相似三角形的判定共邊共角型與嵌入型學(xué)生-郭亞琦-數(shù)學(xué)

1、相似三角形的判定知識精要判定三角形相似的方法有：預(yù)備定理，三個判定定理，斜邊-直角邊定理。其中使用頻率最高的是“兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似”和“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似”。所有的判定方法只需證明兩點：一是角相等，另一個是邊成比例。證明“角相等”應(yīng) 特別注意：1）特殊角（如直角），2）特殊關(guān)系（如公共角，對頂角，等腰三角形的兩底角, 等角的余角，等角的補角等）根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)，可將判定三角形相似的方法概括為三種基本類型：共角共邊型，嵌入型，旋轉(zhuǎn)翻折型。類型一：共角共邊型“共角共邊型”是指有一個角為公共角或?qū)斀堑膬蓚€三角形，只要再證明一個角相 等或者證明夾公共角（對頂角）的兩邊對應(yīng)成

2、比例就能證明兩個三角形相似。共以下四種 基本圖形：圖中的 ABCffi ADEt一個公共角或一組對頂角，又有一組對應(yīng)角相等或兩條夾邊對應(yīng)成比例。例題精解例1如圖，ZXABC中，D,E分別在AC,AB上，且/ ABDW ACE聯(lián)結(jié)DE求證：/XADEoAABG點評：（1）若將題中條件“/ ABDWACE變?yōu)?quot;BD±AC,CELAB',則結(jié)論 。（2）證明過程中比例式AD 生 既是由4AB/ZXACE得到的結(jié)論，又是判定 ADE AB AC“ABC的條件，也就是說，證明第一對三角形相似得到的結(jié)果（角相等或邊成比例）作為條件馬上用于證明第二對三角形相似，這是證明三角形相似

3、常用的方法。引中：（1）若設(shè)BD,CE的交點為F,則還可以證明 s匕 和 s _可得到4對相似三角形。（2）若條件 "/ ABDW ACE 變?yōu)?“BDL AC,CEL AB',即使 BD,CE 成為 ABC 的高，則共可得到8對相似三角形?！九e一反三】1、如圖，D是RtzXABCM邊AB上的中點，過 D作DF!AB,交BC于E,交A的延長線于點F,求證：DC=DEDF.2、如圖，平行四邊形 ABCm，點E在BC上,AE交BD于F,已知bU=EFAE 求證：dC=BF BD.113、如圖，等邊二角形 ABO , D,E分別在BC,AB上，且BD -DC, AEEB ,AD交2

4、2CE于 F。求證：AD- DF=4AB2.9點評：等腰三角形和等邊三角形中相等的角為相似三角形準(zhǔn)備了 “天然”的條件。本題整個圖形呈旋轉(zhuǎn)對稱造就了諸多的邊角相等關(guān)系和線段成比例關(guān)系。類型二：嵌入型“嵌入型”是指一個角鑲嵌在一個三角形或四邊形的內(nèi)部，這個角的頂點與三角形的 頂點重合，或者這個角的頂點在三角形或四邊形的一條邊上，而這個角的兩條邊分別與三 角形或四邊形的兩條邊相交。例 1、如圖， ABC中，/ BAC=90 , AB=AC點 D,E在邊 BC上,D DAE=45 。(1)寫出圖中的相似三角形；(2)求證：A=BE- DC點評：本題中，ADEft入 ABC內(nèi)，兩個三角形有一個公共頂點

5、(/A),稱之為“正嵌型”， 如例2圖所示；如果嵌入的三角形頂點在該角的對邊上，稱之為“反嵌型”，如圖所示。在 ABC中，/BAC=90 ,AB=AC,點 D在斜邊 BC上,E,F 分別在 AC,AB上，/ EDF=45 ,可 以證明 BDS ACED.【舉一反三】1、如圖，ZXABC中，AB=AC,D1 BC的中點，E,F分別在AB,AC上，且/ EDF之B,聯(lián)結(jié)EF。 找出圖中相似三角形并說明理由。2、如圖，梯形 ABCm，ADBC,AD=3, BC=7 AB=DC=4點P在邊BC上，點E在邊DC上, /APE=60 ,聯(lián)結(jié) AE.(1)求證：AB CE=BP PC;(2) APE能否與A

6、ABP相似？若能夠,求此時點P的位置；若不能夠，請簡要說明理由。3、正方形 ABCW,點 E,F 分別在 BC,CDLh, / AEF=90 ,聯(lián)結(jié) AF.(1)找出圖中一定相似的三角形并加以證明。4AEF或4ADF能否與 ABE相似？如果能,求此時點 E的位置；如不能，試說明理由。類型三：旋轉(zhuǎn)翻折型“旋轉(zhuǎn)翻折型”可以看做先使其中一個三角形經(jīng)過放大或縮小，再與另一個三角形呈 旋轉(zhuǎn)對稱或軸對稱的位置關(guān)系。例1如圖，若/ 1=/2=/3,寫出入中所有相似的三角形，并簡要說明理由?！九e一反三】1、如圖， ABC中，D是BC的中點，且 AD=AC DEIBC,交AB于點E,CE交AB CFAD于點F.

7、求證： .AC DF2、如圖，CD為RtABC斜邊AB上的高，G為DC延長線上一點，AF±BG,垂足為F,AF交 CD于 E。求證：CD=DE DG.3、如圖， ABC中，點 D在 BC上，/ADEW B, / BADW CAE.(1)求證：AD- AC=AB AE;(2)當(dāng) / BAC=90 時，求證：EC! BC.內(nèi)容提煉1、將三角形相似的判定與三角形全等的判定進(jìn)行類比:三角形全等AAS,ASASASSSSHL三角形相似AASASSSSHL可以看出，判定“相似”比判定“全等”要求要低一些：例如“兩個角對應(yīng)相等”無法判定全等，但可以判定相似；再例如，”兩組對邊對應(yīng)成比例”的要求也比

8、“兩條邊對應(yīng)相等” 的要求低，因為“兩條邊對應(yīng)相等”是“兩邊對應(yīng)成比例”中當(dāng)比例系數(shù)為 1時的特殊情 況。實際上，“相似”的含義知識“像”，而“全等”的含義則是“一模一樣”，“全等”的 要求當(dāng)然要高一些。2、正因為判定相似比判定全等的要求低，所以相似形的圖形變化更多，解題方法也更 靈活。判定三角形相似首先要觀察圖形中有沒有相等的角，例如，兩個三角形沒有公共角， 是否等腰三角形的兩個底角或等腰梯形同一底上的兩個角，等等；其次，要把已知的乘積 式化為比例式，考察所涉及的線段圍成的三角形是否相似，有時還需要經(jīng)過中間比轉(zhuǎn)化。3、組成相似三角形的圖形往往相互交錯， 互相滲透，圖形中常包含證明相似三角形“

9、隱 含條件”。本節(jié)涉及的隱含條件分別為：在共邊共角型中，提供了公共角（或?qū)斀牵┫嗟? 反嵌入型中的三角形外交等于不相鄰的兩個內(nèi)角和；旋轉(zhuǎn)型中的旋轉(zhuǎn)角相等。鞏固提高（必做題，要求步驟完整，思路清晰）1、滿足下列條件的兩個三角形不一定相似的是（A.有一個角都等于30°的兩個直角三角形；B.有一個角都等于30°的兩個等腰三角形；B.兩直角邊之比為1:2的兩個直角三角形；D.兩條邊之比為1:2的兩個等腰三角形。2、如圖，在 ABC,點 D,E 分別在邊 AC,AB上，BD平分/ ABC,/ ACEW ABD與 BEF一定相似的三角形為（）A.ABFC; B. ABDC; C. A

10、BDA;D. ACEA3、如圖，梯形 ABCLfr, DC/AB,AD-BC,點 P在 DC上，點 Q在 BP上。若/ APB力 D, / PAQ=/PBA則圖中相似的三角形共有（）A.3 對； B.4 對； C.5 對； D.6 對4、在 ABC中,AB=AC/A=40° ,若 DEF與ABCffi似，則/ D的度數(shù)為5、已知ABCtABC'相似，/ A=/A'=90° , AB=3 AC=4 A'B'=6 ,則 B'C'=6、如圖，若/ B=/ C,AE=EC=3 AD=2 貝 DB=7、如圖，梯形 ABC時，ADBC,B

11、D平分/ ABC,/A=/ BDC若 AB=4 BC=8 貝U CD=8、如圖，四邊形 ABCm,ADBC,若 AB=& BC=4 AC=6 AD=9 貝U CD=9、如圖，AABC中，D在 AC上，若/ ABDW C,AD=Q DC=7 貝U BD:BC=10、如圖，平行四邊形 ABCm,AC交BD于Q已知BC 21BD2,求證：AB2 - AC 2. 2211、如圖，ABC, AB=AC射線BF交高AD于G,交AC于E,彳CF/AB交BF于F.求證：BG2 GE GF .12、如圖，在 ABC中，AB=AC點D在BC延長線上，點 E在AC上，聯(lián)結(jié)AD,聯(lián)結(jié)BE并延 長，交ADT F,聯(lián)結(jié)FC,已知/ EBCW D.(1)求證：AD- BC=BD BE.(2)點E在AC上什么位置上，能使FC±BU證明你的結(jié)論。探究題(1)如圖，D,E分別在等邊三角形ABC的邊CB和邊