一元一次方程與方程組

1、精心整理第三章：一元一次方程與方程組3.1 一元一次方程及其解法知識(shí)點(diǎn)：一元一次方程的概念等式的基本性質(zhì)移項(xiàng)（要變號(hào)）解一元一次方 程的一般步驟一、一元一次方程的概念定義：一元：只含有一個(gè)未知數(shù)，一次：未知數(shù)的最高次數(shù)是1次，方程：含有未知數(shù)的等式，且含有未知數(shù)的代數(shù)式是整式。拓展：任何一個(gè)一元一次方程都可以化簡(jiǎn)成 ax b = 0（a = O,a,b為已知數(shù)）的形式，這是一元一次方程的 標(biāo)準(zhǔn)形式。題：判斷下列式子是否為一元一次方程2（1） 3x -4（2） 4x 1 =4x 5 （3） 2y-3 = x2+4（4） 2x1 = 1x1（5）2x y =o（6）（7）x =2x二、等式的基本性

2、質(zhì)性質(zhì)：等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，結(jié)果仍相等 等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能為0），結(jié)果仍相等 如果a =b，那么b = a （對(duì)稱(chēng)性） 如果a =b,b = c，那么a = c （傳遞性）注：一個(gè)量用與它相等的量代替，叫做等量代換。方程也是等式，所以方程也具有等式的性質(zhì)。題：運(yùn)用等式的基本性質(zhì)把下列等式變成 x=a的形式三、移項(xiàng)（要變號(hào)）移項(xiàng)：把方程中的某些項(xiàng)改變符號(hào)后，從方程的一邊移到方程的另一邊（簡(jiǎn)稱(chēng)：移 項(xiàng)要變號(hào)）注：變形過(guò)程中，習(xí)慣把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右 邊，然后合并同類(lèi)項(xiàng)。 凡是被移動(dòng)的項(xiàng)一定要變號(hào)（這里的移動(dòng)說(shuō)的是

3、從方程的一邊移動(dòng)到另外一邊），滿(mǎn)意移動(dòng)的項(xiàng)保持原來(lái)的符號(hào)題：解方程（1）4x-7=5-2x 移項(xiàng)要變號(hào)的定理是根據(jù)等式的性質(zhì) 1得到的。使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。求方程 的解的過(guò)程叫做解方程。必須含有未知數(shù)等式的等式才叫方 程。等式不一定是方程，方程一定是等式。（2）-2x=4四、解一元一次方程的一般步驟例：解方程2X=2 口32步驟：1.去分母。方程中每項(xiàng)都乘以分母的最小公倍數(shù) 2去括號(hào)。依據(jù)去括號(hào)的法則，依次逐步去括號(hào)3移項(xiàng)（要變號(hào)）。含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊4合并同類(lèi)項(xiàng)。含有未知數(shù)的項(xiàng)移合并在一起，常數(shù)項(xiàng)合并在一起5系數(shù)化為1。兩邊同時(shí)除以未

4、知數(shù)的系數(shù)（一般情況下的步驟，不排除有簡(jiǎn)便方法，如先去分母比較簡(jiǎn)單）題：解方程：x J =2-x23題：解方程：3x=7x3x = 6- J題：當(dāng)m為何值時(shí)，方程（m2-1）x2-（m+1）x+8=0是關(guān)于x的一元一次方程3.2 一元一次方程的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)：列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟；等積變換問(wèn)題；打折銷(xiāo)售、利率問(wèn)題及增長(zhǎng)率問(wèn)題；行程問(wèn)題；工程問(wèn)題一、列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟例：某次全校募捐活動(dòng)中，全校師生共捐款 45000元，其中，學(xué)生捐款數(shù)比老師捐款數(shù)的兩倍少 9000元，問(wèn)該校老師和學(xué)生各捐款多少元？解題步驟：（1）審：弄清題意，分清已知量和未知量（2）設(shè)：設(shè)未知數(shù)，用含有未知數(shù)的代

5、數(shù)式表示相關(guān)量（3）列：找出等量關(guān)系，并由此列出方程（4）解：解方程，求未知數(shù)的值，檢驗(yàn)此值是否符合題意（5）答：根據(jù)題意寫(xiě)出答案注：1.一道題往往含有多個(gè)未知數(shù)，應(yīng)當(dāng)選擇一個(gè)設(shè)為未知數(shù)，其他的量用這一個(gè)未知數(shù)來(lái)表示， 進(jìn)而列出方程。2列方程時(shí)，單位不統(tǒng)一的一定要統(tǒng)一單位。3對(duì)于方程的解，要看解是不是符合實(shí)際意義，在設(shè)和答的時(shí)候，必須寫(xiě)清單位名稱(chēng)。二、等積變換問(wèn)題等積：等面積或等體積，等積變換問(wèn)題指的是幾何圖形的形狀發(fā)生改變，而面積或體積沒(méi)有變。利用等量關(guān)系列出等式。注：1等式兩邊單位保持一致2找等量關(guān)系，用含有未知數(shù)的等式表示已知量和未知量之間的關(guān)系題：一圓柱形容器的內(nèi)半徑為 3cm，內(nèi)壁高

6、30cm，容器內(nèi)盛有15cm高的水，現(xiàn)將一個(gè)底面半徑 為2cm、高18cm的金屬圓柱豎直放入容器內(nèi)，容器內(nèi)的水將升高多少？三、打折銷(xiāo)售、利率問(wèn)題及增長(zhǎng)率問(wèn)題利潤(rùn)知識(shí)歸納：(1)售價(jià)=標(biāo)價(jià)X折數(shù)利潤(rùn)=售價(jià)-成本利潤(rùn)率=利潤(rùn)成本(2) 利息=本金X利率X期數(shù)(3) 增長(zhǎng)率問(wèn)題：達(dá)到的數(shù)量=基數(shù)X( 1+增長(zhǎng)率)(4) 打折：打幾折就是按照原價(jià)的百分之幾十出售題：商場(chǎng)出售A冰箱每臺(tái)售價(jià)為2190元，每日耗電1度，B冰箱每臺(tái)售價(jià)比A貴10%，單每日耗 電0.55度。請(qǐng)問(wèn)商場(chǎng)將A冰箱打幾折，使得A冰箱10年的總費(fèi)用與B冰箱10年的費(fèi)用相等？(每 年365天，每度電0.5元計(jì)算)四、行程問(wèn)題知識(shí)歸納：(1

7、)相遇問(wèn)題：相遇時(shí)間X速度和=路程和(2) 追及問(wèn)題：追及時(shí)間X速度差=追及路程(3) 航行問(wèn)題：順?biāo)俣?水流速度=靜水中航行速度(4) 逆水速度+水流速度二靜水中航行速度題：甲乙兩地間的路程是708m, 輛慢車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，慢車(chē)開(kāi)了一個(gè)半小時(shí)之后，另有一輛 快車(chē)從乙地開(kāi)往甲地。已知慢車(chē)每小時(shí)走 92km，快車(chē)每小時(shí)走136km，問(wèn)兩側(cè)和各開(kāi)幾小時(shí)后相 遇？五、工程問(wèn)題(1) 全部工作量二各部分工作量之和=1工作量二工作效率x工作時(shí)間(2) 總工程量為1.工作效率是工作時(shí)間的倒數(shù)題：甲乙兩隊(duì)共同完成一個(gè)項(xiàng)目，甲單獨(dú)做 7.5小時(shí)完成，乙單獨(dú)做，5小時(shí)完成，現(xiàn)在讓甲乙一 起工作1小時(shí)，剩下的

8、讓乙單獨(dú)做，共需多長(zhǎng)時(shí)間完成？3.3二元一次方程組及其解法二元一次方程的相關(guān)概念二元一次方程組代入消元法解方程加減法解方程I1. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)中有“雞兔同籠”問(wèn)題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九 十四足，問(wèn)雞兔各幾何？” 1一、二元一次方程的相關(guān)概念1. 二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)的一次方程。(二元：兩個(gè)未知數(shù)；一次：含有未知數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)都為1;方程：等式+含有未知數(shù)的項(xiàng)都是整式)2. 二元一次方程的解.：使二元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值。3. 二元一次方程組和一元一次方程的異同點(diǎn):題：下列各式屬于二元一次方程的有：112(1) 3x - y =2 (2) y x2=

9、0 (3) yz = 5 (4) xy (5) 2x = 4 (6) 4x -3y22y(7) x y z =5 (8) 5x 3=x-4y元一次方程組(1)已知兩數(shù)x, y之和是10， x比y的3倍大2，貝U可以列出所有的方程為（2）三對(duì)數(shù)值知識(shí)歸納：（名詞解釋?zhuān)?. 一次方程組：由幾個(gè)一次方程組成的方程組2. 二元一次方程組：由兩個(gè)一次方程組組成的，含有兩個(gè)未知數(shù)的方程組3. 二元一次方程組的解：使得二元一次方程組中的兩個(gè)方程都成立的兩個(gè)未知數(shù)的值4. 解方程組：求方程組的解的過(guò)程注意：同一個(gè)方程組的同一個(gè)未知數(shù)表示的意義是相同的判斷一個(gè)方程組是不是二元一次方程組， 注意抓兩個(gè)點(diǎn)：有兩個(gè)一

10、次方程一共含有兩個(gè)未知數(shù)題：判斷三、代入法解方程x = 32 y 代入法的大致思路：1.通過(guò)方程組中的一個(gè)方程，將某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示，并將代數(shù)式代入另 一個(gè)方程中，（這樣就消去了一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程），解方程求出一個(gè)未知數(shù)的值， 再將這個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個(gè)方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，從而求出方程組的解。這種解方程組的方法叫做代入消元法。代入法解二元一次方程組的一般步驟：（1）變形：選擇一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將這個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代 數(shù)式表示（2）代入：將一個(gè)方程變形后代入另一個(gè)方程中，消去了一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程（3）解：解得到的一元一次方程（4）反代：將得到的解代入原方程組中的任意一個(gè)方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值（5）寫(xiě)出答案，x二a題：用代入法解下列方程四、加減法解方程用加減法解方程組的一般思路：通過(guò)把兩個(gè)方程相加或相減消去一個(gè)未知數(shù)的方法叫做加減消元法。方法歸納：1. 兩個(gè)方程中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等，那么兩個(gè)方程相