【KS5U解析】江蘇省揚(yáng)州市2020屆高三下學(xué)期5月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、江蘇省揚(yáng)州市20192020學(xué)年度第二學(xué)期調(diào)研5月測(cè)試高三數(shù)學(xué)試題第卷（必做題，共160分）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上.）1.已知集合，則_.【答案】【解析】【分析】利用集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】由集合，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交概念以及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的模為_.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可求解.【詳解】，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.3.已知某校高一、高二、高三年級(jí)分別有1000、80

2、0、600名學(xué)生，現(xiàn)計(jì)劃用分層抽樣的方法抽取120名學(xué)生去參加社會(huì)實(shí)踐，則在高三年級(jí)需抽取_名學(xué)生.【答案】30【解析】【分析】首先算出高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)在總學(xué)生人數(shù)中占的比例，然后將比例與抽取的學(xué)生人數(shù)相乘即可求解.【詳解】高三年級(jí)在總學(xué)生人數(shù)中占的比例：，所以高三年級(jí)需抽取人數(shù)為：.故答案為：30【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的特征，掌握分層抽樣的概念以及特征是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4.如圖偽代碼的輸出結(jié)果為_.【答案】15【解析】【分析】分析程序語言，得出該程序運(yùn)行后是計(jì)算并輸出的值，寫出運(yùn)行結(jié)果即可.【詳解】該程序運(yùn)行后是計(jì)算并輸出：.故答案為：15【點(diǎn)睛】本題考查了程序語言的問題，考查了

3、學(xué)生的推理能力，難度較小，屬于基礎(chǔ)題.5.若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為_.【答案】-1【解析】【分析】作出約束條件的可行域，令，平移直線，轉(zhuǎn)化為截距的最大值即可求解.【詳解】作出約束條件的可行域，如圖（陰影部分）：令，轉(zhuǎn)化為截距的最大值作出直線，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大， 解得，即，所以.故答案為：-1【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，解題的關(guān)鍵是作出可行域、理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.6.已知，則直線不經(jīng)過第二象限的概率為_.【答案】【解析】【分析】包含的基本事件總數(shù)，直線不經(jīng)過第二象限，從而，由此利用列舉法能求出直線不經(jīng)過第二象限的概率.【

4、詳解】直線：，若，包含的基本事件總數(shù)，直線不經(jīng)過第二象限，滿足直線不經(jīng)過第二象限的有：，共種情況.直線不經(jīng)過第二象限的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率計(jì)算公式，列舉法求基本事件個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.7.已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的虛軸長為_.【答案】【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)，從而求出，進(jìn)而求出虛軸長即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，需掌握雙曲線的虛軸以及雙曲線、拋物線的焦點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.8.已知為銳角，且，則_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的

5、基本關(guān)系可得，由，利用兩角差的余弦公式展開即可求解.【詳解】由為銳角，且，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了兩角差的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.9.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且與的等差中項(xiàng)為2，則_.【答案】121【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，解得，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由題意， ，且與的等差中項(xiàng)為2，設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得，所以.故答案為：121【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.10.正四棱柱中，為上底面的中心，設(shè)正四棱柱與正四棱錐的側(cè)面積分別為、，則_.【

6、答案】【解析】【分析】由題意畫出圖形，求出正四棱錐的斜高，再分別求出正四棱柱與正四棱錐的側(cè)面積即可求解.【詳解】如圖，正四棱柱中，則正四棱柱的側(cè)面積為：，正四棱錐的斜高為，正四棱錐的側(cè)面積分別為： .故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了多面體側(cè)面積的求法，涉及正四棱柱和正四棱錐的性質(zhì)特征，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.11.已知曲線：，直線：，則“”是“直線與曲線相切”的_條件（選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”之一）.【答案】充分不必要【解析】【分析】由已知可得，曲線與直線均過點(diǎn)，若直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，寫出過切點(diǎn)的切線方程，利用待定系數(shù)法明確的取值，再結(jié)合充分必要

7、性作出判斷【詳解】，直線：過點(diǎn)，曲線也過點(diǎn)，若直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則切線為，則，解得或，所以“”是“直線與曲線相切”的充分不必要條件，故答案為：充分不必要【點(diǎn)睛】本題考查了充要條件的判斷，涉及直線與三次函數(shù)相切問題，考查了計(jì)算能力與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.12.已知，則的最小值為_.【答案】【解析】【分析】由，兩次利用基本不等式即可求解.【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式求最值，注意等號(hào)成立的條件，屬于中檔題.13.已知點(diǎn)為圓：的弦的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則的最小值為_.【答案】-1【解析】【分析】設(shè)，利用向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)的軌跡方程為，由，

8、根據(jù)點(diǎn)的軌跡方程即可求解.詳解】設(shè)， ，即， .則的最小值為-1.故答案為：-1【點(diǎn)睛】本題考查了向量的三角形法則、向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題.14.數(shù)列中，設(shè)的前項(xiàng)和為，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】，可得: ，可得，又，可得， 由恒成立，只需即可，通過作差可得其單調(diào)性，即可得出最大值.【詳解】由，可得: ，所以，又所以，所以， 由恒成立，即恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，可得，且，所以，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的恒成立問題、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，數(shù)列的單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，

9、屬于難題.二、解答題（本大題共6小題，共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.在中，已知，其中為的面積，分別為角，的對(duì)邊.（1）求角的值；（2）若，求的值.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的面積公式化簡(jiǎn)可得，從而可得，即可求得的值.（2）利用兩角和的正切公式可得，再有，求出，再利用二倍角公式，利用弦化切齊次式即可求解.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，則，因?yàn)樵谥?，所以，所以，所?（2）由（1）知，又因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谥?，所以，所?【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式、兩角和的正切公式、二倍角公式以及齊次式求三角函數(shù)值，屬于基

10、礎(chǔ)題.16.如圖，三棱柱中，為四邊形對(duì)角線交點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，且平面.（1）證明：平面；（2）證明：四邊形為矩形.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，由題意且，證出，且，進(jìn)而可得，利用線面平行的判定定理即可證出.（2）首先證出，利用線面垂直的性質(zhì)定理證出，再利用線面垂直的判定定理證出平面，從而可證出，根據(jù)，即證.【詳解】證明：（1）取中點(diǎn)，連結(jié).在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，且因?yàn)闉槠叫兴倪呅螌?duì)角線的交點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，且.又，所以，且又為中點(diǎn)，所以，且，所以為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面：?）因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?/p>

11、，所以.因?yàn)?，平面，平面，所以平?又平面，所以，又由（1）知，所以，在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，所以四邊形為矩形.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理，屬于基礎(chǔ)題.17.某廠根據(jù)市場(chǎng)需求開發(fā)三角花籃支架（如圖），上面為花籃，支架由三根細(xì)鋼管組成，考慮到鋼管的受力和花籃質(zhì)量等因素，設(shè)計(jì)支架應(yīng)滿足：三根細(xì)鋼管長均為1米（粗細(xì)忽略不計(jì)），且與地面所成的角均為；架面與架底平行，且架面三角形與架底三角形均為等邊三角形；三根細(xì)鋼管相交處的節(jié)點(diǎn)分三根細(xì)鋼管上、下兩段之比均為.定義：架面與架底的距離為“支架高度”，架底三角形的面積與“支架高度”的乘積為“支架需要空間”.（

12、1）當(dāng)時(shí)，求“支架高度”；（2）求“支架需要空間”的最大值.【答案】（1）米.（2）立方米.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意與地面所成的角為，米，從而.（2）過作平面，垂足為，且，表示出，進(jìn)而，令，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】解：（1）因?yàn)榧苊媾c架底平行，且與地面所成的角為，米，所以“支架高度”（米）.（2）過作平面，垂足為.又平面，所以，又與地面所成的角為，所以，同理，所以為等邊三角形外心，也為其重心，所以，記“支架需要空間”為，則，.令，則.所以，.又，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，（立方米）.答：（1）當(dāng)時(shí)，“支架高度”為米；（2）“支架需要空間”的最大值為立方米.【點(diǎn)睛】本題

13、考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是列出函數(shù)表達(dá)式，考查了分析解題的能力，屬于中檔題.18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：過點(diǎn)，且橢圓的離心率為，直線：與橢圓相交于、兩點(diǎn)，線段的中垂線交橢圓于、兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求線段長的最大值；（3）求的值.【答案】（1）（2）（3）0【解析】【分析】（1）由離心率，解得，再將點(diǎn)代入橢圓方程，可得，解出、即可求解. （2）設(shè)，將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出的中點(diǎn)，求出直線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式即可求解.（3）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合（2），利用韋達(dá)定理即可求解.【詳解】解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，

14、則，可知.又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，由得，又直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，所以，且，則.設(shè)的中點(diǎn)，則，所以的中垂線的方程為，即直線的方程為，由得，則，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，.（3）由（2）知，由（2）知，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長公式以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題.19.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)吋，解不等式；（2）設(shè).當(dāng)時(shí)，若存在，使得，證明：；當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）（2）見解析見解析【解析】【分析】（1）將代入，不妨設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)遞增，由，即可求解.（2）由，代入解

15、析式整理可得，由，利用基本不等式可得，方法一：設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)即可證出；方法二：利用反證法，假設(shè)，找出，與已知矛盾即可. ，求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及最值，且，討論、或即可得出零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】解：（1）設(shè)，則，所以在上遞增，又，所以，所以的解集為.（2）證明：由得，即，又，所以，因?yàn)?，所以“”不成?思路一：設(shè)，則，所以在單調(diào)遞減，又，所以，即.思路二：假設(shè)，則，所以，這與矛盾，故.，當(dāng)時(shí)，令得（負(fù)值舍去）.所以當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù).又.當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，由可知，又，且，所以，在有一個(gè)零點(diǎn)，故此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，由可知，令，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞

16、減，所以，故，則.所以，所以，且，所以，在有一個(gè)零點(diǎn)，故此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)零點(diǎn)中的應(yīng)用，考查了分類討論的思想，屬于難題.20.對(duì)數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，規(guī)定為的二階差分?jǐn)?shù)列，其中.（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式，試判斷，是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由？（2）數(shù)列是公比為正項(xiàng)等比數(shù)列，且，對(duì)于任意的，都存在，使得，求所有可能的取值構(gòu)成的集合；（3）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，對(duì)滿足，的任意正整數(shù)、，都有，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1），是等差數(shù)列，見解析（2）；（3）2【解析

17、】【分析】（1）根據(jù)題干中的定義，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可判斷.（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，結(jié)合題干可得，從而可得，且；分類討論、或即可求出. （3）根據(jù)題中對(duì)數(shù)列的定義可得，從而可得，即是等差數(shù)列，根據(jù)數(shù)列為正項(xiàng)等差數(shù)列可得，代入等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，由，可得，當(dāng)時(shí)，不等式都成立；當(dāng)時(shí)，令，代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，作差，由，即可求解.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，則，又，所以是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列.因?yàn)?，則是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列.（2）因?yàn)閿?shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，所以.又，且對(duì)任意的，都存在，使得，所以對(duì)任意的，都存在，使得，即，因?yàn)?，所? 若，則，解得（舍）或，即

18、當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有. 若，則，解得（舍）或，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有.若，則，故對(duì)任意的，不存在，使得.綜上所述，所有可能的取值構(gòu)成的集合為；（3）因?yàn)?，所以，則，所以是等差數(shù)列.設(shè)的公差為，則.若，則；若，則當(dāng)時(shí)，與數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)矛盾，故.由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，所以，又，所以，則當(dāng)時(shí)，不等式都成立.另一方面，當(dāng)時(shí)，令，則，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即.不滿足任意性.所以 .綜上，的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的新定義、等差數(shù)列的定義以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于難題.第卷（附加題，共40分）21.已知矩陣，且.（1）求矩陣；（2）直線在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€，求直線的方程.【答

19、案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)或公式即可求解.（2）設(shè)直線上任一點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)椋胫本€即可求解.【詳解】解：（1）用待定系數(shù)或公式，解得，可求得；（2）設(shè)直線上任一點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)?，即在上，則，即，所以直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了矩陣的變換，需掌握矩陣的運(yùn)算公式，屬于基礎(chǔ)題.22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線：，求直線被曲線截得的弦長.【答案】【解析】【分析】將直線的參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程，將圓的極坐標(biāo)方程化為普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，然后根據(jù)勾股定理即可求解.【詳解】解：把直線方程：化為普通方程為.圓，即，化為普通方程為，即，圓心到直線的距離.所以直線被圓截得的弦長為.【點(diǎn)睛】本題考查了直線參數(shù)方程化為普通方程、曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程，直線與圓相交幾何法求弦長，屬于基礎(chǔ)題.23.某商場(chǎng)舉行元旦促銷回饋活動(dòng)，凡購物滿1000元，即可參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的口袋中裝有編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個(gè)小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），編號(hào)依次作為一個(gè)三位數(shù)的個(gè)位、十位、百位，若三位數(shù)是奇數(shù)