形公式：hTn=f(xk+f(xk+1)；k=02n-1復化辛普森公式：hSn=f(xk+4f(x1)+f(xk+1)； k+k=062根據(jù)題意和復化梯形公式、復化辛普森公式的原理編輯程序求解代碼如下： Matlab代碼clcs=quad('sin(x)./x',0,1)p1=zeros(10,1);p2=zeros(10,1);for k=6:15s1=0;s2=0;x=linspace(0,1,k);y=sin(x)./x;z=(1/(2*(k-1):(1/(k-1):1;sz

4、=sin(z)./z;y(1)=1;for i=1:(k-1)s1=s1+0.5*(x(i+1)-x(i)*(y(i)+y(i+1);endfor j=1:(k-1)s2=s2+(1/6)*(x(j+1)-x(j)*(y(j)+y(j+1)+4*sz(j); endp1(k-5)=s1-s;p2(k-5)=s2-s;endp1;n-1p2;s1=s+p1(4)s2=s+p2(4)format longfor k=1:length(p1)p1(k)=abs(p1(k);p2(k)=abs(p2(k);endp1p2plot(6:1:15,p1,'-r')hold onplot(6

5、:1:15,10000*(p2),'-c') hold off部分程序結(jié)果輸出：s =0.946083070076534s1 =0.945690863582701s2 =0.946083085384947結(jié)果分析1根據(jù)結(jié)果輸出可知：積分I=sin(x)0.946083070076534； dx的準確值為：I= x0通過復化梯形公式和復化辛普森公式得到的積分值為：s1 =0.945690863582701:s2 =0.946083085384947;相對誤差為：S1-I=4.1510-4； IS-I2=2=1.6210-8； I1=顯然，從相對誤差可知通過辛普森公式得到的結(jié)果誤差小精度高。由于以上的算法只算了結(jié)點個數(shù)為9的情況，只能橫向比較兩公式的精確程度，而不能分別比較兩公式隨節(jié)點個數(shù)變化精度的變化，故而將以上程序重新編（以上程序為最終程序）可得出兩公式隨節(jié)點個數(shù)變化精度的變化情況所取得節(jié)點個數(shù)為從6到15，共計10種情況對應的誤差值如下表：（表1）注：由于辛普森公式的精度較高，所得的誤差值較小不宜比較，故而將辛普森公式計算出的誤差值乘上10000得到以上表1的結(jié)果，其相應的曲線圖如下（圖1）。（圖1:兩誤差曲線比較）備注：紅色，青色分別比奧