2.5特征值與特征向量1

1、鎮(zhèn)江實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高中數(shù)學(xué)教案 （選修4 - 2）【矩陣與變換】§ 2.5.1特征值與特征向量1教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能：1. 掌握二階矩陣特征值與特征向量的意義。2. 會求二階矩陣的特征值與特征向量（只要求特征值是兩個不同實(shí)數(shù)的情形）。2、過程與方法：通過實(shí)例了解矩陣變換在向量共線中的作用，進(jìn)而為引入特征值和特征向量的概念做好必要的鋪墊.3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：以已有知識為平臺，結(jié)合實(shí)例，創(chuàng)設(shè)良好情境，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，發(fā)揮學(xué)生的主動性.重點(diǎn)難點(diǎn)：1、教學(xué)重點(diǎn):會求二階矩陣的特征值與特征向量。2、教學(xué)難點(diǎn):二階矩陣特征值與特征向量的意義。教學(xué)方法：自主合作探究教具準(zhǔn)備：多媒體設(shè)備教

2、學(xué)過程：問題探究、引入概念【情境】已知j:，匸01、計(jì)算下列結(jié)果:1010以上的計(jì)算結(jié)果與 二a ,0的關(guān)系是怎樣的?0b2、計(jì)算下列結(jié)果：?。罔_ H 叫0=b 20一o 2b一以上的計(jì)算結(jié)果與 二a ,0的關(guān)系是怎樣的?0匕1矩陣M =011表示一個壓縮變換，它把下圖中的正方形ABCO沿x軸垂直壓縮為原來的一半向量I扁變換后分別與它們的原象共線合作學(xué)習(xí)、形成概念設(shè)矩陣A = |a b 1 上d 一，如果對于實(shí)數(shù)，存在一個非零向量二，使得A二=-，則稱，是矩陣A的一個特征值。:是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量。從幾何上看，特征向量的方向經(jīng)過變換矩陣A的作用后，保持在同條直線上。這時，特征向

3、量或者方向不變（，0）,或者方向相反(<0).特別地，當(dāng) =0時，特征向量被變換成了0向量設(shè)是矩陣A= a：eb的一個特征值，它的一個特征向量為dxax by = x滿足方程組_y-ex dy ='； y(' -a)x - by = 0故"丿 y ( *),此時 D =0、D =0,ex+(乙d)y = 0x y因-i，所以xy不全為，貝U D=,即-b-d設(shè)矩陣A ='a blle d 一, R,我們把行列式2f()=丸一（a+d）人+adbe稱為A的特征多項(xiàng)式。分析表明，如果是矩陣二的特征值，則f蘆円，此時，將代入方程 組卩，得到一組非零解l|X&#

4、176; 1 即 l|X° I為矩陣A的屬于&的一個特征向量y°W° 一【引例】求出矩陣 A=° I的特征值和特征向量。：° -1 一總結(jié)求二階矩陣特征值與特征向量的步驟，并思考能否從幾何變換的角度直接觀察出矩陣 A的特征向量？【定理1】如果：是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量，則對任意的非零常數(shù)t，t:也是矩陣A的屬于特征值的特征向量。其幾何意義是：屬于矩陣的同一個特征值的特征向量共線【思考】屬于矩陣的不同特征值的特征向量有何關(guān)系？【定理2】屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線。學(xué)以致用、深化概念【例1】求投影變換矩陣M=_°