概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)張幗奮第三章答案

1、第三章多維隨機(jī)變量及其概率分布1、解互換球后，紅球的總數(shù)是不變的，即有XY6,X的可能取值有：2,3,4,Y的取值為：2,3,4。則(X,Y)的聯(lián)合分布律為:RX2Y2)PX2Y3)PX3Y2)RX3Y4)RX4Y3)P(X4Y4)0P(X2,Y4)P(X4,Y2)236P(X5253,Y3)|5由于XY6,計(jì)算X的邊際分布律為:P(X2)P(X2,Y4)33556251325P(X3)P(X3,Y3)13P(X254)P(X4,Y2解：ab0.510,Y0,Y0.4a0,Y1,Y與事件XY1相互獨(dú)立,0,XY1，即a0.4aab解得0.43、解利用分布律的性質(zhì)，由題意,a0.10.10.10

2、.1cPY0|X2)P(Y0,XP(X2)2)P(YPY1b0.5計(jì)算可得：aP(X1)a0.1b0.6P(X2)0.10,X1)P(X1)a0.10.5a0.1b0.2b0.3于是X的邊際分布律為:0.10.1c0.2c0.4Y的邊際分布律為P(Y1)0.10.3,P(Y0)0.2P(Y1)bc0.54解:(1)由已知0,Y1,Y20.1,則0,Y1,Y0.30.10.2,0,Y0,YPX0,Y20.1,1,Y0,Y0.1,P X 1,Y 1 p X 1 p X 1,Y 0 p X 1,Y 20.4。0pX0,Yk5、解（1）每次拋硬幣是正面的概率為0.5可能取值有:3,2,1,0,Y的取值

3、為：3P(X3,Y1)P(X2,Y3)P(XP(X3,Y3)P(X2,YP(X1,Y1)c32P(XX的邊際分布律為:P(X0)-21P(X2)C2-3)Y的邊際分布律為:P(Y3)P(X1414120,1,2.且每次拋硬幣是相互獨(dú)立的。由題意知,1。則（X,Y）的聯(lián)合分布律為:1,Y3)P(X0,Y1)1)C320,Y3)0,YP(Y1)P(X1,Y1)P(X2,Y1)在Y1的條件下X的條件分布律為:P(X0|Y1)0,P(X1|Y1)P(X2|Y1)P(X2,Y1)P(Y1)6解:1)0,YP(X3)P(X0,Y2X0,Y3X1)P(X3,Y3)1,Y1)P(Y1)P(X3|Y1)

4、7;151130，115'7PX1,Y1P Y1 X1 P X118pXpX(2)pYPY1,Y21,Y3pY12 pX3 pX1pY2X1pX1一，181pY3X1pX1一。18pX0,Y1pX1,Y10,Y20,Y3pX1,Y2pX1,Y33890'11o90(3)pX0Y1pX0,Y16一pY141pX1Y1pX1,Y135opY141me7、解(1)已知P(Xm),mm!故是相互獨(dú)立的，當(dāng)m0,1,2,3Ln0,1,2,LP(X(2)P(Y4190'0,1,2,3L。由題意知，每次因超速引起的事P(Yn|Xm)Cm(0.1)n(0.9)mnm。于是（X,Y）的聯(lián)

5、合分布律為:m,Yn)P(Xm)P(Y0,1,2,Lm;m0,1,2,3LY的邊際分布律為:n)P(Xm,Ym0n)n|Xm)m!(n0,1,21)即丫(0.1（該題與41頁(yè)例3.1.4相似）8解:(1)Y可取值為0,2a,0,Y0,Y2a0,1,Y0.3p,1,Y2a2,Y0.2p1em!m-Cm(0.1)n(0.9)mn,Cm(0.1)n(0.9)mne0.1(0.1)nn!0,Y0,1,Y0.60.312,Y02pX2,Y2a0.1p2。(2)pY0X11p,pYaX1p,pY2aX10。9、解（1）由邊際分布函數(shù)的定義，知0,x00,y0FX(x)limF(x,y)0.3,0x1FY(

6、y)limF(x,y)0.4,0yx1,x11,y1X和Y都服從兩點(diǎn)分布，則（2）從X和Y的分布函數(shù)，可以判斷出X的邊際分布律為：0.30.7Y的邊際分布律為0.40.6(3)易判斷出P（X 0,Y0) 0.1,所以（X,Y）的聯(lián)合分布律為:P(X0,Y0)0.1 P(X0,Y1)P(X0) P(X0,Y 0)0.2P(X1,Y0)P(Y 0)P(X0,Y0)0.3P(X1,Y1)P(Y 1)P(X0,Y1)0.4 。1。解:0,YA 0.35 ,0,Y0,Y0.35,1,Y0,Y0,Y0.25,1,Y1,Y0.05。Fx,yF(x,y)0,Y0.35F(x,y)0,Y0,Y1F(x,y)0,

7、Y1,Y00.6,當(dāng)x1,1時(shí)，F(xiàn)x,y1。(3)所以， X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為 F x,y0,x0或y0,0.35,0x1,0y1,0.7,0x1,y1,0.6,x1,0y1,1,x1,y1.0.2550.3611、解由(X,Y)的聯(lián)合分布律可知，在X1的條件下，Y的條件分布律為:P(Y0|X1)PY0,X1PX13。P(Y1|XPY1,X1PX10.05J0.360,y05因此在X1的條件下，Y的條件分布函數(shù)為FY|x(Y|1)5,0y161,y112解：設(shè)Fx,ykxy,x,yD,則x1,y1時(shí)，k0.21,即k0.8。0,x0或y0,0.8xy0.1,0x1,0y1,所以X,Y的聯(lián)合分

8、布函數(shù)為 F x,y13,解由f (x, y)的性質(zhì)，得：1所以c 60.8x 0.1,0 x 1,y 1,0.8y 0.1,x 1,0 y 1,1,x 1,y 1.1 yf(x, y)dxdy 0dy 0 c(y x)dx設(shè)D(x,y)|xy1,0xy1,則11xPXY1f(x,y)dxdy02dxxc(yx)dy0.5D1(3)設(shè)D2(x,y)|0xy1,X0.5,則117PX0.5f(x,y)dxdy2dxc(yx)dy一0x814解：(1)由11)知，fx,y3x10,1x其他2,則fXxfx,ydydy,x2,3x142x,fYyfx,ydxy314310,15、解(1)由題意，知當(dāng)

9、(0,0fx(x)(0,fY(y),0fY(y)(2)0時(shí),(3)當(dāng)已知X分布。16解:(1)fx,yfy|xyx0,1dx,1dx,0所以：fx(x)f(x,y)dx其他。0,1x2,其他。y2,y其他。fx(x)0,xx3,二xe,xexdx0所以：fy(y)由fYX0,yey,1,0x23y12233y20,f(x,y)dy2,3,其他。xxdyxe0,y取其他值x時(shí)，由fY|X(y|x)的公式可以判斷出，y的條件分布為0,x上的均勻fx,yfx得,fY|XyxfX0時(shí),yfx,vfXxdv0,fY|Xdv0,y0,其他。y1-exdv,0x0,y0,y0o_yex,y0,0,y0o1X

10、1e1。17、解（1）由題意可得:1, fy(y) 0155”.當(dāng)y1時(shí)，fy(y)f(x,y)dx2xdx-(1y),當(dāng)yy485(1y4),y12所以fY(y)8;當(dāng)y21時(shí)0,y1fxiY(x|y)f (x, y)fY(y)5-x4.54y)80, x取其他值2x4, y11當(dāng) y 3時(shí)fxiY(x12)32x 1(，x 115 40,x取其他值所以PX121Y121 fxY(x |2)dx132x12 15dx 0.8。18 解:(1)fx1,0,0 x其他1,fY|x11 x0,y 1,其他。所以f x,yfYxfx11 x0,其他。（2）fY yx,ydxy 1.dx,0 1 x0

11、,0 y 1,其他。fx Y19、解x, yfY y1x In 1 y0,其他.設(shè)事故車與處理車的距離z的分布函數(shù)為Fz(t)1,In1 y , 0 y 1,0,其他。1,x和Y都服從（0, m）的均勻分布，且相互獨(dú)立，由題意知:當(dāng)0tm時(shí)，F(xiàn)Z(t)P(Zt)PxY(mt)22m2mtt22,m有Fz(t)0,t022mtt2,0m所以Z的概率密度函數(shù)fz(t)為:1,tm2(mt)fz(t)m2,0tm0,t取其他值20解：由題意得X,Y:UD,即fx,y20,x,y其他。(1)fYyfx,ydxD,1y2242丹dx,0y1,_Jiy,0y1,0,其他。0,其他。pY1/21/241/2

12、210fYydy-0.1ydy-3(3)同理得fXx0,0x1,所以其他。f(x,y)fxxfYy,故X和Y不獨(dú)立。21、解(1)設(shè)X,Y的邊際概率密度分別為fx(x),fY(y),由已知條件得,fx(x),1x2f (x,y)dy2_e2fY(y)f (x,y)dy121e(y 1)24(計(jì)算的詳細(xì)過(guò)程見例f(x,y)fX(x)3.3.5) (2)113yTe有條件概率密度的定義可得:1 -Xx2、2 在X 0的條件下，Y的條件概率密度為:13y12fYiX(y|0)3e1_2111y12fY yf2X x )22解：(1)fxxfx,ydy11,.-fix,yf2x,ydy=二(fix22

13、3e"萬(wàn)，|y當(dāng)i0i1,2時(shí)，Xi與Yi,X2與K均獨(dú)立，則x,y 1一fx,y2f1x,yf2f2Y y 1rr2f1xxf1Yyx2y2e22所以，f(x,y)fxxfYy,即X與Y獨(dú)立。23、解設(shè)T表示正常工作的時(shí)間。由題意知Xi-E()(i1,2,3),即Fxi(xi)0,xi01exi,x0fT (t)是概率密度函數(shù)。則設(shè)Ft(t)是設(shè)備正常工作時(shí)間的概率分布函數(shù),當(dāng)t0時(shí)FT(t)P(Tt)t,X3 t) 2PX1 t,X2 t,X3 t)P(X1t,X2t)P(X1t,X3t)P(X2t2t33(1e)2(1e)當(dāng)t0時(shí)，F(xiàn)T(t)0。于是：Ft。)0,t03(1et

14、)22(1et)3,t0同時(shí)可求得：fT(t)0,t06e2t(1et),t024解：(1)PZk一kk.nkCnp1p,k0,1,L,n。所以，Z:Bn,pPXYkkPXl,Ykll0kNlmklklCmP1PCnP1l0kkmnk.CmnP1P,k0,L,mn所以,nklPW:Bmn,p。25、解設(shè)fx(x),fY(y),fz（t）分別是X,Y,Z的概率密度。利用公式（3.5.5）,由題意得:26解:27、解fzf(x,tx)dxfx(x)fY(tx)dx2at2afZtfY(y)dx一P(Yta)2aP(Y2aa)fY(tx)dx(t-)t3-tfx,txdxt230,dx,0t1,dx

15、,1t2,dx,2t3,其他。0313-t0313-tt3-t設(shè)Xi為一月中第i天的產(chǎn)煤量1,2,L30),ZTH30XiN(1.5,0.12),且相互獨(dú)立因此有ZZN(45,0.3)于P(Z46)P(Z46)28FZzPXYPX0,Y100,Yz1000.5Fz0.3F1000.2F所以，fZz0.5fz0.3fz10029、解（1）由于Xi()(i1,2,L10例3.5.1）,由題意知，得P(Xi2)11(110)e1033-t1,2,3-t30,3,其他。月中總的產(chǎn)煤量。由于XiN(301.5,304645()0.034,0.3PX500,Yzz5000.2fz500o10）,且相互獨(dú)立

16、，因此有101010XiP(Xi2)1P(Xi0)0.12)500(10)（見10P(Xi1)(2)所求的概率為:(3)由題意可求:即那0)P(maxXi2)11i10P(XiP(X12,X2(1)1010e0,X20,LP(maxXi2)1i102,LX102)1P(X12)10X100)11P(X1及0)101(1e)10P(maxXi1i10P(minXi1i102,m1nxi0)P(minXi1i100)P(maxXi0)P(maxX1i102)P(maxXi1i101i102,minXi1i102，e1nxi0)0)P(m那i0)P(maxX2)P0Xi2|i1,2L10P(minX

17、i'1i10i0)(11010)e1010e于是所求的概率為:P(maxXi2|minXi1i101i100)P(maxXi2,minXi1i101i100)即鏟0)(i、1010)eP(minXi0)1010eP(minXi0)P(maxXi2,minXi0)1i101i101i101(1)10(1P(minXi0)10r10e10e)30解:0,Y0.04,0,Y1,Y0.14,0,Y1,Y2,Y10.3,1,Y2,Y0.32,2,Y0.2。X0,Y0.4。0,Y2PX1,Y1PX1,Y20.2,1,Y1PX1,Y22,Y21,Y30.5,PX2,Y10.4P N 2 P X 2,

18、Y 2 P X 2,Y 30.4。31、解設(shè)T的概率密度函數(shù)為懺。)。(1)P(T串聯(lián)當(dāng)tt)10時(shí)P(Tt)1P(Xt,Yt1e1xdxt2e2ydye(1t)2)t計(jì)算可得fT(t)2)e(12)t當(dāng)t0時(shí)，顯然有fT(t)0。因此T的概率密度函數(shù)為fT(t)為:fT(t);I02)6(12t(2)并聯(lián)當(dāng)tP(Tt0時(shí)t)P(Xt,Yt)1e1xdx2e2ydy1te2te(12)te計(jì)算可得mt)1e1t2e2t(2)e(12)t當(dāng)t0時(shí)，顯然有'(t)0。因此T的概率密度函數(shù)為fT(t)為:fT(t)1e0,t1t2e2t2)e(2)t,t(3)備份由題意知，TY,于當(dāng)t0時(shí)，顯然有fT(t)0。fT(t)fx(x)fY(tx)dxt01e2(tx)2e2dx212te-e1t11t,2e2tt,2從而所求的概率密度函數(shù)