2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版選修2-2學(xué)案：2.2.2　反證法 Word版含解析

1、22.2反證法目標(biāo) 1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過(guò)程，會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題重點(diǎn) 反證法的邏輯思維過(guò)程與邏輯思維方法難點(diǎn) 利用反證法解決有關(guān)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)反證法填一填1反證法是間接證明的一種基本方法2一般地，假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這種證明方法叫做反證法3反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等答一答1在證明命題“若p則q”的過(guò)程中，雖然否定了結(jié)論q，但在證明過(guò)程中，沒(méi)有把“綈q”當(dāng)作條件利用，也

2、推出了矛盾或證得了結(jié)論，這種證明是反證法嗎？提示：不是，反證法是在假設(shè)原結(jié)論不成立的條件下推出矛盾的，也就是說(shuō)，之所以推出了矛盾，就是因?yàn)槲覀兗僭O(shè)了原結(jié)論不成立，故在用反證法時(shí)，必須把結(jié)論的否定作為條件使用，否則，就不是反證法2用反證法證明命題“如果a>b，那么>”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是什么？提示：應(yīng)假設(shè).類(lèi)型一用反證法證明否定性命題【例1】已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：，不成等差數(shù)列【思路分析】由題目可獲取以下主要信息：a、b、c三個(gè)正數(shù)成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列求證，不成等差數(shù)列不成的反面是“能成”解答本題可選用反證法，關(guān)鍵是利用等差、等比中項(xiàng)【證明】假設(shè)

3、，成等差數(shù)列，則2，即ac24b，而b2ac，即b，ac24，()20.即，從而abc，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，故，不成等差數(shù)列1.結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語(yǔ)的命題，此類(lèi)問(wèn)題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法.2.反證法屬邏輯方法范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一個(gè)否定是指“否定結(jié)論(假設(shè))”；第二個(gè)否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”.反證法屬“間接解題方法”，書(shū)寫(xiě)格式易錯(cuò)之處是“假設(shè)”易錯(cuò)寫(xiě)成“設(shè)”.已知函數(shù)f(x)ax(a>1)(1)證明：函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明方程f(x)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根解：

4、(1)證明：任取x1，x2(1，)，不妨設(shè)x1<x2，則x2x1>0，ax2x1>1，且ax1>0，ax2ax1ax1(ax2x11)>0.又x11>0，x21>0，>0，f(x2)f(x1)ax2ax1>0.故函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)(2)證法1：假設(shè)存在x0<0(x01)，滿(mǎn)足f(x0)0，則ax0，且0<ax0<1，0<<1.即<x0<2，與假設(shè)x0<0矛盾，故方程f(x0)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根證法2：假設(shè)存在x0<0(x01)，滿(mǎn)足f(x0)0.若1<x0<0，則&l

5、t;2，ax0<1，f(x0)<1與f(x0)0矛盾若x0<1，則>0，ax0>0，f(x)>0與f(x0)0矛盾故方程f(x)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根類(lèi)型二用反證法證明唯一性命題【例2】已知：一點(diǎn)a和平面.求證：經(jīng)過(guò)點(diǎn)a只能有一條直線和平面垂直【思路分析】【證明】根據(jù)點(diǎn)a和平面的位置關(guān)系，分兩種情況證明(1)如圖，點(diǎn)a在平面內(nèi)，假設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)a至少有平面的兩條垂線ab、ac，那么ab、ac是兩條相交直線，它們確定一個(gè)平面，平面和平面相交于經(jīng)過(guò)點(diǎn)a的一條直線a.因?yàn)閍b平面，ac平面，a，所以aba，aca，在平面內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)a有兩條直線都和直線a垂直，這與平面幾何中經(jīng)過(guò)直線上

6、一點(diǎn)只能有已知直線的一條垂線相矛盾(2)如圖，點(diǎn)a在平面外，假設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)a至少有平面的兩條垂線ab和ac(b、c為垂足)，那么ab、ac是兩條相交直線，它們確定一個(gè)平面，平面和平面相交于直線bc，因?yàn)閍b平面，ac平面，bc，所以abbc，acbc.在平面內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)a有兩條直線都和bc垂直，這與平面幾何中經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)只能有已知直線的一條垂線相矛盾綜上，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)a只能有平面的一條垂線證明“有且只有一個(gè)”的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性.當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”、“只有一個(gè)”、“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾，所以用反證法證其唯一性就較簡(jiǎn)單明了.已知直線m與直線a和

7、b分別交于a，b且ab，求證：過(guò)a、b、m有且只有一個(gè)平面證明：如圖，ab，過(guò)a、b有一個(gè)平面.又maa，mbb，aa，bb，a，b，又am，bm，m.即過(guò)a、b、m有一個(gè)平面.假設(shè)過(guò)a、b、m還有一個(gè)平面異于平面.則a，b，a，b，這與ab，過(guò)a、b有且只有一個(gè)平面相矛盾因此，過(guò)a、b、m有且只有一個(gè)平面類(lèi)型三用反證法證明“至多”、“至少”型命題【例3】用反證法證明：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，那么方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根(不考慮重根)【證明】假設(shè)方程f(x)0在區(qū)間a，b上至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，為它的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則f()f()0.因?yàn)?，不妨設(shè)<，又因?yàn)?/p>

8、函數(shù)f(x)在a，b上是增函數(shù)，所以f()<f()，這與f()f()0矛盾，所以方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根用反證法證明“至少”“至多”型命題，否定結(jié)論時(shí)，需弄清楚結(jié)論的否定是什么，以免出現(xiàn)錯(cuò)誤.還應(yīng)仔細(xì)體會(huì)“至少有一個(gè)”“至多有一個(gè)”等表達(dá)的意義.若x，y都是正實(shí)數(shù)，且xy>2，求證：<2與<2中至少有一個(gè)成立證明：假設(shè)<2和<2都不成立，則有2和2同時(shí)成立x>0且y>0，1x2y，且1y2x，兩式相加，得2xy2x2y，xy2，這與已知條件xy>2相矛盾，<2與<2中至少有一個(gè)成立反證法未用到結(jié)論的反設(shè)致誤【

9、例4】已知實(shí)數(shù)p滿(mǎn)足不等式(2p1)(p2)<0，用反證法證明：關(guān)于x的方程x22x5p20無(wú)實(shí)數(shù)根【錯(cuò)解】假設(shè)方程x22x5p20有實(shí)數(shù)根，由已知實(shí)數(shù)p滿(mǎn)足不等式(2p1)(p2)<0，解得2<p<，而關(guān)于x的方程x22x5p20的根的判別式4(p24)2<p<，<p2<4，<0，即關(guān)于x的方程x22x5p20無(wú)實(shí)數(shù)根【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解在解題的過(guò)程中并沒(méi)有用到假設(shè)的結(jié)論，故不是反證法【正解】假設(shè)方程x22x5p20有實(shí)數(shù)根，則該方程的根的判別式44(5p2)0，解得p2或p2，而由已知實(shí)數(shù)p滿(mǎn)足不等式(2p1)(p2)<0，解得2&l

10、t;p<.數(shù)軸上表示的圖形無(wú)公共部分，故假設(shè)不成立，從而關(guān)于x的方程x22x5p20無(wú)實(shí)數(shù)根設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列設(shè)q1，證明：數(shù)列an1不是等比數(shù)列證明：假設(shè)an1是等比數(shù)列，則對(duì)任意的kn*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1·a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，這與已知矛盾假設(shè)不成立，故an1不是等比數(shù)列1應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過(guò)程中要把下列哪些作為條件使用(c)結(jié)論的否定；已知條件；公理、定理、定義等；原結(jié)論a bc d2實(shí)數(shù)a、b、c不全為0的條

11、件為(d)aa、b、c均不為0ba、 b、c中至多有一個(gè)為0ca、b、c中至少有一個(gè)為0da、b、c中至少有一個(gè)不為03已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為(c)a一定是異面直線 b一定是相交直線c不可能是平行直線 d不可能是相交直線解析：假設(shè)cb，而由ca，可得ab，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線4在abc中，若abac，p是abc內(nèi)的一點(diǎn)，apb>apc，求證：bap<cap.用反證法證明時(shí)應(yīng)分：假設(shè)bapcap和bap>cap兩類(lèi)解析：反證法對(duì)結(jié)論的否定是全面否定，bap<cap的對(duì)立面就是bapcap或bap>cap.5已知