高考的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題常見(jiàn)題型總結(jié)材料

1、高考有關(guān)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題解題方法總結(jié)、考試內(nèi)容 導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù);函數(shù)的最大值和最小值。兩個(gè)函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,、熱點(diǎn)題型分析 題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。1 . f(x)x 3X 2在區(qū)間1,1上的最大值是22 .已知函數(shù)y f(x) x(x c)在x 2處有極大值，則常數(shù) c=6“ c 33 .函數(shù)y 1 3x x有極小值1，極大值 3題型二：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程.31 31 .曲線y 4x x在點(diǎn)處的切線方程是第8頁(yè)共12頁(yè)2 .若曲線f(x) x4 x在p點(diǎn)處的切線平行于直線3x y 0，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1

2、, o)43 .若曲線y x的一條切線1與直線x 4y0垂直，則1的方程為竺(2)曲線y廠過(guò)點(diǎn)P(3,5)的切線;解：(1) 點(diǎn) P( 1,1)在曲線 y x3 x2 1上,y/23x2 2x ky/ |x -1 3- 21所以切線方程為y 1 x1，即x y 2(2 )顯然點(diǎn)P(3,5)不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為A(X0,y°)，則y02X。又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y/ 2x所以過(guò)A(x0,y0)點(diǎn)的切線的斜率為y/ lx x°2x0,又切線過(guò)2x0A(x0,y0)、p©,5)點(diǎn)，所以有y0 5X03X01 或 X05，由聯(lián)立方程組得,y0 1y0 25，即切點(diǎn)為(1 ,

3、 1 )時(shí)，切線斜率為k1 2X0 2當(dāng)切點(diǎn)為(5 , 25 )時(shí)，切線斜率為k2 2x0 10 ;所以所求的切線有兩條，方程分別為y 12(x 1)或y 2510(x 5),即y 2x 1 或y 10x 25題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值1 .已知函數(shù)f(X)2ax bx c,過(guò)曲線yf(x)上的點(diǎn)P(1, f (1)的切線方程為y=3x+1(I)若函數(shù)f(x)在x2處有極值，求f(x)的表達(dá)式；(n)在(i)的條件下，求函數(shù) y f(x)在3, 1上的最大值；(川)若函數(shù)y f(x)在區(qū)間2, 1上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) b的取值范圍 解.(1 )由 f (x) x3 ax2 bx

4、 c,求導(dǎo)數(shù)得 f (x) 3x2 2ax b.過(guò)yf(x)上點(diǎn)P(1，f(1)的切線方程為:y f(1)f (1)(x1),即 y (a b c 1)(3 2a b)(x 1).而過(guò)yf(x)上 P1, f的切線方程為y 3x 1.3 2a b 3故a c 3即 2a b 0a c 34a b3x22ax由得a=2 , b= 4, c=5.f(x) x3 2x2 4x 5.2(2) f (x) 3x 4x 4(3x2)(x2).3 x2 時(shí)，f(x) 0;當(dāng) 2當(dāng)2x -時(shí)，f (x) 0；32當(dāng) 3 x 1 時(shí),f (x) 0. f (x)極大又f(1)4, f(x)在3 , 1上最大值是

5、13。yf (x)在x2時(shí)有極值，故f ( 2)0,12(3) y=f(x)在2 , 1上單調(diào)遞增，又f (x)b,由知2a+b=0依題意 f (x)在2, 1上恒有 f (x) >0，即 3x2 bx b 0-bx 當(dāng)62時(shí),f (x)minf ( 2)12 2b b °, b2 61 時(shí),f (x)min212b b °,則 0 b 6.當(dāng)b12時(shí)1b 一 6X綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是【°，)322 .已知三次函數(shù)f(x)x ax bx c在x 1和x 1時(shí)取極值，且f( 2)當(dāng)x 1時(shí)，f (x)° .函數(shù)f(x)在區(qū)間(，1上是增函數(shù)；

6、在區(qū)間hl上是減函數(shù)；在區(qū)間1，)上是增函數(shù).函數(shù)f(x)的極大值是f( 1)°，極小值是f(1)4.(3) 函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移 m個(gè)單位，向上平移 4m個(gè)單位得到的,所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間3，n m上的值域?yàn)? 4m，16 4m ( m °).而 f( 3)20. 4 4m 2° 即 m 4 .(1) 求函數(shù)y f(x)的表達(dá)式；(2) 求函數(shù)y f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；若函數(shù)g(x) f(x m) 4m(m °)在區(qū)間m 再由 f( 2)4 可得 c 2 .f(x) x 3x 2.(2) f (x) 3x23 3(x 1

7、)(x 1)當(dāng) x1 時(shí)，f (x) ° ；當(dāng) x 1 時(shí)，f (x) ° ；當(dāng) 1 x 1 時(shí)，f (x) ° ；當(dāng) x 1 時(shí)，f (x) ° ；，n上的值域?yàn)?,16，試求m、n應(yīng)滿足的條件.解: (1)2(x) 3x 2ax b2由題意得，X 1是3x2ax b °的兩個(gè)根，解得，a °，b 3于是，函數(shù)f(X)在區(qū)間3,n 4上的值域?yàn)?0,°.令f(x) 0得X 1或x 2 .由f(x)的單調(diào)性知，1剟n 4 2，即3剟n 6綜上所述，m、n應(yīng)滿足的條件是：m 4，且3剟n 6 .3.設(shè)函數(shù) f(x) x(x a

8、)(x b).(1 )若f(x)的圖象與直線5x y 8 0相切，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,且f(x)在x 1處取極值,求實(shí)數(shù)a, b的值;(2)當(dāng)b=1時(shí)，試證明：不論 a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)f (x)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).解: (1) f (x)23x 2(a b)x ab.由題意f5, f (1) 0，代入上式，解之得：a=1 , b=1 .(2)當(dāng) b=1 時(shí)，令f (x) 0得方程 3x2 2(a 1)x a 0.24( a a 1)0,故方程有兩個(gè)不同實(shí)根x1, x2.不妨設(shè)x1X2，由f (x) 3(x x1)(X X2)可判斷f (x)的符號(hào)如下：當(dāng) X X1 時(shí)，f (x) >0；當(dāng)

9、X1 X X2時(shí)，f (x) V0；當(dāng) X X2時(shí)，f (x) >0因此X1是極大值點(diǎn)，X2是極小值點(diǎn).，當(dāng)b=1時(shí)，不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)。題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象(A)(B)(C)(D)y 1x3 4x伯勺圖像為2 .函數(shù) 3( A )f(x)1 設(shè)函數(shù)1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值.(2)若當(dāng)x a1,a2時(shí)，恒有 1 f (x)| a，試確定a的取值范圍.f (x)x24ax3a2(x 3a)(xa)，令f (x)0得 x1a,X23a3 方程2x3 6x2 7 0在(0,2)內(nèi)根的個(gè)數(shù)為B、 1題型五：利用單調(diào)性、極值、最值情況，求參數(shù)

10、取值范圍1 3 2 2x 2ax 3a x b,0 a3列表如下:(a.3a)3a(3a , + g)f (x)f(x)極小極大f(x)在(a, 3a)上單調(diào)遞增，在(-g,玄)和(3a , + I 上單調(diào)遞減x a 時(shí)，f極小(x) b P3, x3a時(shí)，f極小(x)(2) f(x)x2 4ax 3a2.°a 1，對(duì)稱(chēng)軸2a a 1f (x)在a+1 , a+2上單調(diào)遞減2Max (a 1) 4a(a1)3a22a 1fmin2 2(a 2) 4a(a 2) 3a4a 4依題1 f (x)11 fmin 1 a 即 | 2a1| a,| 4a 41 a4a解得51，又°

11、a-,1)a的取值范圍是 522 .已知函數(shù)a、b的值與f( x )= x3 + ax2 + bx + c在x = 3與x = 1時(shí)都取得極值(1 )求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間(2)若對(duì)x 1 , 2，不等式f (x) c2恒成立，求c的取值范圍。解：(1) f (x)=x3 + ax2 + bx + c, f (x)= 3x2 + 2ax + b2咚-爲(wèi)+ b = 0丄由 f (3)= 93, f ( 1)= 3 + 2a + b = ° 得 a =2 , b = 2f (x)= 3x2 x 2 =( 3x + 2) (x 1),函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間如下表:x2(,3)232(

12、3 , 1)1(1, + )f (x)+0一0+f ( x)極大值極小值2 2所以函數(shù)f (x)的遞增區(qū)間是(一 ，一3 )與(1 , +),遞減區(qū)間是(一 3 ,1 )1 2 22(2) f (x)= x3 2 x2 2x + c , x 1 , 2，當(dāng) x = 3 時(shí)，f (x) = 27 + c為極大值，而f (2 )= 2+ c,貝U f (2)= 2 + c為最大值。要使 f (x) c2 (x 1 , 2恒成立，只需 c2 f ( 2) = 2 + c,解得 c 1 或 c 2題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根v*1 .已知平面向量 a=(1).1vb=( 2可.vvv v v v v

13、uv(1)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k 和 t,使 x = a +化2 3)b, y=_k a+t b, x丄 y,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t); 據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t) k=0的解的情況.v uv v vvv v v解: (1) /X 丄 y , x y =0 即a+(t2-3) b (-k a+t b)=0.v2v vv2整理后得-k a +t-k(t2-3)a b+ (t2-3) b =01 v v v2 v2.a b=0 , a =4 , b =1 ,.上式化為-4k+t(t2-3)=0 ，即 k= 4 t(t2-3)1f(t)=4 t(t2-3)與直線y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)1討

14、論方程4t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線于是f'(t)=4 (t2-1)=4 (t+1)(t-1).令f'(t)=O,解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時(shí)，f '、f(t)的變化情況如下表:t(-m,-1)-1(-1,1)1(1,+ m)f'(t)+0-0+F(t)/極大值極小值/丄 當(dāng)t= 1時(shí)，f(t)有極大值，f(t)極大值=2 .丄 當(dāng)t=1時(shí)，f(t)有極小值，f(t)極小值=21函數(shù)f(t)= 4 t(t2-3)的圖象如圖13 2 1所示,可觀察出：1 1(1)當(dāng)k > 2或k v 2時(shí)，方程f(t) k=0有且只有一解;1 1當(dāng)

15、k= 2或k= 2時(shí)，方程f(t) k=0有兩解；1 1(3)當(dāng)2 v k v 2時(shí)方程f(t) k=0有三解.題型七：導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合1設(shè)a 0,函數(shù)f(x) x3 ax在1，)上是單調(diào)函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2 )設(shè) X。>1 , f(x) >1，且 fES xo，求證：f(Xo) Xo.22解: (1) y f (x) 3x a,若f(x)在1上是單調(diào)遞減函數(shù)，貝y須y °,即a 3x ,這樣的實(shí)數(shù)a不存在故f(X)在1, 上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).2若f(x)在1，上是單調(diào)遞增函數(shù)，則 a <3x ,2由于x %，故3x3 .從而0<a &l

16、t;3.(2 )方法1、可知f(x)在1, 上只能為單調(diào)增函數(shù).若1 < x°f(x°),則f(x°) f(f(x°)x°矛盾,若 1 <f (x°)x°,則 f (f (x°)f (x°),即Xof (x°)矛盾故只有g(shù)x°成立.方法 2 :設(shè)f (x°)u,則f (u)x°3X°3ax°u,uau x°,兩式相減得(xO3 u3)a(x°u) ux°(x°u)(x：X°u2u 1

17、a) 0,x°、/0 >1,u >1 ,2x° x°u2 u3,又0a 32x° x°u21 u1 a 0f(x) (x23)(2 已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)2x a)(1)若函數(shù)f(x)的圖象上有與X軸平行的切線，求a的取值范圍(2 )若f '( 1) 0,(I)求函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間(n)證明對(duì)任意的Xi、X2( 1,0)，不等式I f (Xi)f (X2)|16恒成立Q f (x)x3 ax2 3 x 3 a f '(x)解: 2 2 ,3x22ax 32函數(shù)f(X)的圖象有與X軸平行的切線,f'(X)0有實(shí)

18、數(shù)解f'( 1)f'(X)4a20,Xa292，所以(a的取值范圍是:噸-2')2af'(X)3x213(x -)(x 1)2f'(X)0, 1f (X)的單調(diào)遞增區(qū)間是1),(12,)；單調(diào)減區(qū)間為1,易知f(x)的最大值為f(1)258f(X)f(的極小值為-)4916J(0) ?Mf(x)在-°278，最小值49m 16對(duì)任意Xi, X2( 1,0)，恒有I f (X1) f (X2) |2749題型八：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用1 .請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為im第9頁(yè)共12頁(yè)1616的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正6( 2

19、2(8 2x故底面正六邊形的面積為：48 2x x ) =2V (x)3 3 (8 2x x2)C(x 1)13(16帳篷的體積為：232V'(x)(123x2)求導(dǎo)得2o令 V'(x)0，解得X2 ,(不合題意，舍去)，x 2,當(dāng)1 X2時(shí)，V'(x)0V (x)為增函數(shù)；當(dāng)2 x4時(shí)，V'(x)0V (x)為減函數(shù)。X2)12x，(單位:m2x3)(單位:六棱錐(如右圖所示)。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn) 0到底面中心01的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大?解：設(shè)001為X m，則1 X 4由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為:v'32 (x 1)2 V8 2x x2，(單

20、位:.當(dāng)x 2時(shí)，V (X)最大。答：當(dāng)001為2 m時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為1 3 m2 統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y (升)關(guān)于行駛速度x (千米/13y x3 X 8(0 x 120).小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為：12800080已知甲、乙兩地相距 100千米。(I) 當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？(II) 當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？x 40 時(shí),1002.5解：(1)當(dāng)汽車(chē)從甲地到乙地行駛了40小時(shí),1334040 8) 2.517.5(要耗沒(méi)12800080(升) o第12頁(yè)共12頁(yè)(II)當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí),汽車(chē)從甲地到乙地行駛了100x小時(shí)，設(shè)耗油量為h(x)升,h(x)依題意得(一x31280003x808)型丄x2x 128080015 (0 x 120),4x h'(x)麗33800 x 802x640 x2(0 x120).令 h'