第十一章 非參數(shù)檢驗(yàn)

1、第一節(jié) 非參數(shù)檢驗(yàn)的基本概念及特點(diǎn)一、非參數(shù)檢驗(yàn)（一）什么是“非參數(shù)”非參數(shù)模型：缺乏總體分布模式的信息。（二）非參數(shù)檢驗(yàn)的定義非參數(shù)檢驗(yàn)：不需要假設(shè)總體是否為正態(tài)分布或方差是否為齊性的假設(shè)檢驗(yàn)稱非參數(shù)檢驗(yàn)。（三）非參數(shù)檢驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)：1、優(yōu)點(diǎn)：一般不涉及總體參數(shù)，其假設(shè)前提也比參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)少得多，適用面較廣。計(jì)算簡(jiǎn)便。2、缺點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)效能遠(yuǎn)不如參數(shù)檢驗(yàn)方法。由于當(dāng)數(shù)據(jù)滿足假設(shè)條件時(shí)，參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法能夠從其中廣泛地充分地提取有關(guān)信息。非參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法對(duì)數(shù)據(jù)的限制較為寬松，只能從中提取一般的信息,相對(duì)參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法會(huì)浪費(fèi)一些信息。（四）非參數(shù)檢驗(yàn)的特點(diǎn)：1、它不需要嚴(yán)格的前提假設(shè)；2、特別

2、適用于順序數(shù)據(jù)；3、適用于小樣本，且方法簡(jiǎn)單；4、最大的不足是不能充分利用資料的全部信息；5、不能處理“交互作用”，即多因素情況。第二節(jié) 兩個(gè)獨(dú)立樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)方法一、秩和檢驗(yàn)法秩和即秩次的和或等級(jí)之和。秩和檢驗(yàn)法也叫Mann-Whitney-Wilcoxon檢驗(yàn)，它常被譯為曼惠特尼維爾克松檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱M-W-W檢驗(yàn)，也稱Mann-Whitney U檢驗(yàn)。秩和檢驗(yàn)法與參數(shù)檢驗(yàn)法中獨(dú)立樣本的t檢驗(yàn)法相對(duì)應(yīng)。當(dāng)“總體正態(tài)”這一前提不成立時(shí)，不能用t檢驗(yàn)，可以用秩和檢驗(yàn)法。（一）秩統(tǒng)計(jì)量秩統(tǒng)計(jì)量指樣本數(shù)據(jù)的排序等級(jí)。假設(shè)從總體中反復(fù)抽取樣本，就能得到一個(gè)對(duì)應(yīng)于樣本容量和的秩和的分布。這是一個(gè)間斷而對(duì)

3、稱的分布，當(dāng)和都大于10時(shí)，秩和的分布近期近似正態(tài)分布，其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為其檢驗(yàn)值為 （二）計(jì)算過程1、小樣本：兩個(gè)樣本容量均小于10（n1£10,n2£10）例11-1：在一項(xiàng)關(guān)于模擬訓(xùn)練的實(shí)驗(yàn)中，以技工學(xué)校的學(xué)生為對(duì)象，對(duì)5名學(xué)生用針對(duì)某一工種的模擬器進(jìn)行訓(xùn)練，內(nèi)外讓6名學(xué)生下車間直接在實(shí)習(xí)中訓(xùn)練，經(jīng)過同樣的時(shí)間后對(duì)兩組人進(jìn)行該工種的技術(shù)操作考核，結(jié)果如下：模擬器組：56，62，42，72，76實(shí)習(xí)組：68，50，84，78，46，92假設(shè)兩組學(xué)生初始水平相同，則兩種訓(xùn)練方式有無(wú)顯著差異？表11-1 兩種訓(xùn)練方式的成績(jī) 考核成績(jī)成績(jī)排列等級(jí)等級(jí)和模擬器組（

4、5人）564216256442625 72727 76768實(shí)習(xí)組68462（6人）50503 84686 78789 468410 929211檢驗(yàn)過程：1建立假設(shè)：，即兩樣本無(wú)顯著差異：，即兩樣本有顯著差異2計(jì)算統(tǒng)計(jì)量1）將數(shù)據(jù)從小到大排列，見上表。2）混合排列等級(jí)，即將兩組數(shù)據(jù)視為一組進(jìn)行等級(jí)排列，見上表。3）計(jì)算各組的秩和，并確定值，即T = （T1，T2）（25，41）=25 3比較與決策若T1TT2，則接受虛無(wú)假設(shè)，拒絕研究假設(shè)。若TT1，或TT2，拒絕虛無(wú)假設(shè)，接受研究假設(shè)。查秩和檢驗(yàn)表，當(dāng)n1=5，n2=6， T1=1

5、9，T2=41, 因?yàn)?19<25<41, 即T1<T<T2,所以接受虛無(wú)假設(shè)，拒絕研究假設(shè)，差異不顯著。說(shuō)明兩種訓(xùn)練的成績(jī)無(wú)顯著差異。2、大樣本：兩個(gè)樣本容量均大于10（n1>10,n2>10）例11-2：對(duì)某班學(xué)生進(jìn)行注意穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)?zāi)猩c女生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下，試檢驗(yàn)?zāi)信g注意穩(wěn)定性有否顯著差異？男生：（n1=14）19,32,21,34,19,25,25,31,31,27,22,26,26,29女生：（n217）25,30,28,34,23,25,27,35,30,29,29,33,35,37,24,34,32檢驗(yàn)過程:1建立假設(shè) ：2計(jì)算統(tǒng)計(jì)量1）求

6、秩和。先混合排列等級(jí)，再計(jì)算和，最后確定。排序如下：男生：女生 2）求值3比較與決策，拒絕虛無(wú)假設(shè)，差異達(dá)到顯著性水平。說(shuō)明男女在注意穩(wěn)定性上有顯著差異。二、中數(shù)檢驗(yàn)法（一）適用條件中數(shù)檢驗(yàn)法對(duì)應(yīng)著參數(shù)檢驗(yàn)中兩獨(dú)立樣本平均數(shù)之差的t檢驗(yàn)。中數(shù)檢驗(yàn)法的基本思想是將中數(shù)作為集中趨勢(shì)的量度，檢驗(yàn)不同的樣本是否來(lái)自中位數(shù)相同的總體。因而其虛無(wú)假設(shè)（H0）為：兩個(gè)獨(dú)立樣本是從具有相同中數(shù)的總體中抽取的，它也可以是雙側(cè)檢驗(yàn)或單側(cè)檢驗(yàn)。雙側(cè)檢驗(yàn)結(jié)果若有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，意味著兩個(gè)總體中數(shù)有差異（并沒有方向）；單側(cè)檢驗(yàn)結(jié)果若有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，則表明對(duì)立假設(shè)“一個(gè)總體中數(shù)大于另一個(gè)總體中數(shù)”成立。（二）計(jì)算過程例題13-

7、8：為了研究核糖核酸是否可以作為記憶的促進(jìn)劑，研究者以老鼠為對(duì)象分成實(shí)驗(yàn)組與控制組。實(shí)驗(yàn)組注射RNA，控制組注射生理鹽水，然后在同樣的條件下學(xué)習(xí)走迷津，如果如下（單位：時(shí)間）。試問兩組的學(xué)習(xí)成績(jī)有無(wú)顯著差異？實(shí)驗(yàn)組：16.7，16.8，17.0，17.2，17.4，16.8，17.1，17.0，17.2，17.1，17.2，17.5，17.2，16.8，16.3，16.9控制組：76.6，17.2，16.0，16.2，16.8，17.1，17.0，16.0，16.2，16.5，17.1，16.2，17.1，16.8，16.51提出假設(shè)：，即兩組中位數(shù)相等，或兩組成績(jī)無(wú)顯著差異：，即兩組中位數(shù)不

8、等，或兩組成績(jī)有顯著差異2計(jì)算統(tǒng)計(jì)量1）求混合中數(shù)。將數(shù)據(jù)按大小排列，確定中數(shù)。表13-11 中數(shù)計(jì)算表 1616.216.316.516.616.716.816.91717.117.217.417.523121151445112568910151620242930312）統(tǒng)計(jì)多個(gè)樣本在中數(shù)上下的次數(shù)，列出列聯(lián)表。表13-12 計(jì)數(shù)表 實(shí)驗(yàn)組控制組的次數(shù)10515的次數(shù)510151515303）求值3比較與決策，0.05，差異不顯著，接受虛無(wú)假設(shè)，拒絕研究假設(shè)。說(shuō)明實(shí)驗(yàn)組與控制組在迷津?qū)W習(xí)中差異不顯著，即RNA對(duì)記憶無(wú)明顯的促進(jìn)作用。第三節(jié) 配對(duì)樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)方法 一、符

9、號(hào)檢驗(yàn)法(一)、適用條件符號(hào)檢驗(yàn)是以正負(fù)符號(hào)作為資料的一種非參數(shù)檢驗(yàn)程序。它是一種簡(jiǎn)單的非參數(shù)檢驗(yàn)方法，適用于檢驗(yàn)兩個(gè)配對(duì)樣本分布的差異，與參數(shù)檢驗(yàn)中配對(duì)樣本差異顯著性t檢驗(yàn)相對(duì)應(yīng)。符號(hào)檢驗(yàn)也是將中數(shù)作為集中趨勢(shì)的量度，虛無(wú)假設(shè)是配對(duì)資料差值來(lái)自中位數(shù)為零的總體。它是將兩樣本每對(duì)數(shù)據(jù)之差（XiYi）用正負(fù)號(hào)表示，若兩樣本沒有顯著性差異，理論上正負(fù)號(hào)應(yīng)各占一半或不相上下。相反，若正負(fù)個(gè)數(shù)相關(guān)較大，則可能存在差異，由此表明兩個(gè)樣本不是來(lái)自同一總體，并可推論兩樣本的總體存在差異。（二）、計(jì)算過程1、小樣本符號(hào)檢驗(yàn)法N25 例11-4：用配對(duì)設(shè)計(jì)方法對(duì)9名運(yùn)動(dòng)員不同方法訓(xùn)練，每一個(gè)對(duì)子中的一名運(yùn)動(dòng)員按

10、傳統(tǒng)方法訓(xùn)練，另一名運(yùn)動(dòng)員接受新方法訓(xùn)練。課程進(jìn)行一段時(shí)間后對(duì)所有運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行同一考核，結(jié)果如下。能否認(rèn)為新訓(xùn)練方法顯著優(yōu)于傳統(tǒng)方法配對(duì)123456789傳統(tǒng)（X）858887868282707280新法（Y）908487859094858892符號(hào)（X-Y）-+0+-1）建立假設(shè)單側(cè)檢驗(yàn)：2）標(biāo)記配對(duì)數(shù)據(jù)之差的符號(hào)。見上表。3）統(tǒng)計(jì)符號(hào)總數(shù)N。符號(hào)總數(shù)中不包含0，只包括正號(hào)和負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)和，即 = 2 + 6 = 84）將，中的較小者記為r，即 5）比較與決策根據(jù)符號(hào)總和及顯著水平值查符號(hào)檢驗(yàn)臨界值表，見附表15。表中列出了符號(hào)總和與顯著性水平所對(duì)應(yīng)的臨界值，其判斷規(guī)則如下表。 表11-

11、2 單側(cè)符號(hào)檢驗(yàn)法的方法的統(tǒng)計(jì)判斷規(guī)則表r與臨界值（CR）比較P值差異顯著性rr0.05r0.01rr0.05rr0.01P0.050.01P0.05P0.01不顯著顯 著極顯著查附表15，N=8時(shí)，臨界值為0（0.05水平），而實(shí)得r = n+= 2> r0.05。所以差異不顯著，接受虛無(wú)假設(shè)，不能認(rèn)為新法顯著優(yōu)于傳統(tǒng)方法。2、樣本容量N>25時(shí)在附表15中，雖然N是從1到90，就是說(shuō)N在這個(gè)范圍內(nèi)時(shí)都可以用查附表15的方法，但是在世紀(jì)中當(dāng)N>25時(shí)常常使用正態(tài)近似法。將N分為n+和n-兩部分，為二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的原理，有，為了更接近正態(tài)分布，采用較正公式，即例11-

12、5：在教學(xué)評(píng)價(jià)活動(dòng)中，要求學(xué)生對(duì)教師的教學(xué)進(jìn)行7點(diǎn)評(píng)價(jià)（即17分），下表是某班學(xué)生對(duì)一位教師期中與期末的兩次評(píng)價(jià)結(jié)果，試問兩次結(jié)果差異是否顯著？建立假設(shè)： 確定正、負(fù)號(hào)數(shù)目，正負(fù)號(hào)總數(shù)的值 ，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量比較與決策0.05，接受虛無(wú)假設(shè)，差異不顯著。不能認(rèn)為期中、期末兩次評(píng)價(jià)結(jié)果有顯著差異。二、符號(hào)等級(jí)檢驗(yàn)法（一）適用條件維爾克松符號(hào)等級(jí)檢驗(yàn)法（Wilcoxon Signed-Rank test）是由維爾克松提出的，又稱符號(hào)秩和檢驗(yàn)，有時(shí)也簡(jiǎn)稱為維爾克松檢驗(yàn)法。其使用條件與符號(hào)檢驗(yàn)法相同，也適合于配對(duì)比較，但它的精度比符號(hào)檢驗(yàn)法高，因?yàn)樗粌H僅考慮差值的符號(hào)還同時(shí)考慮差值大小。 目的是推斷配對(duì)樣

13、本差值的總體中位數(shù)是否和0有差別，即推斷配對(duì)的兩個(gè)相關(guān)樣本所來(lái)自的兩個(gè)總體中位數(shù)是否有差別。（二）計(jì)算步驟1、小樣本（25）檢驗(yàn)（1）把相關(guān)樣本對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)之差值按絕對(duì)值從小到大作等級(jí)排列（注意差值為零時(shí)，零不參加等級(jí)排列）；（2）在各等級(jí)前面添上原來(lái)的正負(fù)號(hào)；（3）分別求出帶正號(hào)的等級(jí)和（T）與帶負(fù)號(hào)的等級(jí)和（T），取兩者之中較小的記作T；（4）根據(jù)N，T查符號(hào)等級(jí)檢驗(yàn)表，當(dāng)T大于表中臨界值時(shí)表明差異不顯著；小于臨界值時(shí)說(shuō)明差異顯著。例11-6 ：某幼兒園對(duì)10名兒童在剛?cè)雸@時(shí)和入園一年后均進(jìn)行了血色素檢查，結(jié)果如下，試問兩次檢查有否明顯變化？1）建立假設(shè)：正負(fù)號(hào)等級(jí)和無(wú)顯著差異。即入園時(shí)和入園

14、一年沒有顯著差異，。：正負(fù)號(hào)等級(jí)和有顯著關(guān)系。即入園時(shí)和入園一年有顯著差異，2）求成對(duì)數(shù)據(jù)的差數(shù)值，見上表。3）按排列順序（不包括0）并添加符號(hào)。并將原來(lái)差值的正負(fù)號(hào)添加在等級(jí)前。4）計(jì)算正號(hào)等級(jí)和（）與負(fù)號(hào)等級(jí)和（），并取較小者為值，即T1+6+2+514 ；T+=8+4+3+7+9=315）根據(jù)符號(hào)總數(shù)，查符號(hào)秩序臨界值表，進(jìn)行比較與決策表13-7 單側(cè)符號(hào)秩序檢驗(yàn)法統(tǒng)計(jì)判斷規(guī)則T與臨界值（CR）比較P值差異顯著性TT0.05T0.01TT0.05TT0.01P0.050.01P0.05P0.01不顯著顯 著極顯著當(dāng)N時(shí)，。因?yàn)椋?.05，接受虛無(wú)假設(shè)，拒絕研究假設(shè)，差異不顯著。說(shuō)明入園時(shí)

15、與入園一年幼兒的血色素沒有明顯變化。2、大樣本N>25T的分布接近正態(tài)分布，其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： ， 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：若出現(xiàn)相同等級(jí)較多（超過25%）時(shí)，應(yīng)采用校正統(tǒng)計(jì)量Z： 式中，tj為第j(j=1,2)次相持所含相同秩次的個(gè)數(shù)。如例10-1，第1次相持，有兩個(gè)差值的絕對(duì)值均為2.29，則t1=2；第2次相持，有兩個(gè)差值均為11.54，則t2=2。于是，(23-2)+(23-2)=12。例11-7：對(duì)例11-5進(jìn)行符號(hào)等級(jí)檢驗(yàn)。1）建立假設(shè)： ： 2）確定值 ， 3）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 求均數(shù) 2）求標(biāo)準(zhǔn)差 3）求Z值 ，0.05，拒絕虛無(wú)假設(shè)，接受研究假設(shè)，差異顯著。說(shuō)明對(duì)該教師的兩次評(píng)價(jià)有

16、顯著差異。第三節(jié) 等級(jí)方差分析 一、克瓦氏單向方差分析（一）適用條件 當(dāng)實(shí)驗(yàn)是按完全隨機(jī)方式分組設(shè)計(jì)，且所得數(shù)據(jù)資料又不符合參數(shù)方法中的方差分析所需假設(shè)條件時(shí)，可進(jìn)行克瓦氏單向方差分析，即Kruskal and Wallis方差分析，也稱H檢驗(yàn)。（二）檢驗(yàn)步驟1、當(dāng)K=3 且ni5時(shí)例11-8：有 11名學(xué)生分別來(lái)自教師、工人和干部家庭，進(jìn)行創(chuàng)造力測(cè)驗(yàn)的結(jié)果如下，試問家長(zhǎng)的職業(yè)與學(xué)生創(chuàng)造力有否某些聯(lián)系？教師家庭工人家庭干部家庭測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)等級(jí)90489312811915801114101069101710389268523718111）將數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，計(jì)算，見上表。2）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 = 2.373)

17、進(jìn)行統(tǒng)計(jì)決策， 查表17，當(dāng)，時(shí)， ，接受原假設(shè)，說(shuō)明家長(zhǎng)的職業(yè)與學(xué)生創(chuàng)造力無(wú)顯著關(guān)系。2、K>3或ni>5時(shí)計(jì)算出H值，然后查的表，df=K-1，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)決策。 例11-9： A、B、C、D四所學(xué)校分別選出一部分人作為本校代表隊(duì)參加物理競(jìng)賽，結(jié)果如下。問四所學(xué)校成績(jī)有否顯著差異？成績(jī)相應(yīng)秩次ABCDABCD8099897610.532.5245.58891826622.526147879881752130133.58798807818.53010.58909986762532.518.55.58696867322.52818.5285928671162718.51988480301510.5753.58010.5n78810136236132571）將數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，計(jì)算，見上表。2）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 = 27.53)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)決策， 查表，當(dāng)時(shí)，拒絕原假設(shè)，說(shuō)明四個(gè)代表隊(duì)成績(jī)有顯著差異。二、弗里得曼雙向等級(jí)方差分析（一）適用條件弗里得曼雙向等級(jí)方差分析（Friedman）可解決