高斯分布及截斷和抽樣

1、第 9卷第 3期強 激 光 與 粒 子 束 V o l . 9, N o . 3 1997年 8月 H IGH POW ER LA SER AND PA R T I CL E BEAM S A ug . , 1997高斯分布及截斷和抽樣施將君李獻(xiàn)文劉軍 (中國工程物理研究院流體物理研究所 , 成都 523信箱 55號 , 610003摘要 詳細(xì)推論了高斯分布的軸對稱電子束的截斷方法和確定截斷因子的表達(dá)式 。 結(jié)果表明在截斷因子為 0. 9時 , 電子束發(fā)射度等于均方根發(fā)射度的二倍 , 而當(dāng)電子束發(fā)射度等于均方根發(fā)射度時 , 截斷因子僅為 0. 59。 給出了四維坐標(biāo)變量的幾率密度函數(shù)公式 ,

2、并簡述了相應(yīng)的抽樣方法 。關(guān)鍵詞 四維高斯分布截斷因子樣本電子坐標(biāo)的抽樣 ABSTRACT T he cu t m ethod fo r Gu ssian beam having ax isymm etry is discu ssed in detailand the exp ressi on fo r the cu t facto r is defined in th is paper . It is show n that w hen the facto ris equal to 0. 9, the cu t 2beam em ittance is tw ice as large as i

3、ts roo t 2m ean 2square (rm s em it 2tance and the facto r is on ly equal to 0. 59if the cu t 2beam em ittance is equal to its rm s em it 2tance . T he p robab ility functi on fo r the fou r 2di m en si onal new variab les are derived and thesamp le p rocedu res fo r them are si m p ly described as

4、w ell. KEY WOR D S AD Gau ssian distribu ti on , cu t facto r , samp le fo r electron coo rdinates inphase space在電子束物理中討論電子束傳輸時 , 電子在橫向四維空間 (x , y , x , y 的分布是很重要 的 。 而高斯分布又是最接近于實際束的分布 , 因此對四維橫向空間的高斯分布進(jìn)行深入分析 和研究是十分必要而且具有廣泛的實用意義的 。 由于高斯分布是無界分布 , 而在測量電子束 的橫向物理性質(zhì) (例如束半徑的測量和束發(fā)射度的確定 時作了有界處理 。 那么 , 在所測定的

5、半徑和發(fā)射度中束電流的截止份額為多少 , 是人們十分關(guān)心的 。 另一方面 , 在確定束電子的 四維坐標(biāo)值時需要從橫向四維分布對相應(yīng)的四個坐標(biāo)值進(jìn)行隨機抽樣 (M on te 2Carlo 方法 。 例如 , 在高能閃光照相中 , 討論電子束與高 Z 軔致輻射靶相互作用而產(chǎn)生高強度 X 射線時 , 就必須進(jìn)行這種抽樣 ; 但是 , 不同截斷程度得到的坐標(biāo)抽樣值是不同的 。 對于軸對稱的電子 束 , 在任何截斷程度下電子束截面是圓形的 。 從電子束相橢圓面積可確定高斯分布束截斷后 的發(fā)射度以及相應(yīng)的電流 。迄今為止 , 在討論截斷份額 (或截斷因子 時 , 多數(shù)作者僅僅使用了二維截斷而沒有考慮 另

6、外二維的截斷情況 。 例如 , 在關(guān)心束空間截面時 , 主觀地將電子束分布的積分分成 (x , y 平面上的積分和在 (x , y 平面上的積分 , 并認(rèn)為在 (x , y 上的積分是歸一的 。 當(dāng) x , y 均在 2(為高斯分布的空間標(biāo)準(zhǔn)均方差 截斷時 , 所得到的截斷因子的值為 86. 5%(近似為 0. 9 1, 2, 并把 2稱為 0. 9I 0的截斷半徑 。這些近似處理是與電子束的軸對稱假定不一致的 , 他們將四個橫向變量分開各自積分 , 這實際上是把電子束看成四維 “超立方” 體 , 而不是四維的超橢球 , 因為他們忽視在相等的分 布函數(shù)情況下各積分限之間的互相制約性 。 在電子

7、樣本的坐標(biāo)值抽樣中 , 也存在著這種單獨 1997年 1月 14日收到原稿 , 1997年 7月 7日收到修改稿 。 施將君 , 男 , 1942年 8月出生 ,副研究員© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 截斷與耦合截斷的不同處理 , 這反映了對四個坐標(biāo)變量是獨立抽樣還是相關(guān)抽樣的問題 。 本文利用四維情況下的坐標(biāo)變換法 , 把四維 “直角” 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成四維超球坐標(biāo)系 。 高斯 分布用四個超球坐標(biāo)變量表示時 , 它們的積分限不再相互關(guān)聯(lián) , 而對原坐標(biāo)系中坐標(biāo)變量的 截斷

8、僅僅轉(zhuǎn)化為新坐標(biāo)系中的徑向坐標(biāo)變量的截斷 。 這樣一來 , 不僅解決了求截斷因子時所 存的上述問題 , 也使抽樣過程大大簡化 。1四維高斯分布及其在超球坐標(biāo)系中的形式在電子束包絡(luò)的腰部或腹部 , 電子橫向四維分布的歸一函數(shù)為f 4(x , y , x , y =422 2exp (-2222- 222 2 (1其中 (x , y 為電子的橫向空間坐標(biāo) , 而 (x , y 是電子的橫向角發(fā)散 , (它們等效于橫向速度 , 與 分別是軸對稱束空間坐標(biāo)和角發(fā)散的標(biāo)準(zhǔn)均方差 。 分布函數(shù) f 4在四維空間的積分等于 1。 值得注意的是在四重積分中 , 各積分變量的積分限是相互關(guān)聯(lián)的 。 顯然 , 該

9、分布仍滿足歸 一條件 ?，F(xiàn)在引入四維超球坐標(biāo) (, , , , 為徑向坐標(biāo)變量 、 為方位角變量 , 而 與 為相互獨立的二個極角變量 。 并且 , 有x =sin sin sin y =sin sin co s ; , x = sin co s y = co s (2其中 的積分限為 (0, ; 與 的積分限為 (0, ; 的積分限為 (0, 2 。 新變量的積分限是相互獨立的 , 于是可求得f 4(x , y , x , y d x d y d x d y =g 1( d g 2( d g 3( d g 4( d (3其中 , g i 為相應(yīng)坐標(biāo)變量在各自定義域內(nèi)的歸一函數(shù)g 1( =23

10、e -2 2; g 2( =sin 2; g 3( =2sin ; g 4( =2(4可以求出 x , y , x , y 在新的球極坐標(biāo)系中的均方值為 x 2 = y 2 =2, x 2 = y 2 = 2。2截斷因子根據(jù)公式 (2 不難看出 x , y , x , y 的截止值與變量 的截止值相對應(yīng) 。 令 的截止值為cut , 它是各個原坐標(biāo)變量的截止程度 。 相應(yīng)的截斷因子 f cut :為 f cut = cut 0g 1( d = cut 023e -2 2d =1-(1+22 e -2out 2(5當(dāng) cut 取 為 1,2, 2, 22, 3時 , 截 斷 因 子 f cut

11、相 應(yīng) 為 0. 090, 0. 064, 0. 594, 0. 908, 01939。 從 cut 與 f cut 取值關(guān)系可以看出 , 當(dāng) x , y 在 2處截斷而 x , y 在 2 處截斷 (相當(dāng)于 在 2處截斷 時 , 截斷因子僅為 0. 59, 遠(yuǎn)小于其它文獻(xiàn)所給的 0. 865或 0. 911。 同時可以看出 , 為了在 采用截斷之后可以得到約 0. 9的截斷因子 , 必須使 x cut =y cut =22以及 x cut =y cut =22。 與這一截斷相對應(yīng) , 含 90%電子束的發(fā)射度 0. 9=x cut x cut =8 =2r m s 。也就是說 , 0. 9為

12、均 方根發(fā)射度值的二倍 。073強 激 光 與 粒 子 束 第 9卷 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 3樣本的相空間坐標(biāo)變量值的抽樣設(shè)電子束可用 N 0個電子樣本來描述 , 這 N 0個電子服從四維高斯分布 , 即由方程 (1 所描 述的分布 。 那么每個樣本電子的四維坐標(biāo)可以按照方程 (4 歸一分布 (或幾率密度函數(shù) 抽樣求 出 , 它們都滿足歸一條件 , 即 0g 1( d =1; 0g 2( d =1; 0g 3( d =1; 20g 4( d =1(6 其中 ,

13、 坐標(biāo) 與 可以使用直接抽樣法 3求出它們的抽樣值 s =2R 1; co s s =1-2R 2。 R 1與 R 2為在 (0, 1 區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機抽樣值 。另二個坐標(biāo) 與 的分布函數(shù)不宜用直接抽樣法 , 而可采用舍選抽樣法 3來給出它們的 抽樣值 s 與 s 。 于是電子坐標(biāo) x , y , x , y 的抽樣值可如下給出x s =s sin s sin s sin s y s =s sin s sin s co s s ; ,x s =s sin s co s sy s =s cos s(74結(jié)語綜上所述 , 本文的重要結(jié)果是從理論上推導(dǎo)出對在四維橫向相空間中按高斯分布的電子 束作

14、有界處理時的截斷因子 , 即公式 (5 。 此式表明 , 當(dāng)截斷邊發(fā)射度等于均方根發(fā)射度時的 截斷因子僅為 0. 594; 也就是說 , 所關(guān)心的束電流僅僅為總電流的 59. 4%。 如果要使所關(guān)心的 束電流為總電流的 90%, 那么電子束的截斷邊發(fā)射度應(yīng)該二倍于均方根發(fā)射度 ; 這樣所求得 的束亮度僅為諸多文獻(xiàn)所給值的四分之一 。參考文獻(xiàn)1 W arner D J . A ccelerater R esearch and D evelopm ent w ith CERN 3M eV L inac . P roc . 1972P ro ton L inear A ccel . Conf . 1

15、972, p 332施將君 . 電子束亮度及多空板法測量發(fā)射度的原理 . 強激光與粒子束 , 1989, 1(4 .3杜書華等 . 輸運問題的計算機模擬 , 長沙 :湖南科學(xué)技術(shù)出版社 , 1989. 491CUT M ETHOD AND SAM PL E PROCED URE FOR GAUSSI AN BEAMSh i J iangjun , L i X ianw en , L iu JunInstitu te of F lu id P hy sics , CA E P , P . O . B ox 523-25, Cheng d u , 610003 T he Gau ssian bea

16、m is an unbounded beam . In o rder to determ ine the tran sverse character , fo r examp le , radiu s and em ittance of the beam , the variab le regi on fo r the phase coo rdinates of electron m u st be cu t to som e ex ten t . In the case of u sing differen t cu t ex ten t , the cu t 2beam em ittanc

17、e is differen t . T he in tegral upper li m its of the fou r phase 2space varib les are no t independen t , so it is difficu lt to evalu 2 ate the cu t facto r analytically . H ere , the facto r is defined as the rati o of cu rren t of cu t 2beam to to tal one . How ever , if the fou r phase variab

18、les (x , y , x , y are tran sfered to (, , , the fou r 2di m en sonal super 2 spherical coo rdinates system , the facto r w ill easily be found . T he p robab ility functi on s of the new cu t 2beam are ju st g 1( , g 2( , g 3( , g 4( given in eq . (4 , and the cu t 2beam em ittance n =2cut . It is show n that , w hen the facto r f cut is equal to 0. 9, the cu t 2beam em ittance is no t r m s bu t 2r m s and the facto r f cut is on ly equal to 0. 59if the cu t 2beam em ittance is r m s . Becau se the in tegral up