大學(xué)高等數(shù)學(xué)ppt課件第二章4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第四節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 函數(shù)的單調(diào)性的判別函數(shù)的單調(diào)性的判別學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)函數(shù)極值及最值的確定方法函數(shù)極值及最值的確定方法曲線凹凸向的判別及拐點(diǎn)的確定曲線凹凸向的判別及拐點(diǎn)的確定函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 yxo( )yf xabyo( )yf xabx函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)單調(diào)遞減，則1212()()0f xf xxx1212()()0f xf xxx由由lagrange中值定理：中值定理：121212()()( ) f xf xfxxxx介于 與 之間于是有函數(shù)單調(diào)性的判別定理于是有函數(shù)單調(diào)性的判別定理函數(shù)單調(diào)性的判別定理函數(shù)單調(diào)性的判別定理（1） 如果函數(shù)如果函

2、數(shù) 在在 內(nèi)有內(nèi)有 ，則函數(shù)在，則函數(shù)在 上是單調(diào)遞增的。上是單調(diào)遞增的。( )f x( , )a b( )0fx , a b（2） 如果函數(shù)如果函數(shù) 在在 內(nèi)有內(nèi)有 ，則函數(shù)在，則函數(shù)在 上是單調(diào)遞減的。上是單調(diào)遞減的。( )f x( , )a b( )0fx , a b設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，則內(nèi)可導(dǎo)，則( )f x , a b( , )a b例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間232 0yxaaxa解解 因?yàn)橐驗(yàn)?2322332axyxaax 0y 令令12 3xa；得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)23 , 2axxa當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，y不存在不存在列表：列表：000 xy ,2

3、a 2,23aa2,3aa,a y 所以，函數(shù)在所以，函數(shù)在 及及 內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞增，在 內(nèi)單調(diào)遞減。內(nèi)單調(diào)遞減。2,3aa2,3a, a 續(xù)例續(xù)例1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般方法：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般方法：（1）求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；）求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；（2）找出所有的）找出所有的駐點(diǎn)駐點(diǎn)及及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（3）將上述點(diǎn)插入到定義域，分區(qū)間確定一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)；）將上述點(diǎn)插入到定義域，分區(qū)間確定一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)；（4）根據(jù)單調(diào)性的判別定理，確定單調(diào)區(qū)間。）根據(jù)單調(diào)性的判別定理，確定單調(diào)區(qū)間。 小結(jié)：駐點(diǎn)（使一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)）或一階導(dǎo)數(shù)不存在小結(jié)：駐點(diǎn)（使一階導(dǎo)數(shù)為零的

4、點(diǎn)）或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)可將單調(diào)區(qū)間分開。的點(diǎn)可將單調(diào)區(qū)間分開。例例5 證明不等式證明不等式1 (0)xexx 證明證明 令令( )1xf xex 則則( )1xfxe0( )0,xfx當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在 0,+內(nèi)單調(diào)增加0( )0,xfx當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在 - ,0 內(nèi)單調(diào)遞減0,( )(0)0 xf xf 所以，有0 ,( )(0)0 xf xf 所以， 有 1xex 即 1xex 即所以，當(dāng)所以，當(dāng) 時(shí)，不等式時(shí)，不等式 成立。成立。1xex 0 x 證明：證（1） （2）ln(1)(0)1xxxxx其中1( )ln(1),( )1011xf xxxfxxx =2211( )ln(1),( )0

5、11(1)(1)xxg xxg xxxxxln(1)xxln(1)1xxx函數(shù)的極值函數(shù)的極值極值的概念極值的概念：如果函數(shù)：如果函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)任意該鄰域內(nèi)任意異于異于 點(diǎn)的點(diǎn)的 ，都有，都有 ，則稱，則稱為函數(shù)的一個(gè)為函數(shù)的一個(gè)極小值極小值；如果有；如果有 ，則稱，則稱 為函數(shù)為函數(shù)的一個(gè)的一個(gè)極大值極大值。極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的。極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值極值。使函數(shù)取。使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)的得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)極值點(diǎn)。( )f x0 xx0( )()f xf x0( )()f xf x0 x0()f x0()f x

6、 由于函數(shù)在不同的區(qū)間的單調(diào)性不同，由于函數(shù)在不同的區(qū)間的單調(diào)性不同，因而在圖象上會(huì)出現(xiàn)因而在圖象上會(huì)出現(xiàn)“峰峰”與與“谷谷”，使函數(shù)，使函數(shù)值在局部范圍內(nèi)出現(xiàn)值在局部范圍內(nèi)出現(xiàn)“最大最大”、“最小最小”，稱，稱之為函數(shù)的極大、極小值。之為函數(shù)的極大、極小值。3226187yxxx例如例如-13 函數(shù)的極值是一個(gè)局部特性，最值是全局特性函數(shù)的極值是一個(gè)局部特性，最值是全局特性（1）函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可能既無極大值，也無極小值；）函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可能既無極大值，也無極小值； 如函數(shù)如函數(shù)y=x 在區(qū)間在區(qū)間 1，2 內(nèi)既無極大值，也無極小值。內(nèi)既無極大值，也無極小值。（2）可以缺少其一；）可以缺少

7、其一； 如如 y=x2 在區(qū)間在區(qū)間 -1，2 內(nèi)，只有極小值。內(nèi)，只有極小值。（3）極小值可以大于極大值極小值可以大于極大值，如某種股票的交易價(jià)格函數(shù)；，如某種股票的交易價(jià)格函數(shù)；（4）極值一定在區(qū)間內(nèi)部取得。）極值一定在區(qū)間內(nèi)部取得。函數(shù)的極值說明函數(shù)的極值說明極值存在的必要條件（費(fèi)馬定理）極值存在的必要條件（費(fèi)馬定理） 如果函數(shù)如果函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)，且在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在點(diǎn) 處有極值，處有極值，則則( )yf x0 x0 x0()0.fxabcdexy導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。函數(shù)在可導(dǎo)點(diǎn)取得極值時(shí)，則在該點(diǎn)的切線平行于函數(shù)在可導(dǎo)點(diǎn)取得極值時(shí)，則在該點(diǎn)的切

8、線平行于x軸。軸。,a b d 是極值點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)為零e 是極值點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)不存在c 點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零，但不是極值點(diǎn)函數(shù)的極值點(diǎn)是駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)。費(fèi)馬定理的逆定理不成立。極值存在的第一充分條件極值存在的第一充分條件設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)（點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)（點(diǎn) 可除外）可除外）( )yf x0 x0 x00,xxx00,xx x( )0fx則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 處取得處取得極大值極大值；( )yf x0 x( )0fx1（ ）( )0fx00,xxx( )0fx00,xx x則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 處取得處取得極小值極小值；( )yf x0 x2（ ）00,xxx00,xx x( )fx同號(hào)則則

9、 在點(diǎn)在點(diǎn) 處處無極值無極值；( )yf x0 x3（ ）0 x0 x0 xxy0 x0 x0 xxy0 x0 x0 xxyx)(xf )(xf極小值極小值-1/2-1/2極大值極大值0 0+ +0 0_ _不存在不存在+ +(1,+)(1,+)1 1(0,1)(0,1)0 0(-,0)(-,0)單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為(-,0)(-,0)和和(1,+)(1,+)單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為(0,1)(0,1)f (0)=0為極大值；為極大值；f (1)=-1/2 為極小值為極小值 323( )2yf xxx求的單調(diào)區(qū)間和極值(,) 函數(shù)定義域?yàn)?33111)(xxxxf( )0fx令x得駐點(diǎn) =

10、1；0 x 時(shí)，( )fx不存在xyo112練習(xí)練習(xí)解解極值存在的第二充分條件極值存在的第二充分條件000()0),(0( ),fxfxyf xx 設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 處具有二階導(dǎo)數(shù)，且則001 ()0 () ( ) fxf xf x（）當(dāng)時(shí)，為的極小值；002 ()0 () ( ) fxf xf x（ ）當(dāng)時(shí)，為的極大值；0 x0 x0 xxy( )0fx( )0fx( )0fx0 x0 x0 xxy( )0fx( )0fx例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值3226187yxxx解解 因?yàn)橐驗(yàn)?61218631yxxxx 1212yx 所以，函數(shù)有駐點(diǎn)所以，函數(shù)有駐點(diǎn)121 3xorx 而而所以所以

11、( 1)240,(3)240yy 所以，函數(shù)有極大值所以，函數(shù)有極大值 ，有極小值，有極小值 。( 1)3f (3)61f 注意：當(dāng)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)較易求，且二階導(dǎo)數(shù)不為零時(shí)，注意：當(dāng)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)較易求，且二階導(dǎo)數(shù)不為零時(shí)，使用第二充分條件判別極值較易；使用第二充分條件判別極值較易；而二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，必而二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，必須用第一充分條件判別。須用第一充分條件判別。函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值由極小值的特性，可知：由極小值的特性，可知：極小值極小值 最小值；極大值最小值；極大值 最大值最大值 已有結(jié)論：如果函數(shù)在已有結(jié)論：如果函數(shù)在 a,b上連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上上連續(xù)，則函數(shù)

12、在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。一定有最大值和最小值。求函數(shù)最值的一般步驟與方法求函數(shù)最值的一般步驟與方法（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）在給定區(qū)間（或定義域）內(nèi)找出所有的駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存）在給定區(qū)間（或定義域）內(nèi)找出所有的駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存 在的點(diǎn)；在的點(diǎn)；（3）計(jì)算函數(shù)在上述點(diǎn)處的函數(shù)值，以及在端點(diǎn)處的函數(shù)值，并）計(jì)算函數(shù)在上述點(diǎn)處的函數(shù)值，以及在端點(diǎn)處的函數(shù)值，并比較其大小，其中最大者即為函數(shù)在區(qū)間上的最大值；最小者即比較其大小，其中最大者即為函數(shù)在區(qū)間上的最大值；最小者即為函數(shù)在區(qū)間上的最小值。為函數(shù)在區(qū)間上的最小值。例例2 求函數(shù)求函數(shù) 在在 上的最值。上的最值。3239

13、2yxxx0,4解解 因?yàn)橐驗(yàn)?3693(1)(3)yxxxx 令令0y 得得121,3xx （舍去）而而(3)29,(0)2,(4)22fff 所以函數(shù)所以函數(shù) 在在 上的最大值是上的最大值是32392yxxx0,4(3)29f (0)2f ；最小值是最小值是例例3（應(yīng)用題）某細(xì)菌群體的數(shù)量（應(yīng)用題）某細(xì)菌群體的數(shù)量n(t)是由下列函數(shù)模型確定：是由下列函數(shù)模型確定： 其中其中t是時(shí)間，以周為單位。試問細(xì)菌的群體在是時(shí)間，以周為單位。試問細(xì)菌的群體在多少周后數(shù)量最大，其最大數(shù)量的多少？多少周后數(shù)量最大，其最大數(shù)量的多少？25000( )50tn tt解解 因?yàn)橐驗(yàn)?22500050( )50

14、tn tt令令( )0n t得得5 2t （舍去負(fù)值）（舍去負(fù)值）由問題的實(shí)際意義，可知由問題的實(shí)際意義，可知 時(shí)，細(xì)菌群體的數(shù)量最大，時(shí)，細(xì)菌群體的數(shù)量最大，5 2t 250 2353.55其數(shù)量為其數(shù)量為 一般地，對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問題，如果可以判斷目標(biāo)函數(shù)的最值一般地，對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問題，如果可以判斷目標(biāo)函數(shù)的最值存在，函數(shù)在定義域內(nèi)又只有唯一駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)即為最值點(diǎn)。存在，函數(shù)在定義域內(nèi)又只有唯一駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)即為最值點(diǎn)。曲線的凹凸向及拐點(diǎn)曲線的凹凸向及拐點(diǎn) yxo( )yf xabyo( )yf xabx 定義定義 如果曲線弧總位于它的每一點(diǎn)的切線的如果曲線弧總位于它的每一點(diǎn)的切線的上方上方

15、，則稱該，則稱該曲線弧是曲線弧是（向上）凹的（向上）凹的（concave)； 如果曲線弧總位于它的每如果曲線弧總位于它的每一點(diǎn)的切線的一點(diǎn)的切線的下方下方，則稱該曲線弧是，則稱該曲線弧是（向上）凸的（向上）凸的(convex)凹弧凹弧凸弧凸弧凹、凸弧的分界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn)凹、凸弧的分界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn)(inflection point)。 凹凸弧的判別定理凹凸弧的判別定理定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上具有二階導(dǎo)數(shù)上具有二階導(dǎo)數(shù) ，則在，則在該區(qū)間上：該區(qū)間上：（1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，曲線弧時(shí)，曲線弧 是向上凹的；是向上凹的；（2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，曲線弧時(shí)，曲線弧 是向上凸的。是向上凸的。(

16、 )f x( , )a b( )fx( )0fx( )0fx( )yf x( )yf xbaxy( )0f x( )0f x ( )0fx( )fx是增函數(shù) ( )0fxbaxy( )0f x( )0f x( )fx是減函數(shù)解解 函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?(,) 例例1 求曲線求曲線 的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。211yx222(1)xyx 22 32(31)(1)xyx 令令0y 得得1333x 列表列表因?yàn)橐驗(yàn)?33333 (,) (,) (,)333333 0 0 0 0 0 xyy 凹拐點(diǎn)凸拐點(diǎn)凹所以，曲線在所以，曲線在 及及 內(nèi)是向上凹的，在內(nèi)是向上凹的，在 內(nèi)是向上凸的

17、，有拐點(diǎn)內(nèi)是向上凸的，有拐點(diǎn) 及及 。3(,)3 3(,)333(,)333 3(, )343 3(, )34解解 函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?(,) 例例1 求曲線求曲線 的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。211yx222(1)xyx 22 32(31)(1)xyx 令令0y 得得1333x 因?yàn)橐驗(yàn)槔? 求曲線求曲線 的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。 3yx解解 因?yàn)橐驗(yàn)?523312 , 39yxyx 所以，當(dāng)所以，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0 x 0y 0 x 0y所以，曲線在所以，曲線在 內(nèi)是向上凹的，在內(nèi)是向上凹的，在 內(nèi)是向上凸的。內(nèi)是向上凸的。有拐點(diǎn)有拐點(diǎn) 。(

18、,0)(0,)(0,0) 小結(jié)：二階導(dǎo)數(shù)為零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，是可能的拐點(diǎn)；小結(jié)：二階導(dǎo)數(shù)為零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，是可能的拐點(diǎn)；這類點(diǎn)可能將凹凸區(qū)間分開，但不是絕對(duì)分開。這類點(diǎn)可能將凹凸區(qū)間分開，但不是絕對(duì)分開。如曲線如曲線 ，在，在 內(nèi)是向上凹的，雖然內(nèi)是向上凹的，雖然但但 不是拐點(diǎn)。不是拐點(diǎn)。4yx(,) 00 xy(0,0)微分法作圖微分法作圖 曲線的漸近線：曲線的漸近線：如果曲線如果曲線 上的點(diǎn)上的點(diǎn)m沿曲線離坐標(biāo)原沿曲線離坐標(biāo)原點(diǎn)無限遠(yuǎn)移時(shí)，點(diǎn)點(diǎn)無限遠(yuǎn)移時(shí)，點(diǎn)m與某一條直線與某一條直線l的距離趨于零，則稱直線的距離趨于零，則稱直線l為為曲線曲線 的一條漸近線。的一條漸近線。(

19、)yf x( )yf x （1）若）若 或或 則則 為曲線的為曲線的垂直漸近線垂直漸近線。lim( )xaf x lim( )xaf x xa （2）若）若 或或 則則 為曲線的為曲線的水平漸近線水平漸近線。 lim( )xf xalim( )xf xaya （3）若）若 ，則，則 為曲線的為曲線的斜漸近線斜漸近線。 ( )lim , lim ( )xxf xaf xaxbxyaxb微分法作圖微分法作圖函數(shù)的微分法作圖的一般步驟：函數(shù)的微分法作圖的一般步驟：（1）求出函數(shù)）求出函數(shù)f(x)的定義域，確定圖形的范圍；的定義域，確定圖形的范圍；（2）討論函數(shù)的奇偶性和周期性，確定圖形的對(duì)稱性和周期性；）討論函