用微積分理論證明不等式的方法百度文庫

1、用微積分理論證明不等式的方法微積分是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，以它為工具能較好的研究函數(shù)的形態(tài)，有些常規(guī)方法難于證明的不等式，若能根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，巧妙的構(gòu)造函數(shù)，將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，利用微積分理論研究函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)證明不等式一、用導(dǎo)數(shù)定義證明不等式法1證明方法根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，若極限存在，則稱函數(shù)在可導(dǎo)，稱這極限為函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)，記作2證明方法：(1找出，使得恰為結(jié)論中不等式的一邊；(2利用導(dǎo)數(shù)的定義并結(jié)合已知條件去研究3例 :設(shè)函數(shù)，其中都為實數(shù)，為正整數(shù)，已知對于一切實數(shù)，有，試證：分析：可以看出：于是問題可以轉(zhuǎn)化為證明證明：因則利

2、用導(dǎo)數(shù)的定義得：由于所以即4.適用范圍用導(dǎo)數(shù)定義證明不等式，此方法得適用范圍不廣，我們應(yīng)仔細(xì)觀察問題中的條件與結(jié)論之間的關(guān)系有些不等式符合導(dǎo)數(shù)的定義，因此可利用導(dǎo)數(shù)的定義將其形式轉(zhuǎn)化，以達(dá)到化繁為簡的目的二用可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性證明不等式法1.證明方法根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系定理定理一：若函數(shù)在可導(dǎo)，則在內(nèi)遞增（遞減）的充要條件是：.定理二：設(shè)函數(shù)在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，如果在內(nèi)（或），那么在上嚴(yán)格單調(diào)增大（或嚴(yán)格單調(diào)減?。?定理三：設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，若（或），則在內(nèi)嚴(yán)格遞增（或嚴(yán)格遞減）.2.證明方法（1）構(gòu)造輔助函數(shù)，取定閉區(qū)間；(2研究在上的單調(diào)性，從而證明不等式.3.例 ：證明不

3、等式：.分析：利用差式構(gòu)造函數(shù)，則將要證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為要證，而，因而只要證明.證明：令，易知在上連續(xù)，且有，由定理二可知在上嚴(yán)格單調(diào)增加，所以由單調(diào)性定義可知，即.因此.4.適用范圍利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，不等式兩邊的函數(shù)必須可導(dǎo)；對所構(gòu)造的輔助函數(shù)應(yīng)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在閉區(qū)間的某端點處的值為0，然后通過在開區(qū)間內(nèi)的符號來判斷在閉區(qū)間上的單調(diào)性.三、用拉格朗日中值定理證明不等式法1.證明方法根據(jù)拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿足下列條件：（I）在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點，使得.拉格朗日中值定理反映了函數(shù)或函數(shù)增量和可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號之間的

4、關(guān)系.2.證明方法輔助函數(shù)，并確定施用拉格朗日中值定理的區(qū)間；對在上施用拉格朗日中值定理；利用與的關(guān)系，對拉格朗日公式進行加強不等式.3.例 證明：當(dāng).分析：所證不等式中的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 ，即所證不等式中含有函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，因而可用拉格朗日中值定理試之.由于，因此可構(gòu)造函數(shù)的改變量，則相應(yīng)自變量的改變量為，原不等式等價于：，由不等式中間部分的形式可知，可利用拉格朗日中值定理去證明.證明：構(gòu)造函數(shù)，因在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，在上滿足拉格朗日條件，于是存在，使 ，因，所以. 即.4.適用范圍當(dāng)所證的不等式中含有函數(shù)值與一階導(dǎo)數(shù)，或函數(shù)增量與一階導(dǎo)數(shù)時，可用拉格朗日中值定理來證明.四、用柯西中值定理證明不等

5、式法1.證明方法根據(jù)柯西中值定理柯西中值定理：若函數(shù)與都在閉區(qū)間上連續(xù)，與都在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；與在內(nèi)不同時為0；且， 則在內(nèi)至少存在一點，使得 .柯西中值定理反映了兩個函數(shù)或兩個函數(shù)增量與它們一階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.2.證明方法構(gòu)造兩個輔助函數(shù)和，并確定它們施用柯西中值定理的區(qū)間；對與在上施用柯西中值定理；3.例：設(shè)，證明.分析：原不等式可等價于.可看出不等式左邊可看成是函數(shù)與在區(qū)間上的改變量的商，故可用柯西中值定理證明之.證明：原不等式等價于，可構(gòu)造函數(shù)，,因均在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，由于，則，所以在上滿足柯西中值條件，于是存在，使得，又因有，得到 ,因此,即.4.適用范圍當(dāng)不等式含有兩個函數(shù)的函

6、數(shù)值及其一階導(dǎo)數(shù)，或兩個函數(shù)的函數(shù)增量及其一階導(dǎo)數(shù)時，可用柯西中值定理證明.五、用函數(shù)的凹凸性證明不等式1. 函數(shù)的凹凸性定理反映了二階可導(dǎo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)符號與凹凸函數(shù)之間的關(guān)系.定理如下:設(shè)f(x在a,b上連續(xù),在(a,b內(nèi)二階可導(dǎo),若f(x>0或(f(x<0,則曲線y=f(x在a,b上為凹(或凸。 2.例：證明：當(dāng)時, .分析：不等式等價于：.不等式兩邊含有相同“形式”：,可設(shè)輔助函數(shù).因此原不等式化為要證.只要證明在上為凸函數(shù)，即證在內(nèi)即可.證明（定義證明法）：設(shè).有.則在為凸函數(shù).對任意，有(取.(要使與的系數(shù)相同，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，即.因此.3.適用范圍當(dāng)不等式可寫成凹凸函

7、數(shù)定義的形式或?qū)σ恍┖瘮?shù)值和且能夠構(gòu)造凸函數(shù)的不等式.六、用泰勒公式證明不等式法1.證明方法根據(jù)泰勒定理泰勒定理：若函數(shù)滿足如下條件：在閉區(qū)間上函數(shù)存在直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù);在開區(qū)間內(nèi)存在的階導(dǎo)數(shù)，則對任何，至少存在一點，使得2.證明方法根據(jù)已知條件，圍繞證明目標(biāo)，選取恰當(dāng)?shù)狞c將函數(shù)在這些點展成泰勒展式；根據(jù)已知條件，向著有利于證明目標(biāo)不等式的方向?qū)ι厦娴恼故阶鬟m當(dāng)?shù)奶幚?，直到可以結(jié)合已知條件證出不等式為止. 3.例：設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，,且，試證明：.分析：根據(jù)題設(shè)條件，在上二階可導(dǎo)，且函數(shù)值，可寫出函數(shù)在處的一階泰勒公式，并取考察點0或1，利用相應(yīng)的泰勒公式。證明：取，由泰勒公式分別有：.由于，

8、則將以上兩式做差，整理得：所以 因此原不等式成立.4.適用范圍當(dāng)遇到含有函數(shù)或高階導(dǎo)數(shù)，或函數(shù)增量與高階導(dǎo)數(shù)，或要證的是導(dǎo)數(shù)（一階或二階）不等式時，可利用泰勒公式來證明有關(guān)的不等式.七、用定積分理論來證明不等式法1.證明方法根據(jù)定積分的性質(zhì)和變上限輔助函數(shù)理論定積分性質(zhì)之一：設(shè)與為定義在上的兩格可積函數(shù)，若,則.微積分學(xué)基本定理：若函數(shù)在上連續(xù)，則由變動上限積分，定義的函數(shù)在上可導(dǎo)，而且.也就是說，函數(shù)是被積函數(shù)在上的一個原函數(shù).2.證明方法利用定積分的性質(zhì)證明不等式法：對可積函數(shù)，先證出，然后由定積分的性質(zhì)可證；構(gòu)造變上限輔助函數(shù)證明不等式法：對于含有定積分的不等式，可把常數(shù)變?yōu)樽償?shù)構(gòu)造輔助函數(shù)，利用變上限積分及函數(shù)的單調(diào)性解決此類不等式.3.例：證明：.證明（利用定積分性質(zhì)）：當(dāng)時，則.因，在上均為連續(xù)函數(shù).則在均可導(dǎo).由定積分性質(zhì)可知：4.適用范圍當(dāng)不等式含有定積分（或被積函數(shù)時），可用定積分的性質(zhì)來證明或構(gòu)造上限輔助函數(shù)來證明.八、引入?yún)?shù)證明不等式法1.證明方法根據(jù)將對數(shù)值不等式的證明轉(zhuǎn)化為對函數(shù)不等式的證明，用微積分理論研究函數(shù)的性質(zhì)，從而證明不等式.2.證明方法引入?yún)?shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)，得到關(guān)于的二次多項式