復合函數(shù)求導法則

1、第四節(jié)第四節(jié) 復合函數(shù)求導法則復合函數(shù)求導法則 一元復合函數(shù)求導鏈式法則：一元復合函數(shù)求導鏈式法則： .),(),(dtdxdxdydtdytgxxfy 則則若若多元復合函數(shù)求導鏈式法則：多元復合函數(shù)求導鏈式法則： 情形情形1 1： dtdvvzdtduuzdtdztttfzvuvufzttvtu 且有且有可微可微在點在點則復合函數(shù)則復合函數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù)在對應點在對應點函數(shù)函數(shù)可微可微都在點都在點若函數(shù)若函數(shù),)(),(,),(),(,)(),(一、鏈式法則一、鏈式法則 相應鏈式圖：相應鏈式圖： tzuv.稱為全導數(shù)稱為全導數(shù)上述公式化中的上述公式化中的dtdz情形情形2 2：

2、 yvvzyuuzyzxvvzxuuzxzyxyxyxfzvuvufzyxyxvyxu , ,),(),(),(,),(),(,),(),(),(且有且有可微可微在點在點合函數(shù)合函數(shù)則復則復具有連續(xù)偏導數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù)在對應點在對應點數(shù)數(shù)函函可微可微都在點都在點若函數(shù)若函數(shù)相應鏈式圖：相應鏈式圖： xzuvy情形情形3 3： yuuzyzdxdvvzxuuzxzxvyxuvufz , ),(),(),(則則若若在情形在情形2 2中，若中，若 )(xv ，則得則得 相應鏈式圖：相應鏈式圖： xzuvy0 vz函數(shù)對某自變量的偏導數(shù)的結(jié)構(gòu)：函數(shù)對某自變量的偏導數(shù)的結(jié)構(gòu)： （1 1）項數(shù)）項數(shù)= =

3、中間變量的個數(shù)；中間變量的個數(shù)； （2 2）每一項）每一項= =函數(shù)對中間變量的偏導數(shù)與該函數(shù)對中間變量的偏導數(shù)與該 中間變量對指定自變量偏導數(shù)的乘積。中間變量對指定自變量偏導數(shù)的乘積。例例1 1、求下列復合函數(shù)的一階（偏）導數(shù)。、求下列復合函數(shù)的一階（偏）導數(shù)。 .,)4(;,ln)3(;,)2(;,cos)1(222xywyxvxyuuvwzyvxyuvuzyxvyxuuztyexyxzvt 例例2 2、求下列復合函數(shù)的一階（偏）導數(shù)。、求下列復合函數(shù)的一階（偏）導數(shù)。 .,)4(;,)3(;cos,sin,)2(;,),()1(2232yxwxtvteuuvwzxtvxytuvuzxvx

4、yuxuvzxvxuvuxzxy 二、抽象函數(shù)求（偏）導二、抽象函數(shù)求（偏）導 記法：記法：.)( ,)(:;)(:導導偏偏個中間變量求個中間變量求再對第再對第導導偏偏個中間變量求個中間變量求先對第先對第導導偏偏個中間變量求個中間變量求對第對第jififiji .,)( ,)( :)()1(乘積后相加乘積后相加導導偏偏指定自變量求指定自變量求中間變量對中間變量對導導偏偏函數(shù)對中間變量求函數(shù)對中間變量求導與前面的方法相同導與前面的方法相同偏偏抽象函數(shù)求抽象函數(shù)求:., ).,(),(:)2(求導結(jié)果求導結(jié)果量量既是中間變量也是自變既是中間變量也是自變這里這里其中其中特殊情形特殊情形yxyxuyx

5、ufz ,xfxuufxz .yfyuufyz 把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數(shù)數(shù)兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別區(qū)別類似類似例例3 3、求下列復合函數(shù)的一階偏導數(shù)。、求下列復合函數(shù)的一階偏導數(shù)。 ).,cos,(sin)4();,()3();()2(;),()1(222yxeyxfzzyyxfuzyxxfuxyzzyxfu .,),(合函數(shù)求導法則合函數(shù)求導法則偏導數(shù)時要重復使用復偏導數(shù)時要重復使用復對它們求對它們求為自變量的復合函數(shù)為自變量的復合函數(shù)為中間變量為中間變量仍然是以仍然是以的偏導數(shù)的偏導數(shù)間變量間變量對中對中則函數(shù)則函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)是是設設

6、yxwvuwzvzuzwvuzyxwvuwvufz .,),()4(;),sin,2()3(.),()2()2(.,),()(1)1(222222222222yzyxzxzyxfzyxzxyyxfzyxzxyxgyxfzyxzxzyxyfxyfxz 求求求求求求求求例例4 4、求下列復合函數(shù)指定的偏導數(shù)。、求下列復合函數(shù)指定的偏導數(shù)。 例例5 5、.:,)(,),(xyzyzyxzxufxyuuxfxyz 證明證明導函數(shù)導函數(shù)為可為可而而設設例例6 6、.11:,)(,)(222yzyzyxzxufyxfyz 證明證明為可導函數(shù)為可導函數(shù)其中其中設設例例7 7、 :),(22 yuxuyxfu式式把下式轉(zhuǎn)換為極坐標形把下式轉(zhuǎn)換為極坐標形設設練練 習習 題題 .,),sin,2(. 4.,),()(. 3.,),(. 2.),(),(,. 12)2(222)2(2)2(yxzcfxyyxfzyxuyxuxcgfxyxgyxyfuyxzcfxeuyxufzxvxuxyxgvxyxfugfy 求求設設求求設設求求設設求求連續(xù)可微連續(xù)可微設設作業(yè)作業(yè)習題習題6-46-4：3 3、4 4（1 1）（）（3 3） ., 0 ,sin, 0),(),(. 8,),(),(. 7., 0 062. 6.,),(. 5)1(222)2(2222222222