一元二次方程的四種解法

1、一元二次方程的四種解法亠元二次方程的解法（1） 一元二次方程的概念11 / 14考點、熱點回顧1、元二次方程必須同時滿足的三個條件(1)2、元二次方程的一般形式：二、典型例題xC y y + 6= 0< 1x21 x2 2x 3y 0 x23 (xax2bxc0mx20 （m是不為零常數(shù)）例2:一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.(1)x210x9000(2)5x2 10x 2.2 0(3)2 x2150(4)x2 3x 0(x2)23(x 3)(x 3)0例3:當(dāng)m時，關(guān)于x的方程（m+3 x|m|+3mx+1=0是一例1:判斷下列方程是否為一元二次方程:1)(x 4)元二次

2、方程。的一元二次方程是()1 1B.p 20x yD.x2 2x x2 11、下列方程中，關(guān)于2A3(x 1)2(x 1)三、課堂練習(xí)2C.ax bx c 02、用換元法解方程(x2+x)2+ (x2 + x) = 6時，如果設(shè)X2+ x= y,那么原方程可變 形為()2B、y y 6= 02D 、y + y + 6= 02A、y + y 6=03、已知兩數(shù)的積是12,這兩數(shù)的平方和是25,以這兩數(shù)為根的一元二次方程是 4、已知關(guān)于X的一元二次方程X2 (k 1)x 6 0的一個根是2,求k的值.四、課后練習(xí)1.將方程3x(x 1)5( X 2)化成一元二次方程的一般形式，得其中二次項系數(shù)是；

3、一次項系數(shù)是;常數(shù)項是2.方程(k 4)X2 5x 2k 30是一元二次方程，則k就滿足的條件是.3.已知m是方程x2-x-2=0的一個根，則代數(shù)式 m-m=4. 在一幅長80cm寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形設(shè)金色紙邊的寬為xcm，則x滿足掛圖，如果要使整個掛圖的面積是5400cm,的方程是(2(A) X 130x14000(B)X265 X3500(0 X2130X14000(D)X265X35005.關(guān)于x的方程(m 3)x"nx m 0，在什么條件下是一元二次方程？在什么條件下是一元一次方程?(2)-直接開方法一、考點、熱點回顧直接1、了解形如x2=

4、a(a > 0)或(X + h) 2= k(k > 0)的一元二次方程的解法 開平方法小結(jié)：如果一個一元二次方程具有(X m)2 n( n 0)的形式，那么就可以 用直接開平方法求解。(用直接開平方法解一元二次方程就是將一元二次方程的 左邊化為一個完全平方式，右邊化為常數(shù)，且要養(yǎng)成檢驗的習(xí)慣)【復(fù)習(xí)回顧】1.方程（k 4） x2 5x 2k 30是一元二次方程，則k就滿足的條件2. 若（a+1） x2+（x-1） 2=0二次項的系數(shù)為-2,則a=二、典型例題例1:解下列方程:(1) x2= 2(2)4x2 1 = 0例2、解下列方程:（X1)2 22(X 1)402 12(3 x)

5、 30推薦例3:1(1) 1 3x 14用直接開平方法解下列方程2 215 0(2) x 32 2 24 2x 1(3) x2 2ax a2 b 0三、課堂練習(xí)1. 若方程（x-4 ） 2=m-6可用直接開平方法解，則m的取值范圍是（）A.6 B . o C .6 D . m=62. 方程（1-x ） 2=2的根是（）A.-1、3 B.1、-3 C.1- 邁、1 + J2 D. J2-1、血+13. 方程(3x 1)2= 5的解是4. 用直接開平方法解下列方程:2(1)4x =9;2(X+2) =16(3)(2x-1) 2=3；(4)3(2x+1)2=12四、課后練習(xí)1、4的平方根是，方程x2

6、4的解是2、2方程x 11的根是,方程24 x 11的根是3、.時，代數(shù)式x2 5的值是2;若x2 7810,則x =4、關(guān)于x的方程3x20若能用直接開平方法來解，則k的取值范圍是C 、k< 1、k> 15、解下列方程:(1)5x(5)128 00.5y2 2 0(6)24x2&已知一個等腰三角形的兩邊是方程4 (x0的兩根，求等腰三角形的面積(3)-配方法一、考點、熱點回顧1、經(jīng)歷探究將一元二次方程的一般式轉(zhuǎn)化為(x + h)= k (nA 0)形式的過程, 進一步理解配方法的意義;2、填空：2; (2)x 2-2x+=(x-)2; (4)x 2+x+=(x+ ) 22

7、(1) x X2 4x 30 +6x+=(x+ )(3)x 2-5x+=(x-)2(5)x +p x+=(x+ )3、將方程x2+2x-3=0化為(x+h)2=k的形式為 小結(jié)1:用配方法解一元二次方程的一般步驟: 1、把常數(shù)項移到方程右邊;2、在方程的兩邊各加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊成為完全平方;3、利用直接開平方法解之。小結(jié)2:當(dāng)一元二次方程二次項系數(shù)不為 1時，用配方法解方程的步驟:二次項系數(shù)化為1;移項；直接開平方法求解.二、典型例題例1 ：將下列各進行配方:Q2 X + 10x+= (X +) X2 6x += (X) x2+bx +=( X +) X(1) X 110 X

8、190 5x +=(X ) 24例2 :解下列方程：(2) X2 3x 10推薦例3:用配方法解下列關(guān)于X的方程:(2) X2 6ax 9a2 4b2 0例4:例1解方程：2x2 5x 2 3x2 4x 1 O例5、一個小球垂直向上拋的過程中,它離上拋點的距離h( m與拋出后小球運動的時間t(s)有如下關(guān)系：h 24t5t2。經(jīng)過多少秒后，小球離上拋點的高度是 16m？推薦例6:求證：對任意實數(shù)X,代數(shù)式x24x 4.5的值恒大于零。三、課堂練習(xí)1. 完成下列配方過程:(1)2x +8x+=(x+)(4)2x -x+=(x-)2x +4=(x+)_=( x-)4-)2，貝U m的值為()575

9、2.若 x2-mx+49=(x+25A. 753.用配方法解下列方程:B.-C.145D.-145(1)x 2-6x-16=0 ；(2)xx 2+3 x-4=0 ；(4)x4.已知直角三角形的三邊2+3x-2=0 ；222 c-X- =O.33且兩直角邊a、b滿足等式c的值。(a2+b2)2-2(a2+b2)-15=0，求斜邊一元二次方程的四種解法5. 用配方法解方程2y2-75y=1時，方程的兩邊都應(yīng)加上()15 / 14A. ¥ B. 4 C.D.5166. a2+b2+2a-4b+5=(a+ _2+(b- 7.用配方法解下列方程:2cc-y-2=0 ；23y(1) 2x +1=

10、3x;(3)3x 2-4x+1=0 ；2x2=3-7x.8.若4x2-(4m-1)x+m2+1是一個完全平方式,m.四、課后練習(xí)1、用配方法解下列方程:2(1) x 6x 16 O3x(3)x27 6x1-X42、把方程x2 3x p O配方，得到x(1)求常數(shù)P與m的值；(2)求此方程的解。3、用配方法解方程x2px0( P2 4q 0)2 3x212x 4 X 2 12X 1= 02x27x0,(5)3x 2+ 2x 3= 02x24x2、你能用配方法求：當(dāng)X為何值時，代數(shù)式3x26x5有最大值?4、用配方法解下列方程:(1) x21510x(4)-公式法、考點、熱點回顧1、把方程 4-x

11、2=3x化為 ax2+bx+c=0(a工0)形式為 b2-4ac=.2、方程x2+x-1=0的根是,所以方程的根的情況3、方程3x2+2=4x的判別式 b2-4ac=是.4、元二次方程x2-4x+4=0的根的情況是()A.有兩個不等的實數(shù)根B. 有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.不能確定來判斷:總結(jié)：一元二次方程ax2+bx+c=0（a工0）的根的情況可由當(dāng) b2-4ac > 0 時，當(dāng) b2-4ac=0 時，當(dāng) b2-4ac < 0 時，二、典型例題例1：解下列方程:(1)x23x 20;(2)2x2 7x 4變式:1、解方程：（1）2x（x 1）3;(2)x21 x( 2J5

12、x).例2：解下列方程:(1)x2x 10;(2)x2273x 30；2(3)2x2 2x 10.例3:不解方程，判別下列方程根的情況(1) 2x2+3x+4=0;2(2) 2x-5=6x ;(3) 4x(x-1)-3=0 ；(4) x2+5=275x.一元二次方程的四種解法題變：1、試說明關(guān)于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=o必定有兩個不相等的實數(shù)根.推薦例4：當(dāng)k為何值時，關(guān)于x的方程kx2( 2k + 1) x + k+ 3 = O有兩個不 相等的實數(shù)根?題變：1、已知一元二次方程(m-2) 2x2+(2m+1)x+1=O有兩個不相等的實數(shù)根，求 的取值范圍.三、隨堂練習(xí)1. 把方

13、程(2x-1)(x+3)=x 2+1 化為 ax2 + bx + c = O 的形式，b2-4ac=方程的根是.2. 方程(x-1)(x-3)=2 的根是()A. x1=1,X2=3B.x=2 2J3 C.x=273D.x=-22433. 關(guān)于x的一元二次方程x2+4x-m=O的一個根是J5-2，則m ，方程的另 一個根是4. 若最簡二次根式Jm2 7和J8m 2是同類二次根式，則的值為()A.9 或-1B.-1C.1D.95. 用公式法解下列方程:(1)x2-2x-8=O ；(2) x2+2x-4=0 ；(3) 2x2-3x-2=0 ；(4) 3x(3x-2)+1=0.6. 方程（2x+1）

14、（9x+8）=1的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根D.不能確定2219 / 147. 關(guān)于x的方程x2+27kx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k（）A.k >-1 B.k >-1 C.k > 1 D.k > 08. 要使關(guān)于x的方程kx2-4x+3=0有實數(shù)根，則k應(yīng)滿足的條件是（）A. k< 4/3B.k >4/3 C.k < 4/3 D.k >4/3那么符合條件的一組m n的值可9. 已知方程x2-mx+n=0有兩個相等的實數(shù)根, 以是m= ,n=10. 不解方程，判斷下列方程根的情況:(1) 3x2

15、 x + 1 = 3x(2) 5 (x2 + 1)=7x11. 解下列方程:2(1)x 6x 0;2(2)x12x272(3)2y y 50;X26x16四、課后練習(xí)1. 用公式法解方程V2x2+4V3x=272,其中求的b2-4ac的值是（）A.16 B.4 C.732D.64,方程的根2. 用公式法解方程x2=-8x-15 ,其中b2-4ac=是.。3. 用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正確的是（）A.X1.2=12B. x1.2 一12 心44 12C. X1.2=12時PD. x1.2 = 12 44 484. 三角形兩邊長分別是3和5,第三邊的長是方程3x2-10x-8

16、=0的根，貝U此三角形是三角形.25. 如果分式-口 的值為零，那么x=x 16.用公式法解下列方程:(1) 3y 2-y-2 = 0 2 x2+1 =3x(3)4x 2-3x-1=x-2 3x(x-3)= 2(x-1)(x+1)7. 下列方程中，沒有實數(shù)根的方程式()2 2A.x =9B.4x=3(4x-1)2C.x(x+1)=1D.2y+6y+7=08. 方程ax2+bx+c=0(a工0)有實數(shù)根，那么總成立的式子是()2 2A.b -4ac >OB. b-4ac < 0B.4xB. b2C. b -4ac < OD. b2-4ac > O9.如果方程9x2-(k+

17、6)x+k+1=0有兩個相等的實數(shù)根，那么k=(4)-因式分解法一、考點、熱點回顧應(yīng)用回顧：下列哪些方法能用因式分解法解(1)x2 2x O(x-3)2 (x 3) O(3) x 1 2(x 1)2 112(4) x9 O一元二次方程的四種解法小結(jié)：因式分解法解一元二次方程的一般步驟:1 .將方程的右邊化為02 .將方程左邊因式分解.3 .把原來的一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.4 .分別解兩個一元一次方程，它們的根就是原方程的根二、典型例題例1:用因式分解法解方程：23 / 14(1) x24x (2) x3 x(x 3)0例2:解方程(2x 1)2x20三、隨堂練習(xí)1.如果方程x2-3

18、x+c=0有一個根為1,那么c=_，該方程的另一根為=0該方程可化為(x-1 ) (x)2. 方程x2=x的根為()A.x=0 B. x1=0,X2=1C. x 1=0,X2二1D. x 1=0,x 2=23. 用因式分解法解下列方程:(1) (X+2) 2=3x+6;(3) 5 (2x-1 ) =(1-2x)(x+3);(2) ( 3x+2) 2-4x2=0;(4) 2 (x-3 ) 2+(3x-x 2)=O.4. 用適當(dāng)方法解下列方程:2(1) (3x-1 ) =1;2 2(2) 2 (x+1) =x-1 ;(3) (2x-1) 2+2(2x-1)=3 ;(4) (y+3) (1-3y ) =1+2y2.四、課后訓(xùn)練1下面哪個方程用因式分解法解比較簡便(1) x(3) 3x -4x-1=0 2x 50 (2)(2x 1)210.2. 已知方程4x2-3x=0，下列說法正確的是（）B.只有一個根x=0A.只有一個根x=-3D.有兩個根X1=0,X2=-44C.有兩個根X1=0,X2=-43.如果(x-1)(x+2)=0，那么以下結(jié)論正確的是（）A.x=1