二次函數(shù)壓軸題(經(jīng)典版)

1、2016年10月26日二次函數(shù)壓軸2一.解答題(共30小題)1 .如圖，在ABC中，/BAC=90,BC/x軸，拋物線y=ax2-2ax+3經(jīng)過ABC的三個頂點，并且與x軸交于點D、E,點A為拋物線的頂點.(1)求拋物線的解析式；(2)連接CD,在拋物線的對稱軸上是否存在一點P使PCD為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.2 .如圖，拋物線y=Lx2+bx-2與x軸交于A,B兩點，與y軸交于C點，且A(-1,0).2(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式及頂點D的坐標;(2)若點M是拋物線對稱軸上的一個動點，求CM+AM的最小值.3 .如圖，已知直線y=x+3與x軸交于

2、點A,與y軸交于點B.拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸交于另一個點C,對稱軸與直線AB交于點E.(1)求拋物線的解析式；(2)在第三象限內(nèi)、F為拋物線上一點，以A、E、F為頂點的三角形面積為4,求點F的坐標；(3)連接B、C,點P是線段，AB上一點，作PQ平行于x軸交線段BC于點Q,過P作PMx軸于M,過Q作QNx軸于N,求矩形PQNM面積的最大值和P點的坐標.4 .在平面直角坐標系中，拋物線y=Lx2-x-2的頂點為點D,與直線y=kx在第一象限內(nèi)2交于點A,且點A的橫坐標為4;直線OA與拋物線的對稱軸交于點C.(1)求AOD的面積；(2)若點F為線段OA上一點，過點F作EF

3、/CD交拋物線于點E,求線段EF的最大值及此時點E坐標；(3)如圖2,點P為該拋物線在第四象限部分上一點，且/POA=45°,求出點P的坐標.圖1圖25 .如圖，已知拋物線L1：yi=x2,平移后經(jīng)過點A(-1,0),B(4,0)得到拋物線L2,4與y軸交于點C.(1)求拋物線L2的解析式；(2)判斷ABC的形狀，并說明理由；(3)點P為拋物線L2上的動點，過點P作PDx軸，與拋物線L1交于點D,是否存在PD=2OC?若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.AB長為4個單6 .拋物線y=ax2+bx+c(aw0)的頂點為P(1,-4),在x軸上截得的線段位，OAvOB,拋物線與y

4、軸交于點C.(1)求這個函數(shù)解析式；(2)試確定以B、C、P為頂點的三角形的形狀；(3)已知在對稱軸上存在一點F使得4ACF周長最小，請寫出F點的坐標.1?,一、一、一、一，,.7 .如圖，已知拋物線產(chǎn)二尸+bx+c與x軸交于A(-4,0)和B(1,0)兩點，與y軸交于C點.(1)求此拋物線的解析式；(2)若P為拋物線上A、C兩點間的一個動點，過P作y軸的平行線，交AC于Q點，當(dāng)P點運動到什么位置時，線段PQ的長最大，并求此時P點的坐標.8 .如圖，拋物線y=-x2+ax+8(a0)于x軸從左到右交于點A,B于y軸交于點C于直線y=kx+b交于點c和點D(m,5),tan/DCO=1(1)求拋

5、物線與直線CD的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上有點E,使EA+EC的值最小，求最小值和點E的坐標；(3)點F為在直線CD上方的拋物線上任意一點，作FGXCD于點G,作FH/y軸，與直線CD交于點H,求FGH的周長的最大值和對應(yīng)的點F的坐標.9 .如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A,B(1,0),與y軸交于點C(0,3).(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點P在直線AC上，若SApao：:Sapco=2:1,求P點坐標；(3)如圖，若點C關(guān)于對稱軸對稱的點為D,點E的坐標為(-2,0),F是OC的中點，連接DF,Q為線段AD上的一點，若/EQF=/ADF,求線段EQ的長.10 .如

6、圖，直線y=-x+3與x軸，y軸分別相交于點B,點C,經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=ax2+bx+c(aw0)與x軸的另一交點為A,頂點為P,且對稱軸是直線x=2.(1)求A點的坐標及該拋物線的函數(shù)表達式；(2)求出PBC的面積；(3)請問在對稱軸x=2右側(cè)的拋物線上是否存在點Q,使得以點A、B、C、Q所圍成的四邊形面積是PBC的面積的生？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.7211 .已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點A的坐標為(-1,0),對稱軸為直線x=-2,點C是拋物線與y軸的交點，點D是拋物線上另一點，已知以O(shè)C為一邊的矩形OCDE的面積為8.(1)寫出點D坐標并

7、求此拋物線的解析式；(2)若點P是拋物線在x軸上方的一個動點，且始終保持PQ，x軸，垂足為點Q,是否存在這樣的點，使得PQBsBOC?若存在求出點P的坐標，若不存在，請說明理由.12 .如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點為(1,-3),并經(jīng)過點C(2,0).(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)直線y=3x與該二次函數(shù)的圖象交于點B(非原點)，求點B的坐標和AOB的面積;(3)點Q在x軸上運動，求出所有AOQ是等腰三角形的點Q的坐標.另一點C,與y軸交于點B (0, 3),對稱軸是直線x= - 1,頂點是M .0),與x軸交于(1)直接寫出二次函數(shù)的解析式：;(2)點P是拋物線上的動點，點D是對稱軸上的

8、動點，當(dāng)以P、D、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出此時點D的坐標：；(3)過原點的直線l平分MBC的面積，求l的解析式.題(1)(2)圖題(3)圖214 .已知拋物線y=ax+bx+c(aw0)的頂點坐標為(4,-),且與y軸父于點C(0,2),3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左邊).(1)求拋物線的解析式及A,B兩點的坐標；(2)在(1)中拋物線的對稱軸l上是否存在一點P,使AP+CP的值最?。咳舸嬖?，求AP+CP的最小值，若不存在，請說明理由.15 .已知二次函數(shù)y=ax"4x+c的圖象過點(-1,0)和點(2,-9).(1)求該二次函數(shù)的解析式并寫出其對稱軸；

9、(2)已知點P(2,-2),連結(jié)OP,在x軸上找一點M,使OPM是等腰三角形，請直接寫出點M的坐標(不寫求解過程).16 .如圖，已知直線y=-x+3分別交x軸、y軸于B、C兩點，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過B、C兩點，點A是拋物線與x軸的另一個交點(與B點不重合).連接AC,AO:CO=1:3.(1)求ABC的面積；(2)求拋物線的解析式；(3)在拋物線上，是否存在與點C不重合白一點P,使PAB的面積與ABC的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.1017,已知：二次函數(shù)y=x2+2x-3與x軸交于點A、點B(點A在點B左邊)，與y軸交于點C,點D是拋物線的頂點.連接AD

10、、CD,過點A、點C作直線AC.(1)求點B、D的坐標及直線AC的解析式；(2)若點E為拋物線上一點，點F為直線AC上一點，且E、F兩點的縱坐標都是2,求線段EF的長；(3)該拋物線上是否存在點P,使得/APB=/ADC?若存在，求出P的坐標；若不存在，請說明理由.18 .在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-3,0)、B(0,3)、C(1,0)三點.(1)求拋物線的解析式和它的頂點坐標；(2)若在該拋物線的對稱軸l上存在一點M,使MB+MC的值最小，求點M的坐標以及MB+MC的最小值；(3)若點P、Q分別是拋物線的對稱軸l上兩動點，且坐標標分別為m,m+2,當(dāng)四邊形C

11、BQP周長最小時，求出此時點P、Q的坐標以及四邊形CBQP周長的最小值.備用圖19 .如圖，拋物線y=ax2+bx(a>0)與雙曲線尸上相交于點A,B.已知點B的坐標為(-2,-2),點A在第一象PM內(nèi)，且tan/AOx=4.過點A作直線AC/x軸，交拋物線于另一點C.(1)請直接寫出雙曲線和直線AB的解析式，求出拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上能否找到點D,使BCD周長最短，請求出點D的坐標和直接寫出此時BCD周長；(2)在直線AB的下方的拋物線上找一點P,使ABP的面積最大.并求出點P的坐標和20 .如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于A(0,4),且拋物線經(jīng)過點C

12、(-3,-2),，一E對稱軸x=.2(1)求出拋物線的解析式；(2)過點C作x軸的平行線交拋物線于B點，連接AC,AB,若在拋物線上有一點D,使得萬ABC=SBCD,求D點的坐標；(3)記拋物線與x軸左交點為E,在A、E兩點之間的拋物線上有一點F,連接AE、FE、FA,試求出使得Saaef面積最大時，F(xiàn)點的坐標以及此時的面積.r21 .如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A、B兩點，點A的坐標為(-1,0),拋物線的對稱軸為直線起萼.點M為線段AB上一點，過M作x軸的垂線交拋物線于P,交過點A2的直線y=-x+n于點C.(1)求直線AC及拋物線的解析式；(2)若FM,，求pc的長；(3)

13、過P作PQ/AB交拋物線于點Q,過Q作QN，x軸于N,若點P在Q左側(cè)，矩形PMNQ的周長記為d,求d的最大值.22 .如圖，已知二次函數(shù)y=-JLx2+gx+4的圖象與y軸交于點A,與x軸交于B、C兩點,42其對稱軸與x軸交于點D,連接AC.(1)點A的坐標為，點C的坐標為;(2) AABC是直角三角形嗎？若是，請給予證明；(3)線段AC上是否存在點E,使彳EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由.23 .如圖，已知平面直角坐標系xOy,拋物線y=-x2+bx+c過點A(4,0)、B(1,3).(1)求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的頂點坐標；(2)在x

14、軸的正半軸上是否存在點P,使得PAB是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.%5432124 .如圖，直線y=kx+b交x軸于點A(-1,0),交y軸于B點，tan/BAO=3;過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C(3,0).(1)求直線AB的表達式；(2)求拋物線的表達式；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由.25.如圖,拋物線 物線的頂點坐標為y=ax2+bx+c(aw0)與直線y=kx+b交于A(3,0)、C(0,3)兩點，拋Q(2,-1).點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動(點

15、P與A不重合)，過點P作PD/y軸，交直線AC于點D.(1)求該拋物線的解析式；A、P、E、(2)設(shè)P點的橫坐標為t,PD的長度為1,求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求l取最大值時,點P的坐標.(3)在問題(2)的結(jié)論下，若點E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由.26 .在平面直角坐標系xOy中，拋物線尸一巾:戈2+工坨,+加26Mg經(jīng)過原點O,83點B(-2,n)在這條拋物線上.(1)求拋物線的解析式；(2)將直線y=-2x沿y軸向下平移b個單位后得到直線1,若直線l經(jīng)過B點，求n、b的值；(3)在(2)的條件下，設(shè)拋物線的對稱

16、軸與x軸交于點C,直線1與y軸交于點D,且與拋物線的對稱軸交于點E.若P是拋物線上一點，且PB=PE,求P點的坐標.27 .如圖，已知拋物線y=x2-(m2-2)x-2m與x軸交與點A(x1，0),B(x2,0),與y軸交與點C,且滿足二4二二.町x22(1)求這條拋物線的解析式；(2)若點M是這條拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)MB+MC的值最小時，求點M的坐標.228 .如圖，已知拋物線y=-x+bx+c與x軸負半軸父于點A,與y軸正半軸父于點B,且OA=OB.(1)求b+c的值；(2)若點C在拋物線上，且四邊形OABC是平行四邊形，求拋物線的解析式；(3)在(2)條件下，點P(不與A、C重合

17、)是拋物線上的一點，點M是y軸上一點，當(dāng)BPM是等腰直角三角形時，求點M的坐標.ii29 .如圖，拋物線y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于點A(xi,0),B(x2.0),其中xi<X2,與y軸交于點C(0,3),且xi,x2滿足2(xi+x2)+xix2-1=0.(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；(2)P為線段BD上的一個動點，過點P作PMXX軸于點M,求四邊形PMAC的面積的最大值和此時點P的坐標.30.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A(-i,0)和點B(2,0).P為拋物線在x軸上方的一點(不落在y軸上)，過點P作PD/x軸交y軸于點D,PC

18、/y軸交x軸于點C.設(shè)點P的橫坐標為m,矩形PDOC的周長為L.(i)求b和c的值.(2)求L與m之間的函數(shù)關(guān)系式.(3)當(dāng)矩形PDOC為正方形時，求m的值.2016年10月26日二次函數(shù)壓軸2參考答案與試題解析一.解答題（共30小題）1.（2014?無錫校級模擬）如圖，在4ABC中，/BAC=90,BC/x軸，拋物線y=ax2-2ax+3經(jīng)過ABC的三個頂點，并且與x軸交于點D、E,點A為拋物線的頂點.（1）求拋物線的解析式；（2）連接CD,在拋物線的對稱軸上是否存在一點P使PCD為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的

19、性質(zhì).【專題】計算題.【分析】（1）BC與拋物線的對稱軸于F點，先根據(jù)拋物線的性質(zhì)得到對稱軸為直線x=1,由于BC/x軸，根據(jù)拋物線的對稱性得到B點和C點關(guān)于直線x=1對稱軸，則AB=AC,于是可判斷ABC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AF=BF=1,所以可確定A點坐標為（1,4）,然后把A點坐標代入y=ax2-2ax+3求出a即可得到拋物線解析式為y=-x2+2x+3;（2）先根據(jù)拋物線與x軸的交點問題得到D點坐標為（-1,0）,設(shè)P點坐標為（1,t）,利用兩點之間的距離公式得到CD2=32+（2+1）2=18,PC2=12+（t-3）2,PD2=22+t2,然后分類討論：當(dāng)C

20、D2=PC2+PD2,即18=12+（t3）2+22+t2,解得t1=-蟲上，t2=jWn22此時P點坐標為（1,3A）,（1,上M3）；當(dāng)pd2=cd2+PC2,即22+t2=18+12+（t-3）222,解得t=4,此時P點坐標為（1,4）,;當(dāng)PC2=CD2+PD2,即12+（t-3）2=18+22+t2,解得t=-2,此時P點坐標為（1,-2）.【解答】解：（1）BC與拋物線的對稱軸于F點，如圖，拋物線的對稱軸為直線x=-二士=1,2a.BC/x軸， .B點和C點關(guān)于直線x=1對稱軸，.AB=AC,而/BAC=90,.ABC為等腰直角三角形，AF=BF=1, A點坐標為（1,4）,把A

21、（1,4）代入y=ax22ax+3得a2a+3=4,解得a=-1,，拋物線解析式為y=-x2+2x+3;（2）令y=0,則-x2+2x+3=0,解得x1=1,x2=3, .D點坐標為（-1,0）,設(shè)P點坐標為（1,t）, CD2=32+（2+1）2=18,PC2=12+（t-3）2,PD2=22+t2,當(dāng)CD2=PC2+PD2,即18=12+（t3）2+22+t2,解得t1=3-V17t2=J?h叵此時P點坐2，2標為（1,”坨）,（1,生叵）；22當(dāng)PD2=CD2+PC2,即22+t2=18+12+（t-3）2,解得t=4,此時P點坐標為（1,4）,;當(dāng)PC2=CD2+PD2,即12+（t-

22、3）2=18+22+t2,解得t=-2,此時P點坐標為（1,-2）;，符合條件的點P的坐標為（1,"妤）或（1,如叵）或（1,4）或（1,-2）.2270【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，aw0)與x軸的交點坐標，令y=0,即ax2+bx+c=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標.也考查了分類討論的思想和兩點之間的距離公式.2. (2014?鎮(zhèn)江一模)如圖，拋物線y=x2+bx-2與x軸交于A, B兩點，與y軸交于C點,且A(T,0).(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式及頂點D的坐標；(2)若點M是拋物線對稱軸上的一個動點，求CM

23、+AM的最小值.【考點】拋物線與x軸的交點；軸對稱-最短路線問題.【分析】(1)把A的坐標代入拋物線的解析式可求出b的值，進而得到拋物線的解析式，利用配方法即可求出頂點D的坐標；(2)首先求出C,A,B的坐標，根據(jù)拋物線的對稱性可知AM=BM.所以AM+CM=BM+CM>BC=2衣.【解答】解：(1)二點A(-1,0)在拋物線y=JLx2+bx-2±,2b=-a,2，拋物線解析式y(tǒng)=-x2-5.x-2,22,拋物線y=x2-x-2=(x一旦)2-,22228頂點D的坐標(上,一至)；28(2)當(dāng)x=0時，y=-2,C(0,-2).OC=2,當(dāng)y=0時，0=A_x28x2,22解

24、得：x=4或-1, B(4,0), .OB=4,由拋物線的性質(zhì)可知：點A和B是對稱點， .AM=BM,.AM+CM=BM+CM>BC=2企.CM+AM的最小值是2、斤.【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及拋物線和拋物線的交點問題，利用拋物線的對稱性得到AM+CM=BM+CM>BC=2旄是解題的關(guān)鍵.3.(2014?重慶模擬)如圖，已知直線y=x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B.拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸交于另一個點C,對稱軸與直線AB交于點E.(1)求拋物線的解析式；(2)在第三象限內(nèi)、F為拋物線上一點，以A、E、F為頂點的三角形面積為4,求

25、點F的坐標；(3)連接B、C,點P是線段，AB上一點，作PQ平行于x軸交線段BC于點Q,過P作PMx軸于M,過Q作QNx軸于N,求矩形PQNM面積的最大值和P點的坐標.【考點】二次函數(shù)綜合題.A、B點的坐標，將其代入拋物線中，即可求出拋物線解【分析】(1)由直線解析式可求出析式;(2)由直線解析式和拋物線對稱軸解析式可求出交點E的坐標，可隨之求出AE的長度，由三角形的面積為4,可得出點F到直線AB的距離，設(shè)出F點的坐標，套用點到直線的距離公式即可求得F的坐標；(3)設(shè)出P點的坐標，用未知數(shù)n表示出Q的坐標，由矩形的面積公式可得出含n的代數(shù)式，利用解極值問題即可得出矩形PQNM面積的最大值和P點

26、的坐標.【解答】解：(1)直線y=x+3與x、y軸的交點分別為A(-3,0)、B(0,3),將A、B坐標代入拋物線解析式得：產(chǎn)-9-3b+c解得了Tl3=cc-3，拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.(2)二,拋物線的解析式y(tǒng)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,，拋物線的對稱軸為x=-1,s=- 1 /曰，得*x= - 1即點E坐標為(-1,2),，AE=2&.設(shè)F點坐標為(m,-m2-2m+3).AEF的面積為4,.F點到直線AE的距離為瓜.丁2-=£j=2后即|m2+3m|=4,解m2+3m=4,得m=1,m2=4;解m2+3m=4,無解.丁點F在第三象限，mv0,

27、即m=-4,此時點F的坐標為(-4,-5).(3)依照題意畫出圖形，如下，令y=(x+1)2+4=0,解得x=1,x=3,點C坐標為(1,0).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,則有3:b,解得0二-3LO=k+bb=3即直線BC的解析式為y=-3x+3.設(shè)P點坐標為（n,n+3）（其中-3vnv0）,則Q點坐標為（-,n+3）,M點坐標為（n,30）,N點坐標為（-0）.1.PM=n+3,PQ=-n=-An,332矩形PMNQ的面積=PMXPQ=（n+3）x（且n）=-A（n2+3n）=9缶遂）+3.333咂故當(dāng)n=-W時，矩形PMNQ的面積最大，最大面積為3.2此時P點坐標為（-,）.22

28、【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，解題的關(guān)鍵：（1）由直線解析式求出A、B兩點坐標，再代入拋物線解析式即可；（2）先找出線段AE的長度，再根據(jù)點到直線的距離來表示出面積；（3）設(shè)出P點坐標，利用含n的代數(shù)式表示出矩形面積，由求極值的方法解決問題.4. （2014邙坪壩區(qū)校級二模）在平面直角坐標系中，拋物線y=Jx2-x-2的頂點為點D,與直線y=kx在第一象限內(nèi)交于點A,且點A的橫坐標為4;直線OA與拋物線的對稱軸交于點C.（1）求AOD的面積；（2）若點F為線段OA上一點，過點F作EF/CD交拋物線于點E,求線段EF的最大值及此時點E坐標；（3）如圖2,點P為該拋物線在第四象限部分上一點

29、，且/POA=45°,求出點P的坐標.【考點】二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)在圖1中求出的A、D坐標，利用SaAOD=S梯形AHMD-S”O(jiān)H-SaDOH即可求解.(2)直線OA的解析式為y=-Lx,EF/y軸，可以假設(shè)E(m,m2-m-2),F(m,m),222根據(jù)EF=Xm-(Jim2-m-2)=(m-)2+義_即可解決.22228(3)在圖2中，構(gòu)造AEOAHMA,只要證明OAH是等腰直角三角形，求出點H坐標，再求出直線OH與拋物線的交點P即可.【解答】解：(1)如圖1中，作AHy軸DM，y軸垂足分別為H、M.y=-x2-x-2=(x-1)222 頂點D坐標(1,-9),2，點

30、A橫坐標為4,.點A的坐標為(4,2), SAAOD=S 梯形 AHMD _ SAAOH - SADOH =1+4Q1S1._X-X1X-X2X4=6.(2)二直線OA的解析式為y=x,EF/y軸,2可以假設(shè)E(m,m2-m-2),F(m,m),22EEF=m-(m2-m-2)=-(m-)2+-,1922228 當(dāng)m=士時，EF有最大值二名，此時的E坐標為(士282(3)如圖2中，作AE，y軸垂足為H,延長EA到M使彳導(dǎo)AM=EO,過點M作MH，EM,過點A作AO的垂線交MH于H. ./AEO=/OAH=/AMH=90°,/EOA+ZEAO=90°,/EAO+ZMAH=90

31、°,/EOA=/MAH,在AEO和HMA中，'NEOA:/MAHOE-AH，lZAEO=ZAMHAEOAHMA,.OA=AH,AE=HM=4,./OAH=90°,./AOH=/AHO=45°,，點H坐標為（6,-2）,設(shè)直線OH為y=kx，點H坐標代入得到k=,3直線OH為y=-Xx,點P在第四象限,3'2+2V10尾/日x=3解得“1r，點P坐標為（¥-）_2+2V1Q【點評】本題考查二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、坐標系中三角形面積的計算，第三個問題巧妙構(gòu)造全等三角形，解決45度角問題，屬于中考壓軸題.5. (2014?廣東模擬)

32、如圖，已知拋物線Li：yi=x2,平移后經(jīng)過點A(-1,0),B(4,40)得到拋物線L2,與y軸交于點C.(1)求拋物線L2的解析式；(2)判斷ABC的形狀，并說明理由；(3)點P為拋物線L2上的動點，過點P作PD，x軸，與拋物線Li交于點D,是否存在PD=2OC?若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.【考點】二次函數(shù)綜合題.在平移過【分析】(1)由于二次函數(shù)的二次項系數(shù)表示的是拋物線的開口大小和開口方向,程中，拋物線的形狀沒有發(fā)生變化，所以二次項系數(shù)仍為更，已知了平移后的拋物線經(jīng)過x4軸上的A、B兩點，可由待定系數(shù)法求出平移后的拋物線解析式；(2)由坐標軸上點的特征可得C(0,-3)

33、,根據(jù)兩點間的距離公式得到AB,BC,AC的值，再根據(jù)等腰三角形的判定即可求解；(3)可設(shè)P(a,2a2-Aa-3),D(a,a2),根據(jù)PD=2OC,列出方程即可求解.444【解答】解：(1)設(shè)拋物線L2的解析式為y=2x2+bx+c,經(jīng)過點A(-1,0),B(4,0),4-b+c-0根據(jù)題意，得,4,12+4b+c=0b二言解得4c=3<，拋物線L2的解析式為y=x2-x-3.44(2)ABC的形狀是等腰三角形.理由：根據(jù)題意，得C(0,-3),.AB=4-(1)=5,BC=V42+32=5,AC=412+32=7Hi,.ABC的形狀是等腰三角形.(3)存在PD=2OC.設(shè)P(a,J

34、ia2-2a-3),D(a,a2),444根據(jù)題意，得PD=|&a29a3aa2|=|ga+3|,OC=3,4444當(dāng)l=a+3|=6時，斛得ai=,a2=-4.43Pi(-,皂)，P2(-4,18).33【點評】此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了二次函數(shù)圖象的平移、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角形的判定以及兩點間的距離等知識，綜合性較強，難度中等.6.(2014?哈爾濱校級模擬)拋物線y=ax2+bx+c(aw0)的頂點為P(1,-4),在x軸上截得的線段AB長為4個單位，OAVOB,拋物線與y軸交于點C.(1)求這個函數(shù)解析式；(2)試確定以B、C、P為頂點的三角形的形狀；(3)已

35、知在對稱軸上存在一點F使得4ACF周長最小，請寫出F點的坐標.【考點】二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)根據(jù)拋物線的頂點坐標以及在x軸上截得的線段AB長為4個單位，OAVOB,得出A,B點坐標，進而得出拋物線解析式即可；(2)利用網(wǎng)格以及勾股定理得出PC,BC,BP的長，進而得出BCP的形狀；(3)利用軸對稱求最短路徑的方法，首先確定F點位置，再求出直線BC的解析式，進而得出F點坐標.【解答】解：(1)如圖所示：:拋物線y=ax2+bx+c(aw0)的頂點為P(1,-4),在x軸上截得的線段AB長為4個單位，OAvOB,.A點到對稱軸直線x=1的距離為2,B點到對稱軸直線x=1的距離為2,.A點坐

36、標為；(-1,0),B點坐標為；(3,0),設(shè)拋物線解析式為：y=a(x-1)-4,.-0=a(-1-1)2-4,解得：a=1,，函數(shù)解析式為：y=x2-2x-3;(2)如圖所示： y=x22x3的圖象與y軸交于點C(0,-3),PC=®BC=3MBP=V55=2遙，.PC2+BC2=bp2, 以B、C、P為頂點的三角形的形狀是直角三角形；(3)存在；理由：如圖所示：:A,B點關(guān)于直線x=1對稱， BC與直線x=1的交點即為F點，此時ACF周長最小,設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b,%二-3 ，3k+b=0解得：,，b=-3 直線BC的解析式為：y=x-3,當(dāng)x=1時，y=-2,.

37、F(1,-2).airii二3可士【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理以及逆定理和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、利用軸對稱求最短路徑應(yīng)用等知識，根據(jù)題意正確畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵.7. (2014%寸開縣二模)如圖，已知拋物線廠方工+bx+c與x軸交于A(-4,0)和B(1,0)兩點，與y軸交于C點.(1)求此拋物線的解析式；(2)若P為拋物線上A、C兩點間的一個動點，過P作y軸的平行線，交AC于Q點，當(dāng)P點運動到什么位置時，線段PQ的長最大，并求此時P點的坐標.【考點】二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)直接將A (-4, 0), B (1, 0)兩點代入拋物線解析式求出即

38、可;(2)首先求出直線 AC的解析式，再利用拋物線上和直線上點的坐標性質(zhì)得出 即可.【解答】 解：(1)由二次函數(shù) y=Lx2+bx+c與x軸交于A (-4, 0), B (1, 2yX (- 4 )2 - 4b+c=012'y X 1 +b+c=OL乙PQ的長度兩點可得:故所求二次函數(shù)解析式為：y=x2+x-2;22(2)由拋物線與y軸的交點為C,則C點坐標為：(0,-2),若設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b,則有.0二-4k+bfk=-解得：，2,b=-2故直線AC的解析式為:若設(shè)P點的坐標為：(a,-La2+-la-2),22又Q點是過點P所彳y軸的平行線與直線AC的交點,則Q

39、點的坐標為：(a,-a-2),則有：2；PQ= - -a- 2 - ( a +-：2222a-2)=a2-2a=(a+2)2+2,22即當(dāng)a=-2時，線段PQ的長取最大值，此時P點的坐標為(-2,-3).【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法等知識，根據(jù)圖象上點的坐標性質(zhì)表示出PQ的長是解題關(guān)鍵.8. (2014?重慶模擬)如圖，拋物線y=-x2+ax+8(aw0)于x軸從左到右交于點A,B于y軸交于點C于直線y=kx+b交于點c和點D(m,5),tan/DCO=1(1)求拋物線與直線CD的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上有點E,使EA+EC的值最小，求

40、最小值和點E的坐標；(3)點F為在直線CD上方的拋物線上任意一點，作FGXCD于點G,作FH/y軸，與直線CD交于點H,求FGH的周長的最大值和對應(yīng)的點F的坐標.【考點】二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)作DM，x軸于點M,根據(jù)tan/DCO=1,則/DCM=45°,CDM是等腰直角三角形，求得D的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線和直線CD的解析式；(2)首先求得A和B的坐標，以及拋物線的對稱軸，直線BC與對稱軸的交點就是點E,首先求得BC的解析式，則E的坐標即可求得；(3)AFGH是等腰直角三角形，當(dāng)FG最大時，F(xiàn)GH的周長的最大，設(shè)與CD平行，且與拋物線只有一個公共點的直線，利用根

41、的判別式即可求得直線的解析式，進而求得唯一的公共點，即F的坐標，求得FGH的周長.【解答】解：(1)作DM，x軸于點M.在y=x2+ax+8中令x=0,貝Uy=8,貝UC的坐標是(0,8),即OC=8.D的縱坐標是5, .M的坐標是(0,5),即OM=5.CM=OC-OM=8-5=3. .tanZDCO=1, ./DCM=45°,則CDM是等腰三角形.DM=CM=3, .D的坐標是(3,5).把(3,5)代入y=-x2+ax+8得：一9+3a+8=5,解得：a=2.則二次函數(shù)的解析式是y=-x2+2x+8;設(shè)CD的解析式是y=kx+b,則修+b=5Lb=8（k二1解得：，b二8則直線

42、CD的解析式是y=-x+8;（2）拋物線的對稱軸是x=1.在y=x2+2x+8中，令y=0,則x2+2x+8=0,解得：x=4或2.則A的坐標是（-2,0）,B的坐標是（4,0）,BC=g2+42=475,EA+EC的值最值是4巡.設(shè)BC的解析式是y=dx+e,則（4打0Le=8-2解得：J一，J二8則BC的解析式是y=-2x+8.令x=1,y=-2+8=6,則E的坐標是（1,6）;（3）設(shè)與CD平行，且與拋物線只有一個公共點的直線解析式是y=-x+d,rr2貝Ix+2x+8=-x+d,2即x-3x+（d-8）=0,=9-4（d-8）=0,解得：.4335、則F的坐標是（在 y= x+8 中,

43、-,-,24令y=，貝卜x+8=25,解得x=一且，即H的坐標是（1,匹）.44444貝UFG=HG=亞|=返X旦二,2248則AFGH的周長是2X844【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，理解直線與拋物線的交點的個數(shù)的判斷，求得F的坐標是解決本題的關(guān)鍵.9.(2014?竹山縣模擬)如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A,B(1,0),與y軸交于點C(0,3).(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點P在直線AC上，若Sapao：Sapco=2:1,求P點坐標；(3)如圖，若點C關(guān)于對稱軸對稱的點為D,點E的坐標為(-2,0),F是OC的中點，連接DF,Q為線段AD上的一點，若/

44、EQF=/ADF,求線段EQ的長.圖圖【考點】二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)把B(1.0)、C(0,3)兩點代入y=x2+bx+c即可解決.ptAIM9(2)如圖中，作PM±AB垂直為M,由PM/CO,得二二幽=£求出am,即可解決PCMO1問題.(3)如圖中，連接CD,延長DF交x軸于H,先證明HD=HA,再證明QAEFDQ,得L=&L,設(shè)AQ=m,則DQ=AD-AQ=-m,列出方程即可解決.DFDQ【解答】解：(1)把B(1.0)、C(0,3)兩點代入y=x2+bx+c得Jc-3解得1°二-？，1-l+b+c=O(c=3所以拋物線解析式為y=-x2-2

45、x+3.(2)如圖中，作PM±AB垂直為M,令y=0,貝Ux22x+3=0,解得x=-3或1, 點A(3,0),點B(1,0),點C(0,3),It'"5-1,1設(shè)直線AC為丫=h+3把A、C兩點坐標代入得,-解得.I-3k+b=0Ib=3，直線AC為y=x+3,設(shè)點P(m,m+3),若S"AO：SaPCO=2:1, .PA:Pc=2:1,.PM/CO,.PA_AH_2 =,PCMO1.AM=2,MO=1,m=-1, 點P坐標為(-1,2).(3)如圖中，連接CD,延長DF交x軸于H.DC/OH, ./CDF=/OHF,在CDF和OHF中，fZCDF=Z0

46、HF NDFC=/OFH,JC=OFCDFAOHF,DC=OH, 點C(0,3),點D(2,3), 點H(2,0),DH=G、？=5，,.AH=5,HD=HA,/HDA=/HAD,./AQF=/ADF+/DFQ=/AQE+/EQF,/EQF=/ADF,/AQE=/DFQ,/QAE=/QDF,QAEAFDQ,.=,設(shè)AQ=m,貝UDQ=AD-AQ=V1Q-m,DFDQI=里2.m=VTO2-AD= <10,aq=2M,2，AQ=QD,點Q坐標(一心，9),二點E(2,0),22QE=J(_|W+e|產(chǎn)半圖【點評】本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)勾股

47、定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，學(xué)會把問題轉(zhuǎn)化為方程，屬于中考壓軸題.10. (2014?萬州區(qū)校級模擬)如圖，直線y=-x+3與x軸，y軸分別相交于點B,點C,經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=ax2+bx+c(aw0)與x軸的另一交點為A,頂點為P,且對稱軸是直線x=2.(1)求A點的坐標及該拋物線的函數(shù)表達式；(2)求出PBC的面積；(3)請問在對稱軸x=2右側(cè)的拋物線上是否存在點Q,使得以點A、B、C、Q所圍成的四邊形面積是PBC的面積的若?若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.Ix=2CA【考點】二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)先由直線

48、y，x+3與x軸，y軸分別相交于點B,點C,求出B(3,0),C(0,3),再根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2,求出與x軸的另一交點A的坐標為(1,20),然后將A(1,0),B(3,0),C(0,3)代入y=ax+bx+c,運用待te系數(shù)法即可求出該拋物線的函數(shù)表達式；(2)先利用配方法將二次函數(shù)寫成頂點式，得到頂點P的坐標，再設(shè)拋物線的對稱軸交直線y=x+3于點M,由PM/y軸，得出M的坐標，然后根據(jù)Spbc=L?PM?|xc-xb|即可2求出PBC的面積；(3)設(shè)Q(m,m2-4m+3),首先求出以點A、B、C、Q所圍成的四邊形面積=gLszXPBC=a_X3=8L.再

49、分兩種情況進行討論：當(dāng)點Q在PB段時，由S四邊形ACBQ=SaABC+Sa24ABQ=3+|yQ|,得出丫。1="3=，即m2+4m3二*，解方程求出m的值，得至UQi的坐標；當(dāng)點Q在BE段時，過Q點作QH，x軸，交直線于H,連ZBQ.由S四邊形ACQB二Sabc+Sacbq=3+(m2-3m),得出(m2-3m)=-3=,解方程求出m的值，得至U222424Q2的坐標.【解答】解：(1)二直線y=-x+3與x軸，y軸分別相交于點B,點C,.B(3,0),C(0,3).又,拋物線y=ax2+bx+c(aw。)過x軸上的A,B兩點，且對稱軸是直線x=2,.點A的坐標為(1,0).將A(

50、1,0),B(3,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c,a+b+c=0得79a+3b+c=0,解得*b二一4,，該拋物線的函數(shù)表達式為y=x2-4x+3;(2)如圖，連結(jié)PB、PC.y=x2-4x+3=(x-2)2-1,，頂點P的坐標為(2,-1).設(shè)拋物線的對稱軸交直線y=-x+3于點M,1.PM/y軸,M(2,1),Sapbc=?PM?|xc-xbI=x(1+1)x3=3;22(3)由圖可知，點Q應(yīng)分為兩種情況：在PB段或在BE段.以點A、B、C、Q所圍成的四邊形面積=2LSapbc=9Lx3=2L.727224設(shè)Q(m,m2-4m+3).當(dāng)點Q在PB段時，S四邊形acbq=Sabc

51、+Szabq=Lx2x3+x2|yQ|=3+|yQ|,22|yQ|=-3=12,24241-1m2-4m+3|=-i-,即m2+4m3=t,2424解得mi=2+1i,m2=2Yli,又點Q在對稱軸的右側(cè)，則m=2+H,當(dāng)點Q在BE段時，過Q點作QH±x軸，交直線于H,連結(jié)BQ,則H(m,-m+3).,S四邊形ACQB=SaABC+SaCBQ=X2X3+X2(SaCHQ-Sabhq)=3+|yQ-yH|?|XC-222xb|=3+(m2-3m),2(m2-3m)=-3=,22424解得m1=衛(wèi)！m2=-i.又點Q在對稱軸的右側(cè)，則 .Q2 （,上）. 綜上所述，當(dāng)Qi （24粵，12

52、_ Q1形面積是 PBC的面積的721924,、1913,）或Q2 （耳，）時，點A、B、C、Q所圍成的四邊636【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，拋物線的頂點坐標求法，三角形、四邊形的面積求法.綜合性較強，有一定難度.運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵.11.(2014?惠山區(qū)二模)已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點A的坐標為(-1,0),對稱軸為直線x=-2,點C是拋物線與y軸的交點，點D是拋物線上另一點，已知以O(shè)C為一邊的矩形OCDE的面積為8.(1)寫出點D坐標并求此拋物線的解析式；(2)若點P是拋物線在x軸上

53、方的一個動點，且始終保持PQ，x軸，垂足為點Q,是否存在這樣的點，使得PQBsBOC?若存在求出點P的坐標，若不存在，請說明理由.【分析】（1）根據(jù)矩形OCDE的面積為8和拋物線對稱軸為直線x=-2,可得點C坐標,進一步彳#到點D坐標；再根據(jù)拋物線的交點式，利用待定系數(shù)法得到拋物線的解析式；（2）分點P在對稱軸的左邊和點P在對稱軸的右邊兩種情況討論，可求點P的坐標.【解答】解：（1）矩形OCDE的面積為8,拋物線對稱軸為直線x=-2, .OE=4,，OC=8+4=2, 點C坐標為（0,2）, 點D坐標為（-4,2）, 點A的坐標為（-1,0）, 點B的坐標為（-3,0）,設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x+3）,把點C坐標代入得3a=2,解得a=2.3故拋物線解析式為 y= （x+1） （x+3） =Z_x2+Sx+2;33、3（2）設(shè)點P的坐標為（m, m2+m+2）,33 點P在對稱軸的左邊時， PQBsboc ,鋁仔、2m2= - 3 （不合題意舍去），空，-）；48解得m1=-4射爭+嗎,，點P的坐標（-點P在對稱軸的右邊時，pqbaboc,一一；舟32'解得m1=&m2=-3（不合題意舍去）4m2+ m+2=3351T綜上所述，點p的坐標（-23,之）或（呈）.4848