運用向量法證明幾個數學公式

1、運用向量法證明幾個數學向量法是幾何問題代數化的一種重要方法，運用向量法可以證明一些三角或者幾何公式，下面僅舉幾例予以說明。例1、用向量證明和差化積公式cos cos 2coscos22+-+=sin sin 2sin cos 22+-+=如圖，作單位圓，并任作兩個向量 (c o s , s i n OP = ，(cos,sin OQ =取PQ的中點M，則(s,sin22M + 連接PQ 、OM ，設它們相交于點N ，則點N 為線段PQ 的中點，且ON PQ ，Mo x和MOQ 分別為, 22+-，所以|cos cos 22ON OM -= ，所以點N 的坐標為(|cos ,|sin 22ON

2、ON + ，即(o s , c o s s i n2222N -+-+又11( (coscos ,sin sin 22ON OP OQ =+=+所以(coscos ,cos sin 2222-+-+1(coscos ,sin sin 2=+ 即cos cos 2cos cos 22 +-+= sin sin 2sin cos 22+-+= 在上面的基礎上，還可以證明另外兩個和差化積公式：sin sin 2cossin22+-= cos cos 2sinsin22+-=-如圖，過P 點作y 軸的平行線，過Q 作x 軸的平行線相交于點F ，那么|sin sin PF =- ，|cos cos FQ

3、 =-，QPFQNEMox2+，|2|2|sin 2sin 22PQ NQ OQ -=所以|cos ,|sin PF PQ QPF FQ PQ QPF =即sin sin 2cossin22+-=cos cos 2sin sin 22+-=-例2、用向量解決平行四邊形與三角形面積的計算公式如圖，在直角坐標系中，已知12(, OA a a a = ，12(, OB b b b =，以線段OA 、OB 為鄰邊作平行四邊形OACB ，那么平行四邊形的面積1221|S a b a b =-，三角形OAB 的面積12211|2OAB S a b a b =- 證明：設, a b = ，那么可以得出 |s

4、in OACB S a b = ，由于cos |a ba b =所以222sin 1cos 1( |a ba b =-=-222222222所以sin = 所以1221|OACB S a b a b =-，因此12211|2OAB S a b a b =-例3、用向量法證明三角形面積的海倫公式三角形面積的海倫公式 : S , 式中c b a , , 為三條邊的邊長, (21c b a p +=, S 為三角形的面積. 證明: 證明: 在三角形ABC 中, 設BC a = , CA b = , AB c = , a a =,b b = , c c =因為：ABC 的面積為: 1sin 2S ab

5、 C =所以: 222222211|sin |(1cos 44S a b C a b C =-2222211|cos 44a b a b C =- 2221(|( 4a b a b - (1因為: 0 =+c b a , 所以: c b a -=+, 所以: 22 (c b a =+,所以: (21222b a c b a -= (2將(2式代入(1式, 并化簡得:. 22( 22( 22(2161(161 ( (161(2(2161所以 S =例4、向量方法證明三角形中的射影定理 在ABC 中，設三內角A 、B 、C 的對邊分別是a 、b 、c . AC CB AB ， ( AC AC CB AB AC +=2|AC AC CB AB AC +=2|cos( |cos AC AC CB C AB AC A +-=|cos |cos AC CB C AB A -=b a cos C c co