SCARA機(jī)器人的拉格朗日動(dòng)力學(xué)建模

1、SCARA 機(jī) 器人 的 拉格朗日 動(dòng)力學(xué) 建 模崔敏 其 1,2(1. 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 工程研究院, 廣東 廣州 510800;2. 香港中文大學(xué) 機(jī)械與自動(dòng)化工程學(xué)系, 香港 來稿日期:2013-02-14作者簡介:崔敏其, (1987- , 男, 廣東廣州, 碩士研究生, 工程師, 主要研究方向:機(jī)器人技術(shù)及其應(yīng)用1引言拉格朗日公式是一種基于系統(tǒng)的做功及能量交換情況來推 導(dǎo)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的是一種數(shù)學(xué)解析法 。 拉格朗日公式和牛頓歐 拉迭代方法一樣, 常用于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的推導(dǎo) 。 針對(duì) SCARA 機(jī)器人, 使用拉格朗日公式法, 詳細(xì)地推導(dǎo)其動(dòng)力學(xué)方程, 并進(jìn)行 分析 。2SCA

2、RA 的正運(yùn)動(dòng)學(xué)在使用拉格朗日公式法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模前,首先需要完成 SCARA 機(jī)器人的正運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解(計(jì)算齊次變換矩陣和雅可比 矩陣 。如圖 1所示, 建立 SCARA 機(jī)器人的各連桿坐標(biāo)系, 并設(shè)定 各連桿參數(shù) 。 SCARA 機(jī)器人的 Denavit-Hartenberg 參數(shù), 如表 1所示 。表 1SCARA 機(jī)器人 Denavit-Hartenberg 連桿參數(shù)表Tab.1Denavit-Hartenberg Link Parameters of SCARA連桿 i i -1a i -1d i i 1000120L 1023L 2d 3044表中:i -1 連桿轉(zhuǎn)角; a i -1

3、 連桿長度; d i 連桿偏距; i 關(guān)節(jié)角 。由連桿變換矩陣公式:i -1iT =c i -s ia i -1s i c i -1c i c i -1-s i -1-s i -1d i s i s i -1c i s i -1c i -1c i -1d i0000000000000000000000000001(1和變換傳遞式:摘 要:以 SCARA 型 四 自 由 度 機(jī) 器人 為 研究對(duì) 象 , 采 用 Denavit-Hartenberg 方法建 立 SCARA 機(jī) 器人 的 運(yùn) 動(dòng)學(xué)模型 , 重點(diǎn) 使用 拉格朗日 公 式法 對(duì) SCARA 機(jī) 器人 的 動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行 了 詳細(xì) 地

4、推 導(dǎo) , 并 得 出 SCARA 機(jī) 器人 的 動(dòng)力學(xué) 方 程 。 同時(shí) 歸 納 使用 拉格朗日 公 式法推 導(dǎo) 機(jī) 器人 動(dòng)力學(xué)模型 的一 般 方法, 該 方法 適 用于 其 他 構(gòu) 型機(jī) 器人 的 動(dòng)力學(xué) 建 模 。 最 后 對(duì)機(jī)械 臂 動(dòng)力學(xué) 方 程 的一 般 形 式 進(jìn)行 解 析 。 使用 拉格朗日 公 式法 獲得 準(zhǔn) 確 的 機(jī) 器人 動(dòng)力學(xué)模型可 以為 機(jī) 器人 的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) 、 關(guān)鍵 件 的選 型 以及 控 制 器 的設(shè)計(jì)和 仿真 提 供 依 據(jù) 。關(guān)鍵詞:SCARA 機(jī)器人; 動(dòng)力學(xué)模型; 拉格朗日動(dòng)力學(xué)公式; 動(dòng)力學(xué)仿真 中圖分類號(hào):TH16; TP242文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編

5、號(hào):1001-3997(2013 12-0076-03Dynamical Modeling of SCARA Robot Based on Lagrange FormulationCUI Min-qi 1,2(1.Engineering Research Institute , Guangzhou College of South China University of Technology , Guangdong Guangzhou 510800, China ; 2.The Department of Mechanical and Automation Engineering , The

6、Chinese University of Hong Kong , Hong Kong ,China Abstract :It describes the derivation for the dynamical model of 4-DOF SCARA robot. Denavit-Hartenberg method was used to derive the kinematic model of SCARA robot. The dynamics model was derived based on Lagrange Formulation. The equations of motio

7、n for SCARA robot were presented by the result of the derivation. As well as describing the mathematical derivation , the procedures of using Lagrange Formulation method , which can be applied on the other robots with different configurations , were summarized here. At last , the dynamics equation o

8、f manipulator was analyzed. The accurate dynamics model which derived by Lagrange Formulation can contribute to the selection of major components , structure design , controler design and simulation for robots.Key Words :SCARA Robot ; Dynamics Model ; Lagrange Formulation ; Dynamics SimulationMachin

9、ery Design &Manufacture機(jī)械 設(shè)計(jì) 與制造第 12期 2013年 12月764T =01T ·12T ·23T ·34T(2可得, 機(jī)器末端 (4原點(diǎn) 到基坐標(biāo)系的齊次變換矩陣:04T =c 12-4s 12-40c 1L 1+c 12L 2s 12-4-c 12-40s 1L 1+s 12L 200-1-d 30000000000000000000000000001(3通過計(jì)算各連桿坐標(biāo)系關(guān)于 0坐標(biāo)系的齊次變換矩陣, 可 以計(jì)算出 SCARA 機(jī)器人的雅克比矩陣:J (軋 =-L 1s 1-L 2s 12-L 2s 1200L 1

10、c 1+L 2c 12L 2c 120000-1000000000110-軋軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋軋軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋1(4Z 贊 11h 1122Z 贊 23Z贊 3d 34Z 贊 44X 贊 1Y贊 1X贊 2Y贊 2X贊 3Y贊 3X 贊 4Y贊 4圖 1連桿坐標(biāo)系布局Fig.1Link Frames Assignment3拉格朗日公式法的一般步驟使用拉格朗日公式推導(dǎo)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程的一般步驟如 下:(1 選定機(jī)器人的廣義坐標(biāo) q 。 雖然廣義坐標(biāo)的選定并不唯 一, 但是一

11、般地, 優(yōu)先選擇使用 D-H 方法 (詳見 1 所確定的運(yùn)動(dòng) 學(xué)參數(shù);(2 確定作用在機(jī)器人系統(tǒng)上, 并且對(duì)系統(tǒng)可以做功的非保 守力;(3 計(jì)算機(jī)器人系統(tǒng)的總動(dòng)能 K 、 總勢(shì)能 U 以及拉格朗日量 L=K-U;(4計(jì)算拉格朗日公式所需的偏導(dǎo)數(shù); (5 計(jì)算機(jī)器人系統(tǒng)的廣義力 F ;(6 代入使用拉格朗日公式求得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程4動(dòng)力學(xué)模型的推導(dǎo)根據(jù)機(jī)器人的 Denavit-Hartenberg 連桿參數(shù), 選定機(jī)器人的 廣義坐標(biāo) q=(12d 34 T, 如圖 1所示 。確定作用在機(jī)器人系統(tǒng)上,并且對(duì)系統(tǒng)可以做功的非保守 力 。 假設(shè)機(jī)器人末端與環(huán)境的作用力 f 為 0, 那么對(duì)于 SCARA

12、 機(jī) 器人系統(tǒng)而言, “ 不做功的非保守力 ” 是各關(guān)節(jié)電機(jī)的驅(qū)動(dòng)力, 準(zhǔn) 確地說, 是各關(guān)節(jié)的輸入力矩 (力 。 它們分別是 1、 2、 3以及 4。計(jì)算機(jī)器人系統(tǒng)的總動(dòng)能 K 和總勢(shì)能 U ,然后計(jì)算拉格朗日量 L 。 為了計(jì)算機(jī)器人各連桿的動(dòng)能和勢(shì)能,定義機(jī)器人各連 桿的質(zhì)心分別為 C 1、 C 2、 C 3和 C 4, 各連桿質(zhì)心位置矢量分別為 p C 1、 p C 2、 p C 3和 p C 4, 如圖 2所示 。 設(shè)各連桿的質(zhì)量分別為 m 1、 m 2、 m 3、 m 4, 連桿 1關(guān)于其關(guān)節(jié)軸的慣性矩為 I 1,連桿 i 關(guān)于其質(zhì)心坐標(biāo)系 Z 軸的慣量矩為 I ZZi 。34h

13、32L C 1L 1L C 2C 1p C 1p C 2h 2L 2h 4C 4L C 4p C 4p C 3C 2C 3零勢(shì)能面h 11圖 2連桿質(zhì)心及位置向量Fig.2Mass Centers of Links and Position VectorsSCARA 機(jī)器人各連桿的質(zhì)心位置向量分別是:P C 1=(c 1L C 1s 1L C 1-h 1TP C 2=(c 1L 1+c 12L C 2s 1L 1+s 12L C 2-h 2 T P C 3=(c 1L 1+c 12L 2s 1L 1+s 12L 2h 3-d 3T P C 4=c 1L 1+c 12L 2+c 12-4L C

14、4s 1L 1+s 12L 2+s 12-4L C 4-d 3-h 4軋軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋 軋首先計(jì)算機(jī)器人各連桿的動(dòng)能 。 K 1=1I 1觶 21, K 2=1I zz 2觶 1+觶 2軋 軋 2+1m 2v C 22K 3=1I zz 3觶 1+觶 2軋 軋 2+1m 3v C 33, K 4=1I zz 4觶 1+觶 2-觶 4軋 軋 2+1m 4v C 42。 其中連桿 2、 3、 4的質(zhì)心線速度分別為:v C 2=觶 1L 1+觶 1+觶 2軋 軋 r xy 2v C 3=觶 1L 1+觶 1+觶 2軋 軋 L 2+r xy 3軋 軋 44

15、2+d 觶 3姨 v C 4=觶 1L 1+觶 1+觶 2姨 軋 L 2+觶 1+觶 2-觶 4軋 軋 r xy 44姨 2+d 觶 3姨 機(jī)器人總動(dòng)能為 K=K1+K 2+K 3+K 4。然后進(jìn)行各連桿的勢(shì)能計(jì)算 。 各連桿的勢(shì)能分別為 U 1=-m 1gh 1, U 2=-m2gh 2, U 3=m 3g (h 3-d 3 , U 4=-m 4g (d 3+h 4 。 機(jī)器人總勢(shì)能為 U=U 1+U 2+U 3+U 4。完成機(jī)器人總動(dòng)能 K 以及機(jī)器人總勢(shì)能 U 的計(jì)算后, 便可 以計(jì)算拉格朗日量 L=K-U, 由于篇幅的限制, 此處略去 L 的詳細(xì) 計(jì)算結(jié)果 。計(jì)算拉格朗日公式所需的偏導(dǎo)

16、數(shù):分別計(jì)算拉格朗日量 L 關(guān) 于各關(guān)節(jié)角速度的偏導(dǎo)數(shù) 墜 L 墜 q 觶 墜 L 墜 q 觶 關(guān)于時(shí)間 t 的導(dǎo)數(shù) d 墜 L 墜 q 觶 , 拉格朗日量 L 關(guān)于關(guān)節(jié)角 q 的偏導(dǎo)數(shù) 墜 L 。第 12期崔敏 其 等:SCARA 機(jī) 器人 的 拉格朗日 動(dòng)力學(xué) 建 模77參考文獻(xiàn)1胡耀斌, 厲善元, 胡良斌 . 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滾動(dòng)軸承故障診斷方法的研究 J . 機(jī)械設(shè)計(jì)與制造, 2012(2 :187-189.(Hu Yao-bin , Li Shan-yuan , Hu Liang-bin. Fault diagnosis of rollingbearing based on neura

17、l network J .Machinery Design&Manufacture, 2012(2 :187-189.2吳濤, 原思聰, 孟欣 . 滾動(dòng)軸承振動(dòng)診斷的 SOM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法 J . 機(jī)械設(shè)計(jì)與制造, 2010(1 :198-200.(Wu Tao , Yuan Si -cong , Meng Xin. Vibrating diagnosis of rollingbearings based on self -organizing feature map neural network J . Machinery Design&Manufacture, 2010(1

18、 :198-200.3杜文遼, 李安生, 孫旺 . 基于蟻群 SVDD 和聚類方法的旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診 斷 J . 上海交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 46(9 :1440-1444. (Du Wen-liao , Li An-sheng , Sun Wang.Fault diagnosis of rotating mec-hanism Based on ant colony SVDD algorithm and cluster method J for feature extraction and classification using artificial neural network (ANN

19、 J . OL .Expert Systems with Applications ,計(jì)算機(jī)器人系統(tǒng)的廣義力 F 。 假設(shè) SCARA 機(jī)器人各關(guān)節(jié)發(fā)生微小角位移 q ,可以計(jì)算在微小位移下機(jī)器人所做的虛功:W=11+22+3d 3+44+f TJ (q q=(1234 q+(J (q f Tq(5廣義力的計(jì)算方法為求虛功 W 關(guān)于微小角位移 q 的偏導(dǎo) 數(shù), 即:F=墜 W =(1234 T +JT(q f(6如前文所述, 假設(shè)機(jī)器人末端與環(huán)境的作用力 f 為 0, 則 J T (q f =0, 所以 SCARA 機(jī)器人所受到的廣義力為:F =(1234T (7將計(jì)算所得的各偏導(dǎo)數(shù)結(jié)果以及廣

20、義力分別代入使用拉格 朗日公式:d d t 墜 L 墜 q 觶 -墜 L 墜 q=F(8即可求得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程 。一般地, 機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程的一般形式為:H (q q 咬 +C(q , q 觶 +G(q =(9 式中:H (q 慣性矩陣, 它是一個(gè)角對(duì)稱矩陣, 各非零元素的取 值大小取決于機(jī)器人各關(guān)節(jié)角的大小 。 H (q q 咬 表征機(jī)器人 所受到的慣性力的大小 。C (q , q 觶 為離心力和科氏力矩陣, 表征 SCARA 機(jī)器人所受到 的離心力和科氏力的大小 。 離心力和科氏力矩陣各非零元素的取值大小取決于機(jī)器人各關(guān)節(jié)角的大小以及各關(guān)節(jié)角速度的大小 。 G (q 為重力矩陣, 表征 S

21、CARA 機(jī)器人所受到的重力的大 小 。 重力矩陣各非零元素的取值大小取決于機(jī)器人各關(guān)節(jié)角的大 小 。為關(guān)節(jié)力矩 (力 輸入矩陣 。 表征各軸電機(jī)通過傳動(dòng)裝置對(duì) 機(jī)器人各關(guān)節(jié)軸的輸入力矩 。將拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程整理成機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程一般形 式, 即可獲得 SCARA 機(jī)器人具體的動(dòng)力學(xué)方程:H 11H 120H 14H 21H 220H 2400H 330H 41H 420H 444444444444444444444444444444444H (q q咬 +C 1C 20C 44444444444444444444444444C (q , q 觶 +00G 34444444444444444

22、444444444G (q =12344444444444444444444444444(105結(jié)論使用拉格朗日公式法, 詳細(xì)地推導(dǎo)了 SCARA 機(jī)器人的動(dòng)力 學(xué)方程 (過程略 。 此推導(dǎo)過程適用于大部分機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)推導(dǎo) 問題 。 概括地說, 使用拉格朗日公式法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模的一般步驟 為:正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解, 求雅可比矩陣, 選定機(jī)器人的廣義坐標(biāo), 確定作 用在機(jī)器人系統(tǒng)上并且對(duì)系統(tǒng)可以做功的非保守力, 計(jì)算機(jī)器人系 統(tǒng)的總動(dòng)能 、總勢(shì)能以及拉格朗日量 、 拉格朗日公式所需的偏導(dǎo)數(shù) 、 機(jī)器人系統(tǒng)的廣義力, 最后將各參數(shù)代入拉格朗日公式, 并將其整理 成機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程一般形式 。 獲得準(zhǔn)確的

23、機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型有助于 機(jī)器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) 、 關(guān)鍵件的選型以及控制器的設(shè)計(jì)和仿真 。參考文獻(xiàn)1Craig J J. Introduction to Robotics:Mechanics and Control 3rd ed M .Prentice Hall , 2005:62-89. 2Megahed S F M. Principles of robot modelling and simulation M . JohnWiley &Sons ,Inc. , 1993:186-191.3Choset H M. Principles of Robot Motion:theory , algorithms , andimplementations M . MIT Press , 2005:2005:349-372.4Ishibashi N , Maeda Y. Learning of inverse-dynamics for SCARA robot C . SICE