一元一次方程與方程組

1、精心整理第三章：一元一次方程與方程組3.1 一元一次方程及其解法知識點：一元一次方程的概念等式的基本性質移項（要變號）解一元一次方 程的一般步驟一、一元一次方程的概念定義：一元：只含有一個未知數(shù)，一次：未知數(shù)的最高次數(shù)是1次，方程：含有未知數(shù)的等式，且含有未知數(shù)的代數(shù)式是整式。拓展：任何一個一元一次方程都可以化簡成 ax b = 0（a = O,a,b為已知數(shù)）的形式，這是一元一次方程的 標準形式。題：判斷下列式子是否為一元一次方程2（1） 3x -4（2） 4x 1 =4x 5 （3） 2y-3 = x2+4（4） 2x1 = 1x1（5）2x y =o（6）（7）x =2x二、等式的基本性

2、質性質：等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，結果仍相等 等式的兩邊同時乘（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），結果仍相等 如果a =b，那么b = a （對稱性） 如果a =b,b = c，那么a = c （傳遞性）注：一個量用與它相等的量代替，叫做等量代換。方程也是等式，所以方程也具有等式的性質。題：運用等式的基本性質把下列等式變成 x=a的形式三、移項（要變號）移項：把方程中的某些項改變符號后，從方程的一邊移到方程的另一邊（簡稱：移 項要變號）注：變形過程中，習慣把含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右 邊，然后合并同類項。 凡是被移動的項一定要變號（這里的移動說的是

3、從方程的一邊移動到另外一邊），滿意移動的項保持原來的符號題：解方程（1）4x-7=5-2x 移項要變號的定理是根據(jù)等式的性質 1得到的。使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。求方程 的解的過程叫做解方程。必須含有未知數(shù)等式的等式才叫方 程。等式不一定是方程，方程一定是等式。（2）-2x=4四、解一元一次方程的一般步驟例：解方程2X=2 口32步驟：1.去分母。方程中每項都乘以分母的最小公倍數(shù) 2去括號。依據(jù)去括號的法則，依次逐步去括號3移項（要變號）。含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊4合并同類項。含有未知數(shù)的項移合并在一起，常數(shù)項合并在一起5系數(shù)化為1。兩邊同時除以未

4、知數(shù)的系數(shù)（一般情況下的步驟，不排除有簡便方法，如先去分母比較簡單）題：解方程：x J =2-x23題：解方程：3x=7x3x = 6- J題：當m為何值時，方程（m2-1）x2-（m+1）x+8=0是關于x的一元一次方程3.2 一元一次方程的應用知識點：列一元一次方程解應用題的步驟；等積變換問題；打折銷售、利率問題及增長率問題；行程問題；工程問題一、列一元一次方程解應用題的步驟例：某次全校募捐活動中，全校師生共捐款 45000元，其中，學生捐款數(shù)比老師捐款數(shù)的兩倍少 9000元，問該校老師和學生各捐款多少元？解題步驟：（1）審：弄清題意，分清已知量和未知量（2）設：設未知數(shù)，用含有未知數(shù)的代

5、數(shù)式表示相關量（3）列：找出等量關系，并由此列出方程（4）解：解方程，求未知數(shù)的值，檢驗此值是否符合題意（5）答：根據(jù)題意寫出答案注：1.一道題往往含有多個未知數(shù)，應當選擇一個設為未知數(shù)，其他的量用這一個未知數(shù)來表示， 進而列出方程。2列方程時，單位不統(tǒng)一的一定要統(tǒng)一單位。3對于方程的解，要看解是不是符合實際意義，在設和答的時候，必須寫清單位名稱。二、等積變換問題等積：等面積或等體積，等積變換問題指的是幾何圖形的形狀發(fā)生改變，而面積或體積沒有變。利用等量關系列出等式。注：1等式兩邊單位保持一致2找等量關系，用含有未知數(shù)的等式表示已知量和未知量之間的關系題：一圓柱形容器的內半徑為 3cm，內壁高

6、30cm，容器內盛有15cm高的水，現(xiàn)將一個底面半徑 為2cm、高18cm的金屬圓柱豎直放入容器內，容器內的水將升高多少？三、打折銷售、利率問題及增長率問題利潤知識歸納：(1)售價=標價X折數(shù)利潤=售價-成本利潤率=利潤成本(2) 利息=本金X利率X期數(shù)(3) 增長率問題：達到的數(shù)量=基數(shù)X( 1+增長率)(4) 打折：打幾折就是按照原價的百分之幾十出售題：商場出售A冰箱每臺售價為2190元，每日耗電1度，B冰箱每臺售價比A貴10%，單每日耗 電0.55度。請問商場將A冰箱打幾折，使得A冰箱10年的總費用與B冰箱10年的費用相等？(每 年365天，每度電0.5元計算)四、行程問題知識歸納：(1

7、)相遇問題：相遇時間X速度和=路程和(2) 追及問題：追及時間X速度差=追及路程(3) 航行問題：順水速度-水流速度=靜水中航行速度(4) 逆水速度+水流速度二靜水中航行速度題：甲乙兩地間的路程是708m, 輛慢車從甲地開往乙地，慢車開了一個半小時之后，另有一輛 快車從乙地開往甲地。已知慢車每小時走 92km，快車每小時走136km，問兩側和各開幾小時后相 遇？五、工程問題(1) 全部工作量二各部分工作量之和=1工作量二工作效率x工作時間(2) 總工程量為1.工作效率是工作時間的倒數(shù)題：甲乙兩隊共同完成一個項目，甲單獨做 7.5小時完成，乙單獨做，5小時完成，現(xiàn)在讓甲乙一 起工作1小時，剩下的

8、讓乙單獨做，共需多長時間完成？3.3二元一次方程組及其解法二元一次方程的相關概念二元一次方程組代入消元法解方程加減法解方程I1. 我國古代數(shù)學著作孫子算經(jīng)中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九 十四足，問雞兔各幾何？” 1一、二元一次方程的相關概念1. 二元一次方程：含有兩個未知數(shù)的一次方程。(二元：兩個未知數(shù)；一次：含有未知數(shù)的項的系數(shù)都為1;方程：等式+含有未知數(shù)的項都是整式)2. 二元一次方程的解.：使二元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值。3. 二元一次方程組和一元一次方程的異同點:題：下列各式屬于二元一次方程的有：112(1) 3x - y =2 (2) y x2=

9、0 (3) yz = 5 (4) xy (5) 2x = 4 (6) 4x -3y22y(7) x y z =5 (8) 5x 3=x-4y元一次方程組(1)已知兩數(shù)x, y之和是10， x比y的3倍大2，貝U可以列出所有的方程為（2）三對數(shù)值知識歸納：（名詞解釋）1. 一次方程組：由幾個一次方程組成的方程組2. 二元一次方程組：由兩個一次方程組組成的，含有兩個未知數(shù)的方程組3. 二元一次方程組的解：使得二元一次方程組中的兩個方程都成立的兩個未知數(shù)的值4. 解方程組：求方程組的解的過程注意：同一個方程組的同一個未知數(shù)表示的意義是相同的判斷一個方程組是不是二元一次方程組， 注意抓兩個點：有兩個一

10、次方程一共含有兩個未知數(shù)題：判斷三、代入法解方程x = 32 y 代入法的大致思路：1.通過方程組中的一個方程，將某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示，并將代數(shù)式代入另 一個方程中，（這樣就消去了一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程），解方程求出一個未知數(shù)的值， 再將這個未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個方程，求出另一個未知數(shù)的值，從而求出方程組的解。這種解方程組的方法叫做代入消元法。代入法解二元一次方程組的一般步驟：（1）變形：選擇一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代 數(shù)式表示（2）代入：將一個方程變形后代入另一個方程中，消去了一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程（3）解：解得到的一元一次方程（4）反代：將得到的解代入原方程組中的任意一個方程，求出另一個未知數(shù)的值（5）寫出答案，x二a題：用代入法解下列方程四、加減法解方程用加減法解方程組的一般思路：通過把兩個方程相加或相減消去一個未知數(shù)的方法叫做加減消元法。方法歸納：1. 兩個方程中有一個未知數(shù)的系數(shù)相等，那么兩個方程相