第七章基本知識(shí)小結(jié)

1、第七章基本知識(shí)小結(jié)剛體的質(zhì)心 定義：求質(zhì)心方法：對(duì)稱(chēng)分析法，分割法，積分法。剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 定義：平行軸定理 Io = Ic+md2 正交軸定理 Iz = Ix+Iy. 常見(jiàn)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（略）剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 剛體對(duì)軸的角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)定理 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和重力勢(shì)能 剛體的平面運(yùn)動(dòng)=隨質(zhì)心坐標(biāo)系的平動(dòng)+繞質(zhì)心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程： （不必考慮慣性力矩） 動(dòng)能：剛體的平衡方程 ， 對(duì)任意軸 假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)是勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，求角加速度。在此時(shí)間內(nèi)，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？解：對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)數(shù)=。求t時(shí)刻的角速度和角加速度。解：=1.2t+t2 (:rad,t:s)。t=0時(shí)，自t=0開(kāi)始轉(zhuǎn)45º

2、時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)90º時(shí)，A點(diǎn)的速度和加速度在x和y軸上的投影。 yA解： o xt=0時(shí)，=/4時(shí),由=1.2t+t2,求得t=0.47s,=1.2+2t=2.14rad/s=/2時(shí),由=1.2t+t2,求得t=0.7895s,=1.2+2t=2.78rad/s鋼制爐門(mén)由兩個(gè)各長(zhǎng)1.5m的平行臂 A CAB和CD支承，以角速率=10rad/s逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，求臂與鉛直成45º時(shí)門(mén)中心G的速度和加 B D·速度。解：因爐門(mén)在鉛直面內(nèi)作平動(dòng)，所以門(mén)中 G心G的速度、加速度與B點(diǎn)或D點(diǎn)相同，而B(niǎo)、D兩點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng),因此，方向指向右下方，與水平方向成45º；，方向指向

3、右上方，與水平方向成45º壓板6個(gè)壓板，撥禾輪一邊旋轉(zhuǎn)，一邊隨收割機(jī)前進(jìn)。壓板轉(zhuǎn)到下方才發(fā)揮作用，一方面把農(nóng)作物壓向切割器，一方面把切下來(lái) 切割器的作物鋪放在收割臺(tái)上，因此要求壓板運(yùn)動(dòng)到下方時(shí)相對(duì)于作物的速度與收割機(jī)前進(jìn)方向相反。已知收割機(jī)前進(jìn)速率為1.2m/s，撥禾輪直徑1.5m，轉(zhuǎn)速22rev/min,求壓板運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)擠壓作物的速度。解：撥禾輪的運(yùn)動(dòng)是平面運(yùn)動(dòng)，其上任一點(diǎn)的速度等于撥禾輪輪心C隨收割機(jī)前進(jìn)的平動(dòng)速度加上撥禾輪繞輪心轉(zhuǎn)動(dòng)的速度。壓板運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)速度方向與收割機(jī)前進(jìn)速度方向相反，壓板相對(duì)地面（即農(nóng)作物）的速度負(fù)號(hào)表示壓板擠壓作物的速度方向與收割機(jī)前進(jìn)方向相

4、反。槳尖相對(duì)于飛機(jī)的線速率等于多少？若飛機(jī)以250km/h的速率飛行，計(jì)算槳尖相對(duì)地面速度的大小，并定性說(shuō)明槳尖的軌跡。解：槳尖相對(duì)飛機(jī)的速度： 槳尖相對(duì)地面的速度：，飛機(jī)相對(duì)地面的速度與螺旋槳相對(duì)飛機(jī)的速度總是垂直的，所以，顯然，槳尖相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)軌跡為螺旋線解：設(shè)車(chē)輪半徑為R=0.26m，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為n1, 驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)速為n2, 汽車(chē)速度為v=166km/h。顯然，汽車(chē)前進(jìn)的速度就是驅(qū)動(dòng)輪邊緣的線速度，所以：在下面兩種情況下求直圓錐體的總質(zhì)量和質(zhì)心位置。圓錐體為勻質(zhì)；密度為h的函數(shù)：=0（1-h/L）,0為正常數(shù)。L解：建立圖示坐標(biāo)o-x,據(jù)對(duì)稱(chēng)性分析，質(zhì)心必在x軸上,在x坐標(biāo)處取一厚為dx

5、 o r a x的質(zhì)元 dm=r2dx，r/a=x/L，r=ax/L dm=a2x2dx/L2 h 圓錐體為勻質(zhì)，即為常數(shù)，總質(zhì)量：質(zhì)心：總質(zhì)量：質(zhì)心：解：設(shè)桿在o-xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。因桿 y在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只受豎直向上的支承力和豎直向下的重力的作用，在水平方向不受外力作用，vcx=0,acx=0，即質(zhì)心C無(wú)水平方向的移動(dòng)，只能逆著y軸作加速直線運(yùn)動(dòng)，直到倒在桌面上。 o x取桿的上端點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y，勻質(zhì)桿的質(zhì)心在其幾何中心，由圖示的任一瞬間的幾何關(guān)系可知：4x2+y2=L2(x0,y0)用積分法證明：質(zhì)量為m常為l的勻質(zhì)細(xì)桿對(duì)通過(guò)中心且與桿垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于；用積分法證明：質(zhì)量為m半徑為

6、R的勻質(zhì)薄圓盤(pán)對(duì)通過(guò)中心且在盤(pán)面內(nèi)的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于xydxl/2-l/2證明：取圖示坐標(biāo)，在坐標(biāo)x處取一線元，它對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：，整個(gè)細(xì)桿對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：xxR在坐標(biāo)x處取細(xì)桿狀質(zhì)元，它對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：整個(gè)圓盤(pán)對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：為了能求出積分，作如下變換：代入上式：據(jù)三角函數(shù)公式：ll=0.92m,r=0.08m,ml=4.9kg,mr=24.5kg,近似認(rèn)為圓形部分為勻質(zhì)圓盤(pán)，長(zhǎng)桿部分為勻質(zhì)細(xì)桿。求對(duì)過(guò)懸點(diǎn)且與盤(pán)面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 o解：擺對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I等于桿對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Il加上圓盤(pán)對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ir，即I=Il+Ir.根據(jù)平行軸定理ro解：大圓盤(pán)對(duì)過(guò)圓盤(pán)中心o且

7、與盤(pán)面 R垂直的軸線（以下簡(jiǎn)稱(chēng)o軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 r r 為 .由于對(duì)稱(chēng)放置，兩個(gè)小圓盤(pán)對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等，設(shè)為I，圓盤(pán)質(zhì)量的面密度=M/R2，根據(jù)平行軸定理，設(shè)挖去兩個(gè)小圓盤(pán)后，剩余部分對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I”2，轉(zhuǎn)速為=41.9rad/s，兩制動(dòng)閘瓦對(duì)輪的壓力都為392N，閘瓦與輪緣間的摩擦系數(shù)為=0.4，輪半徑為r=0.4m，問(wèn)從開(kāi)始制動(dòng)到靜止需多長(zhǎng)時(shí)間？閘瓦閘瓦解：由轉(zhuǎn)動(dòng)定理：制動(dòng)過(guò)程可視為勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)，勻質(zhì)桿可繞支點(diǎn)o轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)與桿垂直的沖力作用某點(diǎn)A時(shí)，支點(diǎn)o對(duì)桿的作用力并不因此沖力之作用而發(fā)生變化，則A點(diǎn)稱(chēng)為打擊中心。設(shè)桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，求打擊中心與支點(diǎn)的距離。 y解：建立圖示坐標(biāo)o-xyz,

8、z軸垂直紙面向外。 N 據(jù)題意，桿受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖所示。由質(zhì)心運(yùn) o xmg動(dòng)定理： ac 由轉(zhuǎn)動(dòng)定理； A F把代入中，可求得 1=0.46kg，m2=0.5kg，滑輪半徑為0.05m。自靜止始，釋放重物后并測(cè)得0.5s內(nèi)m2下降了0.75m?；嗈D(zhuǎn)動(dòng)慣量是多少？解： T2 T1 x o R a a y m1m2 m2g m1g T2 T1 隔離m2、m1及滑輪，受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖所示。對(duì)m2、m1分別應(yīng)用牛頓第二定律：對(duì)滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理： （3）質(zhì)點(diǎn)m2作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：，由 、可求得 ,代入（3）中，可求得 ，代入數(shù)據(jù)：，位于斜面頂端的卷?yè)P(yáng)機(jī)鼓輪半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，受

9、到驅(qū)動(dòng)力矩，通過(guò)繩所牽動(dòng)斜面上質(zhì)量為m的物體，物體與斜面間的摩擦系數(shù)為，求重物上滑的加速度，繩與斜面平行，不計(jì)繩質(zhì)量。解：隔離鼓輪與重物，受力分析如圖，其中T為繩中張力，f=N為摩擦力，重物上滑加速度與鼓輪角加速度的關(guān)系為a=RmgTNfaT對(duì)重物應(yīng)用牛二定律：T- N- mgsin=ma, N=mgcos，代入前式，得 T- mgcos- mgsin=ma 對(duì)鼓輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理：- TR=I=Ia/R 由聯(lián)立，可求得重物上滑的加速度：m1,m2hr利用圖中所示裝置測(cè)一輪盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，懸線和軸的垂直距離為r，為減小因不計(jì)軸承摩擦力矩而產(chǎn)生的誤差，先懸掛質(zhì)量較小的重物m1，從距地面高度為h處由靜止

10、開(kāi)始下落，落地時(shí)間為t1，然后懸掛質(zhì)量較大的重物m2，同樣自高度h處下落，所需時(shí)間為t2，根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定輪盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，近似認(rèn)為兩種情況下摩擦力矩相等。TTmgafr解：隔離輪盤(pán)與重物，受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖示：f為摩擦力矩，T為繩中張力，a=r對(duì)輪盤(pán)應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理：，兩式相減，得：對(duì)重物應(yīng)用牛頓二定律：，兩式相減，可得：，代入中，可得：由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：，將角加速度代入中，得：v0彈出。求轉(zhuǎn)動(dòng)裝置的反沖角速度。在彈射過(guò)程中，由小球和轉(zhuǎn)動(dòng)裝置構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)能守恒否？總機(jī)械能守恒否？為什么？解：取小球、轉(zhuǎn)動(dòng)裝置構(gòu)成的物體系為研究對(duì)象。在彈射過(guò)程中，物體系相對(duì)豎直軸o未受外力距作用，故物體系對(duì)轉(zhuǎn)軸o的角動(dòng)量

11、守恒，規(guī)定順時(shí)方向?yàn)檎?v0 m r在彈射過(guò)程中，物體系動(dòng)能不 o I守恒，因彈力做正功使動(dòng)能增加；總機(jī)械能守恒，因?yàn)橹挥斜Ｊ貎?nèi)力（彈力）做功。. o l M解：將子彈、桿構(gòu)成的物體系作為研究對(duì)象，整個(gè)過(guò)程可分為兩個(gè)階段研究：第一階段，子彈與桿發(fā)生完全非彈性碰撞， 獲得共同的角速度，此過(guò)程時(shí)間極短，可認(rèn) 為桿原地未動(dòng)。由于在此過(guò)程中，外力矩為零， m v因此角動(dòng)量守恒，第二階段，子彈與桿以共同的初角速度擺動(dòng)到最大角度，由于在此過(guò)程中，只有重力做功，所以物體系的機(jī)械能守恒，物體系原來(lái)的動(dòng)能等于重力勢(shì)能的增量： =30º341，速度為v1的子彈沿水平面擊中并嵌入一質(zhì)量為m2=99m1

12、，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的棒的端點(diǎn)，速度v1與棒垂直，棒原來(lái)靜止于光滑的水平面上，子彈擊中棒后共同運(yùn)動(dòng)，求棒和子彈繞垂直與平面的軸的角速度等于多少？OCAm2,Lv1m1解：以地為參考系，把子彈和棒看作一個(gè)物體系，棒嵌入子彈后作平面運(yùn)動(dòng)，可視為隨質(zhì)心C的平動(dòng)和繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)，繞質(zhì)心C轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度即為所求。據(jù)質(zhì)心定義: ，據(jù)角動(dòng)量守恒：10m高的煙囪因底部損壞而倒下來(lái)，求其上端到達(dá)地面時(shí)的線速度，設(shè)傾倒時(shí)，底部未移動(dòng)，可近似認(rèn)為煙囪為勻質(zhì)桿。解：設(shè)煙囪質(zhì)量為m，高為h，質(zhì)心高度hC=h/2，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，倒在地面上時(shí)的角速度為由機(jī)械能守恒：上端點(diǎn)到達(dá)地面時(shí)的線速度：用四根質(zhì)量各為m長(zhǎng)度各為l的勻質(zhì)細(xì)桿制成

13、正方形框架，可繞其中一邊的中點(diǎn)在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，支點(diǎn)o是光滑的。最初，框架處于靜止且AB邊沿豎直方向，釋放后向下擺動(dòng)，求當(dāng)AB邊達(dá)到水平時(shí)，框架質(zhì)心的線速度vc及框架作用于支點(diǎn)的壓力N.ABB Ao解：先求出正方形框架對(duì)支點(diǎn)o的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： Ep=0設(shè)AB邊達(dá)到水平位置時(shí)，框架的角速度為，據(jù)機(jī)械能守恒定律： AB邊在水平位置時(shí)，框架所受到的向上的支撐力N和向下的重力W的作用線均通過(guò)支點(diǎn)o，對(duì)o軸的力矩為零，據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理，框架的角加速度為零，ac=2l/2=6g/7，方向向上。規(guī)定向上方向?yàn)檎?，?duì)框架應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：據(jù)牛頓第三定律，支點(diǎn)受到的壓力，大小等于N，方向向下。l，質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿組成正

14、方形框架，其中一角連于水平光滑轉(zhuǎn)軸O，轉(zhuǎn)軸與框架所在平面垂直，最初，對(duì)角線OP處于水平，然后從靜止開(kāi)始向下自由擺動(dòng)，求OP對(duì)角線與水平成45°時(shí)P點(diǎn)的速度，并求此時(shí)框架對(duì)支點(diǎn)的作用力。解：先求出框架對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：據(jù)平行軸定理，OPCn4mgN設(shè)對(duì)角線OP轉(zhuǎn)過(guò)45°后框架的角速度為，且勢(shì)能為零，由機(jī)械能守恒：設(shè)支點(diǎn)O對(duì)框架的作用力為N，由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理：= I，質(zhì)心的法向加速度 在方向應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：，在方向應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：，設(shè)與-方向夾角為，l的勻質(zhì)桿，其B端放在桌上，A端用手支住，使桿成水平。突然釋放A端，在此瞬時(shí)，求：桿質(zhì)心的加速度，桿B端所受的力。解：以支點(diǎn)B為

15、轉(zhuǎn)軸，應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng) B A定理：，質(zhì)心加速度 ，方向向下。 x設(shè)桿B端受的力為N，對(duì)桿應(yīng)用 y質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：Ny=0，Nx - mg = - m ac , Nx = m(g ac) = mg/4 N = mg/4，方向向上。下面是勻質(zhì)圓柱體在水平地面上作無(wú)滑滾動(dòng)的幾種情況，求地面對(duì)圓柱體的靜摩擦力f.沿圓柱體上緣作用一水平拉力F,柱體作加速滾動(dòng)。水平拉力F通過(guò)圓柱體中心軸線，柱體作加速滾動(dòng)。不受任何主動(dòng)力的拉動(dòng)或推動(dòng)，柱體作勻速滾動(dòng)。在主動(dòng)力偶矩的驅(qū)動(dòng)下加速滾動(dòng)，設(shè)柱體半徑為R。mgfNF(1)F(2)C解：規(guī)定前進(jìn)方向和順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?。假設(shè)靜摩擦力方向向后，其余受力情況如圖所所示。對(duì)每種情況

16、，都可以根據(jù)質(zhì)心定理、繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理和只滾不滑條件，建立三個(gè) 方程求解。 可求得f = - F/3,負(fù)號(hào)說(shuō)明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相反，應(yīng)向前。 可求得f = F/3,正號(hào)說(shuō)明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相同，向后。 ac = 0 , f = 0,求得 負(fù)號(hào)說(shuō)明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相反，應(yīng)向前。的作用，沿水平面運(yùn)動(dòng)，板與平面間的 M2 F摩擦系數(shù)為.在板上放一半徑為R質(zhì)量為M2的實(shí)心圓柱，此圓柱只滾動(dòng)不滑動(dòng)。求板的加速度。解：隔離圓柱，其受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖 所示，其中ac為質(zhì)心對(duì)地的加速度，為相對(duì)質(zhì)心的角加速度，f2、N2分別為板施加給 W2 ac 圓柱的靜摩擦力和壓力。 f2由質(zhì)心定理： N

17、2 對(duì)質(zhì)心應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理： N1 隔離木板，其受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖所示， f2 F 其中a為板對(duì)地的加速度，f1、N1分別為水平 f1=N1 Mg面施加給板的滑動(dòng)摩擦力和壓力。 N2 a 應(yīng)用牛頓第二定律（或質(zhì)心定理）： 圓柱在木板上只滾不滑的條件是：a = ac +R (6) (圓柱與板接觸點(diǎn)對(duì)地的加速度等于質(zhì)心加速度加上繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度，即ac+R，它必須等于木板對(duì)地的加速度a,才能只滾不滑)將（2）代入（4）求得：N1=(M+M2)g；由（1）（3）可解得，2ac=R 與（6）聯(lián)立，可求得，ac=a/3, 代入（1）中，f2 = a M2 /3；將N1、f2代入（5）中，有mR2/3,線軸

18、和地面之間的靜摩擦系數(shù)為。線軸受一水平拉力F,如圖所示。使線軸在桌面上保持無(wú)滑滾動(dòng)之F最大值是多少？若F和水平方向成角，試證，cosb/R時(shí)，線軸向前滾；cosb/R時(shí)，線軸向后滾動(dòng)。 y解：可將（1）看作（2）的特殊 F情況。建立圖示坐標(biāo)，z軸垂直紙面 C b R x 向外，為角量的正方向。根據(jù)靜摩擦 力的性質(zhì)，可知其方向與F水平分量 f 方向相反。設(shè)線軸質(zhì)心的加速度為a，繞質(zhì)心的角加速度為。由質(zhì)心定理：由轉(zhuǎn)動(dòng)定理： 只滾不滑：a+R=0 (4) 由,聯(lián)立，可求得： F為水平拉力時(shí)，即 . 若，即線軸向前滾； 若，即線軸向后滾。解：設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，其質(zhì)心速度為v，繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，由機(jī)械能守恒，有只滾不滑條件：=v/r,代入上式，可求得 在最低點(diǎn)應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理： ，作用于導(dǎo)軌的正壓力與此等大，方向向下。a,前后軸距離為l，h表示力F與地面的距離。問(wèn)汽車(chē)前后論所受