初一三角形知識總結(jié)與練習(xí)題(共12頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上三角形的有關(guān)概念（1）三角形的定義 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形，它有三條邊、三個內(nèi)角和三個頂點(diǎn)，三角形可用符號“”表示（2）三角形的角平分線：在三角形中，一個內(nèi)角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線（3）三角形的中線：在三角形中，連接一個頂點(diǎn)與它對邊的中點(diǎn)的線段，叫做這個三角形的中線（4）三角形的高線：從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線2、三角形的有關(guān)性質(zhì)（1）邊的性質(zhì)：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊（2）角的性質(zhì)：三

2、角形的內(nèi)角和為180°，一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角，直角三角形的兩個銳角互余（3）穩(wěn)定性：即三角形的三邊的長度確定后，三角形的形狀保持不變3、三角形的分類（1）按邊分 （2）按角分 4、全等三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)（1）全等圖形：兩個能夠 重合 的圖形稱為全等圖形全等圖形的特征 ：全等圖形的 形狀和大小 都相等全等三角形：兩個能夠 完全重合的三角形叫做全等三角形，兩個全等三角形重合時，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的角叫做 對應(yīng)角 （2）全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等5、全等三角形的判定

3、條件（1）一般三角形全等的判別方法有四種方法：邊角邊（SAS）；角邊角(ASA);角角邊(AAS);邊邊邊(SSS).(2)直角三角形的全等的條件:除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判別方法外，還有一種重要的判別方法，也就是斜邊、直角邊（HL）判別方法.6.判別兩個三角形全等1已知兩邊 2已知一邊一角3已知兩角7.作三角形用尺規(guī)作三角形的類型主要有：（1）己知三角形的 三邊 ，求作這個三角形（2）己知三角形的 兩邊及夾角 ，求作這個三角形（3）己知三角形的 兩角及夾邊 ，求作這個三角形二、應(yīng)注意的問題1.三角形的角平分線不同于一個角的平分線，前者是一條線段，后者是一條射線三角形的高線是線段

4、，而線段的垂線是直線；銳角三角形的三奪高線都在三角形的內(nèi)部，直角三角形中，有兩條高線恰好是它的兩條邊，鈍角三角形的三條高線中，有兩條高線在三角形的外部，它們的垂足落在邊的延長線上三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，三條中線交于一點(diǎn)，三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)2、注意：不能把“邊邊角”和“角角角”作為判定兩個三角形全等的依據(jù)3書寫全等三角形時一般把對應(yīng)頂點(diǎn)的字母放在對應(yīng)的位置.4、注意：在作三角形等幾何作圖中，作圖痕跡務(wù)必保留，不能將作圖痕跡抹掉在作符合某些條件的三角形時，它的作法可能不惟一，只要作法合理，都是正確的三、經(jīng)典例題例1如圖1，有一塊邊長為4的正方形塑料模板ABCD，將一塊足夠大的直

5、角三角板的直角頂點(diǎn)落在A點(diǎn)，兩條直角邊分別與CD交于點(diǎn)F，與CB延長線交于點(diǎn)E則四邊形AECF的面積是_ 分析：本例看似是正方形的問題，其實質(zhì)是考查全等三角形的判定 由于EAF=BAD=90°可得出EAB=DAF，ABE=D=90°，AB=AD，ABEADF，所以，四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于16解：因為EAF=BAD=90°，所以EAB=DAF，ABEADF四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于16.ABCDEF圖2例2 如圖2，在ABC與DEF中， 給出以下六個條件：AB=DE；BC=EF；AC=DF；A=D；B=E；C=F，以其

6、中三個條件作為已知，不能判斷ABC與DEF全等的是( ) A B C D 分析：三角形全等的判定方法有：“邊、邊、邊”、“邊、角、邊”、“角、邊、角”或“角、角、邊”.本題可采用排除法尋找答案. “、 (真)” 為“邊角邊”判定方法；“、(真)”為“邊邊邊”判定方法；“、 (真)”為“角角邊”判定方法；“、(假)”，為兩邊和其中一邊的對角沒有這樣的判定方法，因此，不能判斷ABC與DEF全等的是D.例3 如圖3，巳知：CEAD于E，BFAD于F，你能說明BDF和CDE全等嗎? 若能，請你說明理由；若不能，在不用增加輔助線的情況下，請?zhí)砑悠渲幸粋€適當(dāng)?shù)臈l件，這個條件是_，說明這兩個三角形全等，并寫

7、出證明過程分析：題目要證明的兩個三角形全等已滿足兩組角對應(yīng)相等，但三角形全等至少要有一組邊對應(yīng)相等，因此，需要補(bǔ)充一組邊對應(yīng)相等.B圖3解：補(bǔ)充的條件為：BD=CD，DE=DF或BF=CE.若補(bǔ)充BD=CD.證明過程如下：CEAD于E，BFAD于F，所以，F(xiàn)=CED.BDFCDE.注：本題和北師大版七年級數(shù)學(xué)下158頁第5題雷同.例5將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺放成如圖5的形式，使點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上(1)求證：ABED；(2)若PB=BC，請找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并給予證明圖5 分析：充分利用邊相等或角相等或互余的關(guān)系.（1

8、） 證明：由題意可知ABCDEF,因而A=D，而A+B=90°，故D+B=90°，即BPD=90°，所以，ABED.也可以利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等證明A=D.(2)若PB=BC，則有ABCDBP.ABCDBP.注：圖中與此條件有關(guān)的全等三角形還有如下幾對：APNDCN；DEFDBP；EPMBFM.四、考點(diǎn)例析考點(diǎn)一：三角形三邊關(guān)系三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形任意兩邊之差小于第三邊例1 在ABC中，AB=9，BC=2，并且AC的長為奇數(shù)，那么ABC的周長是多少？分析 由三角形中第三邊取值范圍的確定方法：“兩邊之差第三邊兩邊之和”，可求出AC的長，從而求出A

9、BC的周長解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系有AB-BCACAB+BC，所以9-2AC9+2，即7AC11，又因為AC的長為奇數(shù)，所以AC=9，所以ABC的周長為9+9+2=20練習(xí)1：（1）（2005年昆明市中考題）以下列各組線段長為邊，能構(gòu)成三角形的是（ ）A4cm，5cm，6cm B2cm，3cm，5cmC4cm，4cm，9cm D12cm，5cm，6cm（2）有長分別為1cm、2cm、3cm、4cm、5cm的線段，則以其中三條線段為邊可構(gòu)成_個三角形答案與提示：（1）選A；（2）其中2cm，3cm，4cm； 2cm，4cm，5cm； 3cm，4cm，5cm共可構(gòu)成三個三角形考點(diǎn)二：三角形的內(nèi)角和三

10、角形三個內(nèi)角的和等于，直角三角形的兩個銳角互余例2（2004年陜西中考題）如圖，在銳角ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，且CD、BE交于一點(diǎn)P，若A=，則BPC的度數(shù)是（ ）A B C D 分析：解這類題目的關(guān)鍵要明確所求的角是哪個三角形的內(nèi)角，要抓住題目中存在的等量關(guān)系，如“三角形的內(nèi)角和等于等”解：在ABC中，A=，ABC+ACB=-=CD、BE分別是AB、AC邊上的高，ADC=AEB=在RtABE中，ABE=-A=- = 在RtACD中，ACD=-A=- = PBC+PCB=（ABC+ACB）-（ ABE +ACD ）= =在BPC中，BPC=-（PBC+PCB）= - =本

11、題選B練習(xí)2：（1）（2005年黑龍江中考題）已知BD、CE是ABC的高，直線BD、CE相交所成的角中有一個角為，則BAC等于_（2）一塊模板如圖所示，按規(guī)定AB、CD的延長線相交成角，因交點(diǎn)不在模板上，不便測量，所以工人師傅連結(jié)AC，測得BAC=，DCA=，這時就可以知道，AB、CD的延長線相交所成的角不符合規(guī)定請說明理由答案與提示：（1）；（2）由三角形內(nèi)角和定理可得 H=考點(diǎn)三 三角形中的三條重要線段在三角形中，一個內(nèi)角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線在三角形中，連接一個頂點(diǎn)與它的對邊中點(diǎn)的線段，叫做這個三角形的中線從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所

12、在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高例3 如圖，在ABC中，分別畫出它的中線AD和高AE，并回答下列問題：（1）AE還是哪些三角形的高？（2）ABD與ACD的面積有什么關(guān)系？為什么？分析 應(yīng)根據(jù)三角形的中線和高的意義畫圖解：（1）如圖，AE還是ABD、ADE、ADC、AEC、ABE的高（2）ABD與ACD的面積相等，因為這兩個三角形等底同高 練習(xí)3：（1）三角形一邊上的高 （ ）A必在三角形內(nèi)部B必在三角形外部C必在三角形的邊上D以上三種情況都有可能（2）如圖5，AE是ABC的角平分線，則_=_=_；AD是ABC的中線，則_=_=BC（3）三角形的三條

13、角平分線的交點(diǎn)和三條中線的交點(diǎn)，一定在三角形的（ ）A內(nèi)部 B外部 C邊上 D不確定答案與提示：（1）選D；（2）BAE，CAE，BAC；BD，CD；（3）選A考點(diǎn)四 圖形的全等兩個能夠重合的圖形稱為全等圖形，全等圖形的形狀和大小都相同特別地，全等圖形的面積相等例4 如圖（1），一個5×5的正方形，去掉居于中心位置的畫陰影的一格，你能沿著圖中的虛線，把余下的部分分成四個全等的圖形嗎？分析 可以從方格的數(shù)量（即面積）入手考慮5×5的正方形共有25格，去掉一格后，還有24格如果分成四個全等的圖形，則每個圖形應(yīng)該有6格解：圖（2）（8）是幾種可能的劃分方案 （1） （2） （3）

14、 （4） （5） （6） （7） （8）練習(xí)4：沿著圖中的虛線，請用至少三種方法把下面的圖形劃分為兩個全等圖形，把你的方案畫在下面的圖中答案如下：考點(diǎn)五 全等三角形的特征及三角形全等的條件全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS” 兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角” 或“ASA” 兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS” 兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊” 或“SAS”斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊” 或“HL”例 5 如圖，如

15、圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是（ ）A帶去 B帶去 C帶去 D帶去 分析 怎樣做一個三角形與已知三角形全等，可依據(jù)全等三角形的判定條件來判斷題中的一塊三角形的玻璃被打碎成三塊，其中：（1）僅留一角；（2）沒邊沒角；（3）存在兩角和夾邊，可依據(jù)ASA，不難作出與原三角形全等的三角形解：應(yīng)選C練習(xí)5：（1）（2005年臨沂市中考題）如圖，將兩根鋼條AA、BB的中點(diǎn)O連在一起，使AA、BB可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動，就做成了一個測量工件， 則AB的長就等于內(nèi)槽寬AB的長，那么AOBOAB的理由是（ ）A 邊角邊 B角邊角 C 邊邊邊 D

16、角角邊（2）（2004年濰坊市中考題）如圖，已知ABC的六個元素，則下面甲、乙、丙三個三角形中和ABC全等的圖形是（ ）A甲和乙 B乙和丙 C只有乙 D只有丙（3）如圖10，1=2，BC=EF，那么需要補(bǔ)充一個條件_（寫出一個即可），才能使ABCDEF答案與提示：（1）選A；（2）選B；（3）提示：此題答案不唯一，屬開放性問題根據(jù)三角形全等的條件：SSS，ASA，AAS，SAS，對照圖中已知條件，只需有另外一角或邊AC=DF即可應(yīng)填B=E（A=D或AC=DF均可）考點(diǎn)六：與三角形有關(guān)的作圖例6 已知兩角及其中一個角的對邊，求作三角形分析 該題是作圖題中的文字題，根據(jù)已知畫出相應(yīng)的圖形，這樣的圖

17、形具有一定的隨意性本題的兩個角大小要適當(dāng)，即它們的和必須小于，否則無解已知：如圖、，線段a 求作：ABC，使B=，A=，BC=a作法：1作線段BC=a；2在BC的同側(cè)作DBC=，ECB=-，DB、EC交于點(diǎn)AABC為所求作的三角形 評注：已知兩角及其中一個角的對邊作三角形，可根據(jù)三角形內(nèi)角和等于，轉(zhuǎn)化為利用兩角及其夾邊作三角形，化未知為已知，使問題得以解決練習(xí)6：求作一個邊長為a的等邊三角形 答案與提示：已知：線段a，求作ABC，使AB=AC=BC=a作法：（1）作線段BC=a；（2）分別以B、C為圓心，以a為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)AABC為所求作的三角形考點(diǎn)七：全等三角形的應(yīng)用 例7公園里有一

18、條“Z”字型道路ABCD，如圖11，其中ABCD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只石凳E、M、F，M恰為BC的中點(diǎn)，且E、F、M在同一直線上，在BE道路中停放著一排小汽車，從而無法直接測量B、E之間的距離，你能想出解決的方法嗎？請說明其中的道理 分析 由EBMFCM可知，測量C、F之間的距離就是B、E之間的距離理由：ABCDEBMFCMBE=CF評注：運(yùn)用三角形全等的方法來解決實際問題，關(guān)鍵找出兩三角形全等的條件，并能運(yùn)用自己的語言進(jìn)行說理練習(xí)7：（2004年福州中考題）三月三，放風(fēng)箏，如圖12，是小明制作的風(fēng)箏，他根據(jù)DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道DEH=DFH，請你用所學(xué)的知識

19、給予說明 答案與提示：連接DHDEHDFHDEH=DFH三角形 測試題一、選擇題1一個鈍角三角形的三條角平分線所在的直線一定交于一點(diǎn)，這交點(diǎn)一定在 ()A三角形內(nèi)部 B三角形的一邊上 C三角形外部 D三角形的某個頂點(diǎn)上2下列長度的各組線段中，能組成三角形的是 ()A4、5、6 B6、8、15 C5、7、12 D3、9、133在銳角三角形中，最大角的取值范圍是 ()A0°90° B60°90° C60°180° D60°90°4下列判斷正確的是 ()A有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等B有兩邊對應(yīng)相等，且

20、有一角為30°的兩個等腰三角形全等C有一角和一條邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等D有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等5等腰三角形的周長為24cm，腰長為xcm，則x的取值范圍是()Ax6 B6x12 C0x12Dx126已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足關(guān)系式BC3A則此三角形 ()A一定有一個內(nèi)角為45° B一定有一個內(nèi)角為60°C一定是直角三角形 D一定是鈍角三角形7三角形內(nèi)有一點(diǎn)，它到三邊的距離相等，則這點(diǎn)是該三角形的 ()A三條中線交點(diǎn) B三條角平分線交點(diǎn) C三條高線交點(diǎn)D三條高線所在直線交點(diǎn)8已知等腰三角形的一個角為75°，則其頂角為 ()A3

21、0° B75° C105°D30°或75°9如圖5124，直線、表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)計劃建一個加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有 ()A一處 B二處 C三處D四處10三條線段長度分別為3、4、6，則以此三條線段為邊所構(gòu)成的三角形按角分類是 ()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形D根本無法確定二、填空題1如果ABC中，兩邊a7cm，b3cm，則c的取值范圍是_；第三邊為奇數(shù)的所有可能值為_；周長為偶數(shù)的所有可能值為_2四條線段的長分別是5cm，6cm，8cm，13cm，以其中任意三條線段為邊可以構(gòu)成_個三角形3過AB

22、C的頂點(diǎn)C作邊AB的垂線將ACB分為20°和40°的兩個角，那么A，B中較大的角的度數(shù)是_4在RtABC中，銳角A的平分線與銳角B的平分線相交于點(diǎn)D，則ADB_5如圖5125，AD，ACDF，那么需要補(bǔ)充一個直接條件_(寫出一個即可)，才能使ABCDEF6三角形的一邊上有一點(diǎn)，它到三個頂點(diǎn)的距離相等，則這個三角形是_三角形7ABC中，AB5，BC3，則中線BD的取值范圍是_8如圖5126，ABC中，C90°，CDAB，CM平分AB，CE平分DCM，則ACE的度數(shù)是_9已知：如圖5127，ABC中，BO，CO分別是ABC和ACB的平分線，過O點(diǎn)的直線分別交AB、AC

23、于點(diǎn)D、E，且DEBC若AB6cm，AC8cm，則ADE的周長為_10每一個多邊形都可以按圖5128的方法割成若干個三角形而每一個三角形的三個內(nèi)角的和是180°按圖5127的方法，十二邊形的內(nèi)角和是_度三、解答題1，已知：如圖5129，ABC的B、C的平分線相交于點(diǎn)D，過D作MNBC交AB、AC分別于點(diǎn)M、N，求證：BMCNMN2已知：如圖5130，在ABC中，ACB90°，CD為高，CE平分BCD，且ACD：BCD1：2，那么CE是AB邊上的中線對嗎?說明理由3已知：如圖5131，在ABC中有D、E兩點(diǎn)，求證：BDDEECABAC4已知一直角邊和這條直角邊的對角，求作直角三角形(用尺規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡)5已知：如圖5132，點(diǎn)C在線段AB上，以AC和BC為邊在AB的同側(cè)作正三角形ACM和BCN，連結(jié)AN、BM，分別交CM、CN于點(diǎn)P、Q求證：PQAB6已知：如圖5133，ABDE，CDFA，AD，AFCDCF，則BCEF你能說出它們相等的理由嗎?【參考答案】一、1A 2A 3D 4D 5B 6A 7B 8D 9A 10D二