北京市一零一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)10月月考試[含答案]

1、北京市一零一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)10月月考試題一、選擇題共8小題。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.設(shè)集合 A=-1, 1? 2),B=a+b，一2,若Af）B=-1, 2,則 a的值為（）A. -2 或一1B.C. 2 或 1D. 0 或一 22.已知向量行（b -2）,人（勿，4）,且a兒那么2a6等于（A. (4, 8)B.(4, 0)C. (0, 4)D.(一4, 8)a3 .己知 ae (),且 tana = 7i,2 2那么sina=(D.4 .在數(shù)列4中，若。哼I, %1=久+3 （/?GN*）,則.01=（A. 2100-3B. 2101-3D. 2.一3

2、5若定義在R上的函數(shù)滿足,對任意玉，/G1有/（演+與）=/（演）+ /（/）+1，則下列說法一定正確的是（）A. /（X）為奇函數(shù)8. /（£）+1為奇函數(shù)C. /（x）為偶函數(shù)D. /（無）+1為偶函數(shù)6 . AABC 中，“cosAVcosB” 是 “sinAXinB” 的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7 .設(shè)可，巧，均為實(shí)數(shù)，且（：）"=】82（%十1），（，2=叫與，（i）x, = log2x3 ,A. x1<xJ<x2B. xJ<x2<x1 C. x<x1<x2D. x2&

3、lt;x1<xJjr8 .設(shè)函數(shù)f（x）=sin （ m+ ）（卬0）,已知/（x）在0, 2不有且僅有5個零點(diǎn)，下述四個結(jié)論:/（x）在（0, 2不）有且僅有3個極大值點(diǎn)；/（x）在（0, 24）有且僅有2個極小值點(diǎn)；/（外在（0,）單調(diào)遞增；切的取值范圍是3，Q其中所有正確結(jié)論的編號是（）A.B. C.D.二、填空題共6小題。9 .己知復(fù)數(shù)z滿足z + ?=0,則|z卜。 z10 .己知函數(shù)/（） = J§sinxcosx +cos2x ,若將其圖象向右平移（。0）個單位長 2度后所得的圖.象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則a的最小值為。11 .不等式QQM）不是恒成立的，請你只對該不等式

4、中的數(shù)字作適當(dāng)調(diào)整， 使得不等式恒成立。請寫出其中一個恒成立的不等式：。12 .紙張的規(guī)格是指紙張制成后，經(jīng)過修整切邊，裁成一定的尺寸?，F(xiàn)在我國采用國際標(biāo) 準(zhǔn)，規(guī)定以AO, Al, A2, Bl, B2,等標(biāo)記來表示紙張的幅面規(guī)格。復(fù)印紙帽面規(guī)格只采用 A系列和B系列，其中系列的幅面規(guī)格為：AO, Al, A2,A8所有規(guī)格的紙張的幅寬（以，表示）和長度（以尸表示）的比例關(guān)系都為x :y = 1:2 ；將A0紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為A1規(guī)格，A1紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩 等分，便成為A2規(guī)格，如此對開至A8規(guī)格?，F(xiàn)有AO, Al, A2,，A8紙各一張。若A4紙的寬度為2 dm,則A0

5、紙的面積為 dm-；這9張紙的面積之和等于 dm-o13 .如圖，A, B, P是圓0上的三點(diǎn)，OP的延長線與線段BA的延長線交于圓0外一點(diǎn)Q,若麗:血+ b礪，則a + b的取值范圍是14 ,&/(X), g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù)，的周期為4, gQ)的周期為2,(k(x + 2),0 <x<l, 且/(x)是奇函數(shù)。當(dāng)xw(0,2時，/(x) = A/l-(x-l)2，虱力1,_ 其中I"? I"。，無>0。若在區(qū)間(09上，關(guān)于a的方程/Q) = g(x)有8個不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是三、解答題共6小題。解答應(yīng)寫出文字說明、演算

6、步驟或證明過程。15 .已知等差數(shù)列4中，4=6, a5 +6 =26o(1)求數(shù)列4的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)2=2一+，求數(shù)列的前a項(xiàng)和5,。16 .在銳角AABC中，角A, B, C所對應(yīng)的邊分別是挑b, c, a. sinB=J5 AosA。(1)求/A的大??；(2)若Zf5,求。的值.17 .己知函數(shù)/(x)=-皿？% + 2sinx v5sin(x + )(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)XE王，時，對任意fwR,不等式m尸一相+ 2之/(乃恒成立，求實(shí)數(shù)次3的取值范圍。18 .已知函數(shù)幻二2必一工2+2。(1)討論/Q)的單調(diào)性；(2)當(dāng)0<水3時，記fS

7、)在區(qū)間0, 1的最大值為M,最小值為m,求Mm的取值范國。19 .己知函數(shù)，(x) = e*<a+lnx),其中awR。(1)若曲線y = /C0在片1處的切線與直統(tǒng)尸=一色垂直，求a的值； e(2)記/(X)的導(dǎo)函數(shù)為g(x).當(dāng)反Q (0, In 2)時，證明：g(x)存在極小值點(diǎn)為，且.20.若數(shù)列a，滿足：對于任意的正整數(shù)a, a“eN*, qv%，且丐“=羽，則稱 該數(shù)列為“跳級數(shù)列二(1)若數(shù)列4為''跳級數(shù)列:且&=4,求處，6®的值；(2)若數(shù)列4為“跳級數(shù)列”，則對于任意一個大干苗的質(zhì)數(shù)q，在數(shù)列4中總有一項(xiàng)是。的倍數(shù)；(3)若q為奇

8、質(zhì)數(shù)，則存在一個“跳級數(shù)列” 4,使得數(shù)列中每一項(xiàng)都不是Q的倍數(shù)。參考答案I. C 2. A 3 D 4. D 5. B 6. C 7. A 8. D 9再.10.12II. 2n>rrc (c>l)； 3n>n31； 4n>n:1 (答案不唯一).根據(jù)題意A4的長寬分別是2后，2； A3的長寬分別是4, 22； A2的長寬分別是4V2, 4； A1的長寬分別是& 272； A0的長寬分別是8或，8；所以A0的面積為64公 , AO, Al, A2,A8紙張的面積是以首項(xiàng)為64日公比為;的等比數(shù)列，所以這9張紙64a/21-(-)9 石的面積之和等于#=沙生1-

9、1 4 214.15.(1)設(shè)等差數(shù)列4的苜項(xiàng)為比，公差為H4 =幺 d = 2.所以4 = q +(n-V)d = 2n(2)由(1)可得幺=22" + = 4" + ，所以 =4(1-4") + 加 + ) _ 4川-4 + 1-416. (1)在AABC中，由正弦定理一.sin J smB,得asinB = AsinZ。又asinB =bcosZ 7 得tanZ =、/5。由于0<a<¥,所以A='。 23(2) a = 421 9 /5, A=,3在AABC中，由余弦定理，=/+，一次005/,得21=5工+12.5c1，即2

10、5c + 4 = 0, 2解得c=l9或*4。當(dāng)叱篝I。此時，AABC為鈍角三角形，舍去。經(jīng)檢驗(yàn), c=4滿足題意。17. (1)由痣sin(x +')/0 得x/無乃一色，kwZ,因?yàn)椤?cos2x 一 .cos2x-sin2 x ". 二. z 乃、j(x) = -+ 2sinx = ；+ 2sinx = cosx + sinx = V2sin(x + )sinx + cosxsinx + cosx4所以/(x)的最小正周期T=2萬。因?yàn)楹瘮?shù)尸= sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為(2七r 一色，2A+),無eZ,22又由2無點(diǎn)<x + <2k兀+ ,無eZ, 242解

11、得2力r<x <2hr +m , JteZ44所以函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（加一把,Zbr色）和（如一色,加+色） 4444(2)由(1)得/(x) = Vsi域x + 4。因?yàn)椤癢年當(dāng)卜所以一：所以/（X）在軍，生上單調(diào)遞減，所以/&）一 =/（-） = K 32則題目等價于m產(chǎn)一+ 2之1恒成立，即m產(chǎn)-mf+ 1之0恒成立,當(dāng)療。時，有1'0恒成立?當(dāng)m#0時,有應(yīng)0且=/»2 4m 40 ,得到m& (0, 4。綜上,irG 0? 4 o18. (1) r(x) = 6x2 - 2ax = 2x(3x-a)。令ra）=o,得片?；蚱?。

12、若於o,則當(dāng)xq（8, o）u+8）時，ra）o；當(dāng)xw（a,時,ra）o。故/（X）在（一8, 0）, （-, +co）單調(diào)遞增，在（0,-）單調(diào)遞減；若華0, f（x）在（-8, +8）單調(diào)遞增；若水o,則當(dāng)代（-co, -）u（0, +co）時，ra）o；當(dāng)/£0）時, 33ra）o。故，（X）在（-Q0,（0, +8）單調(diào)遞增，在（g, 0）單調(diào)遞減。（2）當(dāng)0水3時，由（1）知，/Q0在（0,-）單調(diào)遞減，在（0，1）單調(diào)遞增， 33所以/CO在0, 1的最小值為/（g）=一+ 2,最大值為"0） = 2或”1） = 4一。327J于是m =+ 2, M=274-

13、o,0<a<2, 所以M-m = 2, 2Wav3.4,272<a<3.當(dāng)（X水2時，可知2 - a +單調(diào)遞減，所以為一的取值范圍是（亙，2）。 2727當(dāng)2<a<3時，單調(diào)遞增，所以的取值范圍是2，1)。2727Q綜上，Mm的取值范圍是士，2),2719. (1) /T(x) = eJ (a+lnx) + ex = eJ -(a+ + 1hx) o xx依題意，有r(l) = e-(a + l) = c ,解得a=0。(2)由(1)得二夕(-+lnx), x所以g'CO =ex (a+- + lnx) + eJ-) = ex (a+ - + In

14、x)。XX XX X因?yàn)閑">0,所以g，(x)與1 + 2 3+1以同號。 X Xvn iz 21. n,、x2 2x + 2 (x I)2 +1設(shè)h(x) = a+T+ lnx ,貝q"(x) =-。X XXX所以對任意aG (0, +oo),有"Qr)>0,故如x)在(0, +8)單調(diào)遞增。因?yàn)橐?(0, In 2),所以4(1)=> 1>0, A(-) = a + ln <0,22故存在而左（3）'使得雙/）=0。屋、公與g'QO在區(qū)間（楙，1）上的情況如下:(Q,0)g'(x)-g(x)、極/所以05

15、在區(qū)間弓）上單調(diào)遞減，在區(qū)間5, D上單調(diào)遞增。所以若益£ （0, In 2）,存在刈£ （-, 1）,使得是g CO的極小值點(diǎn)。2令 Z?()=0,得a+ 111%)= 交1 _7r所以(a + lnxo) = e10<0。%20. (1) 4=3, Oj01 = 101(2)數(shù)列為“跳級數(shù)列"，VwN*, %14為正整數(shù)，iBs=min« |ne /m n/m n .N*),可知 s£N*,且2>s21%一藥=藥。記切£ £N*|s=a»i &),對于質(zhì)數(shù)小必存在上使得2分。（反3*）。反復(fù)應(yīng)用得另一方面，因?yàn)閷τ跐M足2%4/W2片（研1） 1的任意，均有%一4之s。所以對于所有2%W/?W2" Gn+1） b都有當(dāng)力一（利用迭加）。這表明，數(shù)列4.，丐上川1,4,父 4J.3,，。次al）是以$為公差的等差數(shù) 列。假設(shè)對于整數(shù)對（八j） （OW*_/W2-1）,均有外上91-4”.,是質(zhì)數(shù)Q的整數(shù)倍，即4*aj 4"（尸i） S必為2的整數(shù)倍，0<JX且0<sW比一2=處<"同時成立，知