數(shù)形結合在不等式中的應用杜欣

1、 數(shù)形結合解與不等式有關的問題 清華中學 數(shù)學組 杜欣一、教學內容分析：在數(shù)學發(fā)展的進程中,形和數(shù)常常結合在一起,在內容上互相聯(lián)系,在方法上互相滲透,在一定的條件下互相轉化，故而數(shù)形結合是我們在解題應用中常用的數(shù)學思想方法。數(shù)形結合思想是解答數(shù)學問題的一種常用方法與技巧，數(shù)形結合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質。通過對圖形的認識，數(shù)形結合的轉化，可以培養(yǎng)思維的靈活性、形象性，使問題化難為易、化抽象為具體。數(shù)形結合的思想方法將抽象的代數(shù)問題給以形象化的原型，訓練人們思維形象化的思維品質；將復雜的代數(shù)問題賦予靈活變通的形式，從而給人們

2、思維靈活性的思維遷移訓練，這正是反映了數(shù)形結合的思維方法解決數(shù)形之間問題的有效途徑所在。不等式揭示了現(xiàn)實世界中廣泛存在的量與量之間的不等關系。用數(shù)形結合解決不等式問題的優(yōu)越性在于將圖形性質的問題轉化為數(shù)量關系的問題或者把數(shù)量關系的問題轉化為圖形性質的問題,使復雜問題簡單化,抽象問題具體化,化難為易,獲得簡便易行的方案。本節(jié)為高三的一節(jié)復習課，學生在之前的學習中已經能夠基本掌握高中數(shù)學知識的結構框架，數(shù)學思想方法也在日常的教學中多有滲透，然而學生對于如何正確運用數(shù)學思想方法學習數(shù)學或解題還有諸多疑惑。本節(jié)課將從不等式的解法、不等式的證明以及關于最值問題等知識進行比較歸類，分析探討數(shù)形結合在不等式

3、中的應用，旨在教學中使學生能夠領悟數(shù)學思想方法的妙用，納入到自己的知識結構中去，變成自己的財富。2、 三維目標： 1、通過本節(jié)教學旨在使學生理解用數(shù)形結合的思想方法解決不等式及求參數(shù)的取值范圍使不等成立的問題。 2、在用數(shù)形結合的思想方法解題過程中，通過研究不等式的基礎理論、解不等式、和不等式的應用等問題，深化數(shù)學知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決題的能力。 3、在解決問題的過程中，形成和發(fā)展理性思維，提高學生數(shù)學素質及創(chuàng)新意識，通過領悟數(shù)形結合在不等式中的應用，從而發(fā)展出數(shù)形結合在其他知識點中的廣泛應用。3、 教學重點： 解不等式,就是要對不等式進行同解變形,使之變?yōu)榕c原不等式同解的最簡

4、不等式。不等式靈活變換的特點和廣泛應用的價值對培養(yǎng)學生能力，發(fā)展學生思維提出了較高的教學要求，結合圖形研究,可以避免復雜的討論,化繁為簡。4、 教學難點： 用數(shù)形結合的思想解決不等式相關問題雖然可以化繁為簡，但是在實際應用時學生很難找到切入點，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在教學中通過實例講解以及聯(lián)系使得學生能夠應用數(shù)形結合的方法解決不等式的相關問題。 五、課時安排： 1課時六、典例解析：類型一：解不等式得x的取值范圍：例1（2013.江西文.6）下列選項中，使不等式成立的的取值范圍是（）選題立意：作為第一道例題，本題的解決方式并不唯一，先讓學生自

5、行解決，學生不難想到用特值法，代數(shù)法以及數(shù)形結合的方法。讓學生對比以后顯然特值較快，其次數(shù)形，最后才是代數(shù)。讓學生比較自然的覺得數(shù)形的可取之處。審題破題：若用一般的代數(shù)法解此不等式，既要分類還要分步，顯得步驟繁瑣。觀察所給不等式，都是由基礎函數(shù)組成，圖像是熟悉的，故而可聯(lián)想通過作圖的方法得到未知數(shù)取值范圍。特別地，需提醒學生在作草圖的過程中不應忽略對特殊點的描繪。解：由基本初等函數(shù)的圖像分析之，若要滿足此不等式，只需滿足即可，故而選A。變式訓練1：用表示三個數(shù)中的最小值，設，則的最大值為（ ） 答案6選題立意：相比例題此變式訓練不能用特值法，故而數(shù)形結合成了解此題的最佳方法，學生稍加提醒便能想

6、到此法，并能進一步感受數(shù)形結合帶來的方便與直接。審題破題：畫出，yx2，y10x的圖象，如圖所示，觀察圖象，可知當0x2時，f(x)2x，當2<x4時，f(x)x2，當x>4時，f(x)10x，f(x)的最大值在x4時取得，為6. 例2：（2010年 新課標 全國卷 8）設偶函數(shù)滿足，則的解集為（ ） 選題立意：此題相較例1加入了一些函數(shù)的性質，也是需要熟悉函數(shù)的一些基本性質：單調性，奇偶性，周期性等，還要理解函數(shù)的一些平移變化規(guī)則，是對數(shù)形結合的另一重考察。審題破題：考題依舊是給了一個初等函數(shù)的平移形式，只需作圖得的解集，在此基礎上將解集中的替換成，解得答案B。變式訓練1： 已知

7、f(x)是定義在(3,3)上的奇函數(shù)，當0<x<3時，f(x)的圖象如圖所示，那么不等式f(x)·cos x<0的解集是_答案 選題立意：此題較之前的習題，又提出了對抽象函數(shù)的考察。在細節(jié)上函數(shù)與y軸的空心點又考察了奇函數(shù)的特性，對于培養(yǎng)學生謹慎細致的思考有幫助。審題破題：根據(jù)對稱性畫出f(x)在(3，0)上的圖象如圖，結合ycos x在(3,0)，(0,3)上函數(shù)值的正負，易知不等式f(x)cos x<0的解集是 變式訓練2：已知函數(shù)，則滿足不等式的x取值范圍是（ ） 選題立意：回歸具體函數(shù)，但多重函數(shù)相套須得學生真正理解函數(shù)的基本定義概念，定義域與值域的相

8、對性也對學生提出了挑戰(zhàn)。審題破題：同樣是初等函數(shù)，不同的是解不等式需從外到內，可舉例讓學生體會，解兩次不等式即可得C。類型二、解不等式求參數(shù)取值范圍：例1：（2013年 全國2卷 12）若存在正數(shù)x使成立，則a的取值范圍是（ ） 選題立意：解參數(shù)取值范圍與求解x取值范圍不同，學生須注意到要解參數(shù)取值范圍一般得要對原不等式變形。審題破題：原不等式只需稍作變形就可化作兩個初等函數(shù)的不等式：因為，則可將原不等式兩邊同除，得，在坐標系中作出函數(shù)，的圖像，分析之，只須即可，所以選D。變式訓練：（2013 全國理1卷 11）已知函數(shù)，若，則a的取值范圍是_答案2,0選題立意：該變式除了涉及絕對值的翻折變換

9、以外，還有培養(yǎng)學生縝密思維的分類思想，使得學生在體會數(shù)形結合解不等式的方便之外，更是能感受到與其他數(shù)學思想的結合應用。審題破題：函數(shù)y|f(x)|的圖象如圖當a0時，|f(x)|ax顯然成立當a>0時，只需在x>0時，ln(x1)ax成立比較對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)yax的增長速度顯然不存在a>0使ln(x1)ax在x>0上恒成立當a<0時，只需在x<0時，成立。即ax2成立，a2。例2：設有函數(shù)和，已知x4,0時恒有f(x)g(x)，求實數(shù)a的取值范圍選題立意：在求參的時候，除了要會適當變形，還應考慮函數(shù)本身蘊含的幾何意義，可以將題目中的某些條件用圖象表現(xiàn)出來，

10、利用圖象間的關系以形助數(shù)，求方程的解集或其中參數(shù)的范圍。審題破題x4,0時恒有f(x)g(x)，可以轉化為x4,0時，函數(shù)f(x)的圖象都在函數(shù)g(x)的圖象下方或者兩圖象有交點。解f(x)g(x)，即，變形得，令 變形得，即表示以(2,0)為圓心，2為半徑的圓的上半圓；表示斜率為，縱截距為1a的平行直線系設與圓相切的直線為AT，AT的直線方程為：yxb(b0)，則圓心(2,0)到AT的距離為d，由2得，b6或(舍去)當1a6即a5時，f(x)g(x)變式訓練：解不等式選題立意：本題雖不是求參的取值范圍，但要求解x的取值范圍卻離不開對參數(shù)取值的分類討論，是對例題的延伸。審題破題：這里出現(xiàn)了參數(shù)

11、a,討論起來會很困難,而用圖像法則十分簡潔.的圖像是，是此圓的上半部,再令y=a-x,這是斜率為-1的平行直線束,它在y軸上的截距為a,不難從圖中看出:1)當時,解為x;2)當-1<a3時,解為;3)當時,解為,其中為方程的兩根：4）當時，解為；5）當時，解集為.題型三數(shù)形結合解決有明顯幾何意義的式子(概念)問題例1：已知函數(shù)(a，bR且a>0)有兩個零點，其中一個零點在區(qū)間(1,2)內，則的取值范圍為_選題立意：如果等式、代數(shù)式的結構蘊含著明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結合的思想方法來解題，即所謂的幾何法求解，比較常見的對應有：(1)可看做(a，b)、(m，n)連線的斜率；(2)

12、可看做(a，b)、(m，n)之間的距離；(3)可看做a、b、c為直角三角形的三邊；(4)可看做f(x)圖象的對稱軸為x：只要具有一定的觀察能力，再掌握常見的數(shù)與形的對應類型，就能使得學生能夠熟練運用數(shù)形結合的思想方法解決不等式的問題。 答案(2,1) 審題破題先根據(jù)圖象確定a，b滿足的條件，然后利用的幾何意義：兩點(a，b)，(1,0)連線斜率求范圍。因為a>0，所以二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上又f(0)1，所以要使函數(shù)f(x)的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則有 ，即如圖所示的陰影部分是上述不等式組所確定的平面區(qū)域，式子表示平面區(qū)域內的點P(a，b)與點Q(1,0)連線的斜率而直線QA

13、的斜率，直線4a2b10的斜率為2，顯然不等式組所表示的平面區(qū)域不包括邊界，所以P，Q連線的斜率的取值范圍為(2,1)變式訓練:1已知點P(x，y)的坐標x，y滿足則的取值范圍是_選題立意：例題的延伸，主要考察學生的遷移應用能力。答案2,16審題破題：畫出可行域如圖，所求的是點Q(3,0)到可行域上的點的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線xy10(x0)的距離d的平方，最大值為取值范圍是2,16變式訓練2：如果實數(shù)x,y滿足等式求的最大值.審題破題:此題如果用純代數(shù)方法來解并非易事,考慮方程表示的幾何意義可知,此方程表示以點(2,0)為圓心,為半徑的圓,而則表示這個圓上的點(x,y)和原點連線的斜率,于是問題轉化為在圓上求一點,使這點與原點所確定的直線斜率為最大.作圖可知,當直線和圓上方相切于點P時,k取到最大值,此時k=,即的最大值為.七、教學反思：以上通過幾個例子,大體說明了數(shù)形結合在不等式教學中的應用. 在數(shù)學教學中,應抓住數(shù)形結合的解題契機:(1)在審題時與解題前,運用數(shù)形結合的思想方法勾畫題目大意,完善認識結構,確定解題思路.(2)