【KS5U解析】四川省內(nèi)江市2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題 Word版含解析

1、內(nèi)江市2019-2020學(xué)年度第一學(xué)期高二期末檢測(cè)題數(shù)學(xué)（文科）一、選擇題： 1.已知某班有學(xué)生48人，為了解該班學(xué)生視力情況，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本已知3號(hào)，15號(hào)，39號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中另外一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是（ ）a. 26b. 27c. 28d. 29【答案】b【解析】【分析】由系統(tǒng)抽樣可知抽取一個(gè)容量為4的樣本時(shí),將48人按順序平均分為4組,由已知編號(hào)可得所求的學(xué)生來自第三組,設(shè)其編號(hào)為,則,進(jìn)而求解即可【詳解】由系統(tǒng)抽樣可知,抽取一個(gè)容量為4的樣本時(shí),將48人分為4組,第一組編號(hào)為1號(hào)至12號(hào)；第二組編號(hào)為13號(hào)至24號(hào)；第三組編號(hào)為25號(hào)至

2、36號(hào)；第四組編號(hào)為37號(hào)至48號(hào),故所求的學(xué)生來自第三組,設(shè)其編號(hào)為,則,所以,故選:b【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的編號(hào),屬于基礎(chǔ)題2.設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，則等于（ ）a. b. 10c. d. 38【答案】b【解析】【分析】利用空間中的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱時(shí)的坐標(biāo)關(guān)系可求的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式可求.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，故，故，故選b.【點(diǎn)睛】本題考查空間中關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，此類問題屬于基礎(chǔ)題.3.直線的斜率是方程的兩根，則與的位置關(guān)系是（ ）a. 平行b. 垂直c. 相交但不垂直d. 重合【答案】b【解析】【分析】利用韋達(dá)定理可得,即可判斷兩直線位

3、置關(guān)系【詳解】由題,則,所以直線與直線垂直,故選:b【點(diǎn)睛】本題考查兩直線位置關(guān)系的判斷,屬于基礎(chǔ)題4.如圖是某高三學(xué)生進(jìn)入高中三年來的數(shù)學(xué)考試成績莖葉圖，第1次到第14次的考試成績依次記為，下圖是統(tǒng)計(jì)莖葉圖中成績?cè)谝欢ǚ秶鷥?nèi)考試次數(shù)的一個(gè)算法流程圖，那么輸出的結(jié)果是（ ） a. 9b. 8c. 7d. 6【答案】a【解析】【分析】由程序框圖可知其輸出結(jié)果為成績不小于90的次數(shù),進(jìn)而利用莖葉圖的數(shù)據(jù)求解即可【詳解】由程序框圖可知其輸出結(jié)果為成績不小于90的次數(shù),則可由莖葉圖得到符合條件的次數(shù)為9,故選:a【點(diǎn)睛】本題考查讀懂程序框圖的功能,考查莖葉圖的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題5.方程所表示的直線與圓的

4、位置關(guān)系是（ ）a. 相離b. 相切c. 相交d. 不能確定【答案】c【解析】分析】整理直線方程可得,則直線恒過,可判斷在圓內(nèi),即可判斷直線與圓的位置關(guān)系【詳解】由題,直線為,即,當(dāng)時(shí),即直線恒過,因?yàn)?所以在圓內(nèi),則過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線一定與圓相交,故選:c【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷,考查直線恒過定點(diǎn)的應(yīng)用6.關(guān)于直線m、n及平面、，下列命題中正確的是（ ）a. 若，則b. 若，則c. 若，則d. 若，則【答案】b【解析】【分析】由可得存在使,若,則,即可得到,進(jìn)而得到正確答案【詳解】若m，n，則m與n的關(guān)系是平行、異面，故a錯(cuò)誤；因?yàn)?所以存在使,因?yàn)?所以,則,故b正確,若m，

5、n，則m與n的關(guān)系為平行、相交或異面，故c錯(cuò)誤；若m，則m與的關(guān)系是平行、相交（含垂直），故d錯(cuò)誤故選:b【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判斷,考查空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題7.已知為線性區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)，若，則z的最大值為（ ）a. 2b. 3c. -1d. 【答案】a【解析】【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,即可求得最大值【詳解】由題,可得可行域如圖所示（陰影部分）,由得,平移直線,由圖像可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),直線的截距最小,即最大 由,解得為,代入目標(biāo)函數(shù)中可得,故選:a【點(diǎn)睛】本題考查利用線性規(guī)劃求最值,考查數(shù)形結(jié)合思想8.已知點(diǎn)到直線的距離等于1，則實(shí)數(shù)m等于（ ）a.

6、b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式求解即可【詳解】由題,點(diǎn)到直線的距離為:,解得,故選:d【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題9.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如.（注：如果一個(gè)大于1的整數(shù)除1和自身外無其他正因數(shù)，則稱這個(gè)整數(shù)為素?cái)?shù).）在不超過11的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，其和小于等于10的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先列出不超過11的素?cái)?shù),再列舉出隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)的情況,進(jìn)而找到和小于等于10的情況,即可求解【詳解】

7、不超過11的素?cái)?shù)有:2,3,5,7,11,共有5個(gè),隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)可能為:,共有10種情況,其中和小于等于10的有:,共有5種情況,則概率為,故選:a【點(diǎn)睛】本題考查列舉法求古典概型的概率,屬于基礎(chǔ)題10.若圓心坐標(biāo)為的圓，被直線截得的弦長為2，則這個(gè)圓的方程是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由弦長為,利用點(diǎn)到直線距離求得,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,設(shè)圓的半徑為,圓心到直線距離為,則,所以弦長為,則,所以圓的方程為,故選:c【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程,考查弦長的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合思想11.若圓上存在點(diǎn)p，使得，其中點(diǎn)，則t的最小值是（ ）a. 7b. 5c. 4d.

8、 6【答案】c【解析】【分析】由可得,則,設(shè),利用兩點(diǎn)間距離公式整理可得,則點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心,半徑為的圓,記為圓,由點(diǎn)是圓上的點(diǎn),則當(dāng)圓與圓外切時(shí),最小,進(jìn)而求解即可【詳解】設(shè),因?yàn)?所以,即,所以,即,則,所以點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心,半徑為的圓,記為圓,又點(diǎn)是圓上的點(diǎn),則當(dāng)圓與圓外切時(shí),最小,因?yàn)閳A的圓心為,半徑為1,所以,即,所以,故選:c【點(diǎn)睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查最值問題,考查數(shù)形結(jié)合思想12.已知正三棱錐的外接球是球o，正三棱錐底邊，側(cè)棱，點(diǎn)e在線段上，且，過點(diǎn)e作球o的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】過點(diǎn)

9、作球的截面,當(dāng)截面與垂直時(shí),截面的面積最?。划?dāng)截面過球心時(shí),截面面積最大,進(jìn)而利用圖形求解即可【詳解】如圖,由題,設(shè)的中心為,球的半徑為,連接,則,在中,解得,所以,因?yàn)?所以,在中,所以,過點(diǎn)作球的截面,當(dāng)截面與垂直時(shí),截面的面積最小,此時(shí)截面的半徑為,則截面面積為,當(dāng)截面過球心時(shí),截面面積最大,最大面積為,故選:d【點(diǎn)睛】本題考查棱錐的外接球問題,考查截面積的范圍問題,考查空間想象能力和運(yùn)算能力二、填空題： 13.已知的平均數(shù)為a，則的平均數(shù)是_.【答案】【解析】【分析】由題可得,再利用平均數(shù)的定義求解即可【詳解】由題,所以,則的平均數(shù)為:,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)公式的應(yīng)用,屬于

10、基礎(chǔ)題14.秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.已知一個(gè)5次多項(xiàng)式為，用秦九韶算法求這個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)時(shí)的值為_.【答案】859【解析】【分析】先將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為的形式,然后逐步計(jì)算至的值,即可得到答案【詳解】根據(jù)秦九韶算法把多項(xiàng)式改寫為如下形式:,所以,故答案為:859【點(diǎn)睛】本題考查利用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值,屬于基礎(chǔ)題15.一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)x軸反射，其反射光線所在直線與圓相切，則反射光線所在的直線方程為_.【答案】或【解析】【分析】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,即反射光線過點(diǎn),分別討論反射光線的斜率存在與不存

11、在的情況,進(jìn)而求解即可【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,（1）設(shè)反射光線的斜率為,則反射光線的方程為,即,因?yàn)榉瓷涔饩€與圓相切,所以圓心到反射光線的距離,即,解得,所以反射光線的方程為:；（2）當(dāng)不存在時(shí),反射光線為,此時(shí),也與圓相切,故答案為: 或【點(diǎn)睛】本題考查直線在光學(xué)中的應(yīng)用,考查圓的切線方程16.如圖所示，在長方體中，點(diǎn)e是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面交棱于點(diǎn)f，給出下列命題：四棱錐的體積恒為定值；對(duì)于棱上任意一點(diǎn)e，在棱上均有相應(yīng)的點(diǎn)g，使得平面；o為底面對(duì)角線和的交點(diǎn)，在棱上存在點(diǎn)h，使平面；存在唯一的點(diǎn)e，使得截面四邊形的周長取得最小值.其中為真命題的是_.（填寫所有正確答案的序號(hào)）【答案

12、】【解析】【分析】將四棱錐轉(zhuǎn)化為2個(gè),進(jìn)而求解判斷即可；找到反例即可；利用中位線證明即可；將四邊形的周長的最值轉(zhuǎn)化為的最值,進(jìn)而求解即可【詳解】,又三棱錐為三棱錐,則底面不變,且因?yàn)槠矫?故點(diǎn)到底面的距離即三棱錐底面的高不變,故三棱錐的體積不變,所以四棱錐的體積不變,恒為定值,故正確；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí),總有與平面相交,故錯(cuò)誤；由o為底面對(duì)角線和的交點(diǎn),則,設(shè)為的中點(diǎn),則在中,所以平面,故正確；四邊形的周長為,則分析即可,將矩形沿著展開使得在延長線上時(shí),此時(shí)的位置設(shè)為,則線段與的交點(diǎn)即為截面平行四邊形的周長取得最小值時(shí)唯一點(diǎn),故正確；故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定,考查錐體的體積,考查空間

13、想象能力與轉(zhuǎn)化思想三、解答題： 17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為.（1）求邊上的中線所在直線的一般式方程；（2）求邊上的高所在直線的一般式方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得的中點(diǎn),再求得中線的斜率,進(jìn)而求得中線的方程；（2）先求得直線斜率,即可得到其高的斜率,再利用點(diǎn)斜式方程求解即可【詳解】（1）,的中點(diǎn)為,邊的中線的斜率為,邊上中線的一般式方程為（2）,故邊上的高所在直線斜率為,由點(diǎn)斜式得,邊上的高所在直線的一般式方程為【點(diǎn)睛】本題考查直線的一般方程,考查三角形的性質(zhì)的應(yīng)用,考查斜率公式的應(yīng)用18.某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是

14、：.（1）求圖中a的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均數(shù)與中位數(shù).【答案】（1）（2）平均數(shù)為73，中位數(shù)為：.【解析】【分析】（1）由頻率和為1求解即可；（2）以各區(qū)間中點(diǎn)值代表各組的取值,進(jìn)而求得平均數(shù)；求出從左邊開始小矩形的面積的和為0.5對(duì)應(yīng)的橫軸的值即為中位數(shù)【詳解】（1）由頻率分布直方圖知,解得（2）估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分為:由（1）,設(shè)中位數(shù)為,則解得,故估計(jì)中位數(shù)為：.【點(diǎn)睛】本題考查頻率的性質(zhì),考查利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù),考查數(shù)據(jù)處理能力19.如圖，把長為6，寬為3的矩形折成正三棱柱，三棱柱的高度為3，矩形的對(duì)角線和三棱柱的

15、側(cè)棱、的交點(diǎn)記為.（1）在三棱柱中，若過三點(diǎn)做一平面，求截得的幾何體的表面積；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別求得幾何體的各面面積,進(jìn)而求和即可；（2）轉(zhuǎn)化三棱錐為三棱錐,進(jìn)而求解即可【詳解】（1）由操作可知,該正三棱柱的底面是邊長為2的正三角形,正三棱柱的高為3,所求幾何體的表面積為各面的面積之和,又,由原矩形可知,則 則在中,所以邊上的高為,故（2）點(diǎn)e到面的距離就是正三角形的高:,所以【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的表面積,考查棱錐的體積,考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力20.某公交公司為了方便市民出行，科學(xué)規(guī)劃車輛投放，在一個(gè)人員密集流動(dòng)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站，為了研究車

16、輛發(fā)車間隔時(shí)間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系，經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：間隔時(shí)間x/分101112131415等候人數(shù)y/人232526292831調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)方法如下：先用求得的線性回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù)，再求與實(shí)際等候人數(shù)y的差，若差值的絕對(duì)值都不超過1，則稱所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.（1）從這6組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取4組數(shù)據(jù)，求剩下的2組數(shù)據(jù)的間隔時(shí)間相鄰的概率；（2）若選取的是中間4組數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程，并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：

17、，.【答案】（1） （2），此方程是“恰當(dāng)回歸方程”.【解析】【分析】（1）先列出剩下2組數(shù)據(jù)的基本事件,再找到相鄰的情況,進(jìn)而求解即可；（2）利用最小二乘法由公式求得線性回歸方程,再代入剩余兩組的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)即可【詳解】（1）設(shè)“從這6組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取4組數(shù)據(jù)后,剩下的2組數(shù)據(jù)相鄰”為事件a,記這六組數(shù)據(jù)分別為1,2,3,4,5,6,剩下的2組數(shù)據(jù)的基本事件有,共15種,其中相鄰的有,共5種,所以（2）中間4組數(shù)據(jù)是:間隔時(shí)間（分鐘）11121314等候人數(shù)（人）25262928因?yàn)?所以,所以,所以,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；所以求出的線性回歸方程是“恰當(dāng)回歸方程”【點(diǎn)睛】本題考查列舉法求古典概型的

18、概率,考查最小二乘法求線性回歸方程,考查線性回歸方程的實(shí)際應(yīng)用21.在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，底面，四棱錐的體積，m是的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求點(diǎn)b到平面的距離.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）取中點(diǎn)n,連接,則,則與所成的角就是異面直線與所成的角,即,進(jìn)而求解即可；（2）在平面內(nèi)過點(diǎn)a作,垂足為e,先證得平面,再根據(jù)平面可得點(diǎn)b到平面的距離等于點(diǎn)a到平面的距離,即為,進(jìn)而求解即可詳解】（1）取中點(diǎn)n,連接,底面,且底面是邊長為2的正方形,則底面積為,解得,分別為的中點(diǎn),所以與所成的角就是異面直線與所成的角,即,因?yàn)?所以,所以異面直線與所成角的余弦值為（2）在平面內(nèi)過點(diǎn)a作,垂足為e,底面,平面,四邊形是正方形,則,平面,平面,又,平面,平面,平面,平面,所以,點(diǎn)b到平面的距離等于點(diǎn)a到平面的距離,即為,在中,故,因此,點(diǎn)b到平面的距離為【點(diǎn)睛】本題考查幾何法求異面成角,考查棱錐