根式的運算技巧

1、平方根與立方根一、知識要點1平方根：、定義：如果x2=a，則x叫做a的平方根，記作“.a"（a稱為被開方數(shù)）。、性質(zhì)：正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根。、算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“.a”。2、立方根：、定義：如果x345=a，則x叫做a的立方根，記作"a”（a稱為被開方數(shù)）。、性質(zhì)：正數(shù)有一個正的立方根；0的立方根是0；負數(shù)有一個負的立方根。3、開平方（開立方）：求一個數(shù)的平方根（立方根）的運算叫開平方（開立方）。二、規(guī)律總結(jié)：1、平方根是其本身的數(shù)是0；算術(shù)平方根是其本身的數(shù)是。和1；立方根是其本身的數(shù)是0和

2、土1。2每一個正數(shù)都有兩個互為相反數(shù)的平方根，其中正的那個是算術(shù)平方根；任何一個數(shù)都有唯一一個立方根，這個立方根的符號與原數(shù)相同。3 、.、a本身為非負數(shù)，即a>0;-a有意義的條件是a0。4 公式：（Ja）2=a（a>0）；（2）=Va（a取任何數(shù)）。5非負數(shù)的重要性質(zhì)：若幾個非負數(shù)之和等于0,則每一個非負數(shù)都為0（此性質(zhì)應用很廣，務必掌握）。例1求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根12(3)215(1)64;(2)(3);(3)1-;(4)49例2求下列各式的值(1) 81 ; ( 2)16 ;V25(4)(4產(chǎn).1.44,(6)36,(7)49(8)(25產(chǎn)例3、求下列各數(shù)的立方根

3、:(1)343；(2)210；27(3)0.729二、巧用被開方數(shù)的非負性求值大家知道，當a0時，a的平方根是土a,即a是非負數(shù).初4、蕓2X.X2V6.求V的立方根.練習：已知yv12x寸2x12,求xy的值.三、巧用正數(shù)的兩平方根是互為相反數(shù)求值我們知道，當a>0時，a的平方根是土a，而(，a)(,a)0.例5、已知：一個正數(shù)的平方根是2a-1與2-a，求a的平方的相反數(shù)的立方根法力共19旦蚪mMiUZ*卡日，土m的佰四、巧解方程例6、解方程(1)(X+1)2=36(2)27(X+1)3=64五、巧用算術(shù)平方根的最小值求值.當y最小時,我們已經(jīng)知道,a0,即a=0時其值最小，換句話說

4、.a的最小值是零.例4、已知：y=.a2,3(b1)，當a、b取不同的值時，y也有不同的值ehaMj非筲正卡卡日練習：1、若一個數(shù)的平方根是8，則這個數(shù)的立方根是(A.22、144的算術(shù)平方根是,16的平方根是;3、若m的平方根是5a1和a19，則m=.4、327=,.64的立方根是；5、7的平方根為,.1.21=;6、一個數(shù)的平方是9，則這個數(shù)是，一個數(shù)的立方根是1，則這個數(shù)是7、平方數(shù)是它本身的數(shù)是；平方數(shù)是它的相反數(shù)的數(shù)是；8、當x=時，3X1有意義；當x=時，35x2有意義；9、若X16，則x=；若3n81，則n=；10、若'.X3x，貝IJx=；若.x2X，貝x911、J15

5、的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,貝lja=,b=12、解方程：(xD2324(2)125(x2)334364(X3)2(4)1)313、已知3(z2)2。，求xyz的值。4X2八14、，求2xy的值.x22的平方根.15、已知：x2的平方根是土2,2x+y+7的立方根是3，求*16、若y,2x1.12x1，求xy的值。二次根式一、知識點1.二次根式：式子.a（a>0）叫做二次根式。2最簡二次根式：必須同時滿足下列條件：被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式；被開方數(shù)中不含分母；分母中不含根式。3 .同類二次根式：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式。a

6、 (：()° ( =0)；(.-v 0)4 .二次根式的性質(zhì)：（1）（a）2=a（a>o）5 .二次根式的運算：二次根式的加減運算：先把二次根式化成最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可。二次根式的乘除運算：ab=-a?-b（a0,b0）;b眷。，。【例題講解】16、若 y ,2x 1.1 2x 1，求xy的值。、利用二次根式的雙重非負性來解題.a0（a0），即一個非負數(shù)的算術(shù)平方根是一個非負數(shù)。）例I1：X取何值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。例2：若2004aa2005a，則a20042=丁2工1/小、l5x十42x15x4若yx33x4，則xy【基礎訓練】1、下列各式中一

7、定是二次根式的是（）。A、3；B、X；C、X21；D、.X12、若x（x1）X.X1，則X的取值范圍是3、若X則X的取值范圍是。x1Jx14、若J23m是一個正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是.5、設m、n滿足nm9_m2，貝y.mn=。m36、若三角形的三邊a、b、c滿足a24a4b3=0，則第三邊c的取值范圍是7、若|4x81xym0，且y0時，則（）二、利用二次根式的性質(zhì),a2=|a|=0（；0）（即一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個a（a0）數(shù)的絕對值）來解題【例題講解】例1:已知x33x2=-A. X< 0B.xw 3C .X >- 3 D.3 < X< 0例2例簡（

8、x2）1的結(jié)果為（ x2A、a0 ;B、a1；c、a0或1 ; D a 1,2xA、，2X；B、X2；【基礎訓練】1、已知a<b，化簡二次根式.a3b的正確結(jié)果是（）A.a.abB.a,abC.a、,abD.aJab2、若化簡|1-x|-x28x16的結(jié)果為2x-5貝9（）A、x為任意實數(shù)B、1<x<4C、x1D'x<4(be a) 2 =3、已知a,b,c為三角形的三邊，則（abc）2（bca）24、化簡|xy|x2（xy。）的結(jié)果是（）A,y2xB.yC.2xyD.y5、已知：a.12aa2=l，貝Ua的取值范圍是（三、二次根式的化簡與計算（主要依據(jù)是二次根

9、式的性質(zhì)：（一a）2=a（a0），即，a21al以及混合運算法則)【例題講解】(一)化簡與求值例1:把下列各式化成最簡二次根式：)33(2)412402(3)25m5(4)x4x2y2V82例二：計算：233；82550【基礎訓練】1、下列哪些是同類二次根式：(1).75,I,.12,2,、3,1；(2)3b3c,27耳50109/3.23ababc).；，alcbc；(3)4aV 5b V3c 5a2、計算下列各題:(1)6.27(3.3)3、已知i。，貝 yx等于()A . 4B ,± 2C . 2 D ,± 41<2<2<3.99,100(二)先化簡

10、，后求值:1直接代入法：已知x_L(75),y-r7«.5),2求(1)x5y2(2)2上xy2變形代入法:(1 )變條件：已知：X22，求XX1的值。V3132,求3x25xy+3y2的值已知:x=3232(2)變結(jié)論：1、設3=a，30=b，貝【.0.9=。5已知X21,y'21，求心已知xy5,xy3,(1)求J：的信(2)求的值vxJy四、關(guān)于求二次根式的整數(shù)部分與小數(shù)部分的問題1 估算31 - 2的值在哪兩個數(shù)之間()A. 12 B.23C.34D.452若,3的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是bU.3ab3已知9+13與913的小數(shù)部分分別是a和b，求ab3a+4b+8的

11、值4若a,b為有理數(shù)，且寸8+丁18+i1=a+A2，貝Hba二.丫8五、二次根式的比較大小(1)1200和2、.3(2)-5.6和6.5(3).17.15和15135(4)設a=,32b23,c52,貝口()A.abcB.acbC.cbaD.bca六、實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：9X2-5y24x4-4x2+1x4+x-6練習:1、若x,a,b,yB.2.bc.abdab2、若a2JT30,則a2b3、計算:(1)(2(3)，、先將說X3*2X2化簡，然后自選一個合適的川，代入化簡后的式子求值。5、如圖，實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，a1t-10化簡.a26、若J:，則；的取值范圍是A.一；：；匚B,；

12、*C.Z1B；：1D.<：-：17、如圖，數(shù)軸上a:三兩點表示的數(shù)分別為1和，點石關(guān)于點上的對稱點為點，貝U點J所表示的數(shù)是A.一B.叮；C.jD.j_:-1!-月壬8、已知：110，求a24八的值aa9、已知:x,y為實數(shù),且yp.P下1x3，化簡：|y3,y28yl62,“x3yx9一1。、已知-一-0,求-x3y11、先閱讀下列的解答過程，然后作答：有這樣一類題目：將.a2b化簡，若你能找到兩個數(shù)mn則a2b可變?yōu)閙2n22mn，即變成（mn）2開方，從而使得a2jb化簡。例如：52r6=322飛二（、,3）2（切222、3（、，3圈52.6（3.2）2.3,2請仿照上例解下列問題

13、：（1）526；（20423二次根式運算的技巧二次根式的運算通常是根據(jù)其運算法則進行計算的，但在計算過程中若能巧妙地運用一些數(shù)學思想方法，可使問題化繁為簡，易于計算。下面舉例說明二次根式的運算技巧：一、巧移因式法例1、計算（3、,2.48）（、184.3）分析：將3雄4V3根號外的因式移到根號內(nèi)，然后用平方差公式計算比較簡便，或先把48、.18化簡，然后利用平方差公式計算解：原式=（奪248）（18.423）=(-1848)( 18=18-4848)=-30巧提公因數(shù)法例2、計算(5. 6)(5. 22. 3)分析：， 方差公式2=(、2產(chǎn)-5 2 2.3中有公因數(shù)2，提出公因數(shù).2后，可用平

14、計算解：原式=(5.6)5(.2)2 .3=(5，6). 2(5、6)=19.2(5 ,6)(52 ( 25-6),6)公式法例3、計算C.23、.6)(、.2.3、-6)分析：巧分組，出奇制勝，整式的乘法公式對二次根式的乘法也適用，本題用平方差公式來計算很簡便解：原式=(.2、6). 3(. 2,6)3(.2，6產(chǎn)(3)22264.3因式分解法(21)(.、3.、2)(4,3)=-5七、整體代入，別開生面求下列各式的值。1X例5.已知2d)W"(2)ZT二sH-y=yfj,xy=A/5,Ky=一分析：根據(jù)x、y值的特點，可以求得八一，如果能將所求的值的式子變形為關(guān)于：I：:或xy的

15、式子，再代人求值要比直接代人求值簡單得多。卯同.V=4(八-八)解：因為耳二xy=一所以.一一x-ny+y3=(x+/J2-3xy=(7?)-3Ay=5-(0nyx3+(x+y)2-2xy1仔)一2、5+=：=12yxxyxy1(也可以將:一變?yōu)閍m+腐來求)八、巧換元，干凈利索u+2+Jj_4*n+2JrF_4例6.計算口+2Jr?一4n+2+Jn”分析：此算式中的兩個公式互為倒數(shù)，若設這y_/_值+疔2zy_(s+y)二十二II二“叫I"二則原式y(tǒng)xxyxy燈而二”二如必一 原式1-1解：設則打（*1-二G+h2二(2)”十礦Q二4伍+24n+S-4(n+2)二n例7.計算八 2

16、+73 +A2-7?分析：有兩種方法，一種換元，一種配方。解法1:兩邊平方2什再+2一笛+2J(2斗嗎(2A何二/x2=6因為二所以：M+STT,4-273解法2：原式所以遇到二次根式運算一定認真審題、仔細琢磨，能否找到運算技巧，達到事半功倍效二次根式的運算測試題姓名班級學號選擇題(本題30分，每小題3分)：1.化簡33(13)的結(jié)果是C.32,計算(.28-23+7)X.7+84的結(jié)果是D.243 .計算(3.2+5.3)X(32-53)的結(jié)果是A57B.57C.53D.534 .計算四+擊2.羽-擊2的結(jié)果是C.2a5.-,2X(2-3)+6的值是6.化簡：.3X(-2-3)-24-|6-3|二7.計算（，50-8）十.2的結(jié)果是8、計算:9、有下列計算：(in?)m6;4a24a+1=2a1;m6-m2=m3；.27X50-_6=15;21223+348=143.其中正確的運算有10、計算：（_2