求不定積分若干方法

1、四川師范學(xué)院2011屆畢業(yè)生論文目錄中文摘要3Abstract41 引言62 直接積分法6 2.1原函數(shù)和不定積分的定義6 2.2直接積分法的運用方法63 換元積分法7 3.1 第一換元積分法7 3.1.1 第一換元積分法的定義與分析7 3.1.2 第一換元積分法的運用7 3.2 第二換元積分法10 3.2.1 第二換元積分法的定義和分析10 3.2.2 第二換元積分法的運用10 3.3 換元積分法中值得注意的問題124 分部積分法13 4.1分部積分法的定義和分析13 4.2分部積分法的幾種題型和分部積分法中和的選擇145 有理函數(shù)的不定積分15 5.1 有理函數(shù)的不定積分的定義和分析15

2、5.2 待定系數(shù)法在不定積分中的運用166 小結(jié)17參考文獻201 引言數(shù)學(xué)分析是師范大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)必修專業(yè)課，微分和積分都是數(shù)學(xué)分析的重點，而不定積分是積分學(xué)的基礎(chǔ)，更是關(guān)鍵，直接關(guān)系到學(xué)習數(shù)學(xué)的重點。其任務(wù)是掌握邏輯思維方法和提高使用數(shù)學(xué)手段解決問題的能力。一般地，求不定積分要比求導(dǎo)數(shù)難很多，運用積分法則和積分公式只能解決一些簡單的積分，更多的不定積分要因函數(shù)的不同形式和不同類型選用不同的方法，巧妙運用恰當?shù)姆椒?，可以化難為易，從而簡單、快捷、準確的求出不定積分。本文為解決求積分的困難問題給出了相應(yīng)的解決方法，幫助理解不定積分。2 直接積分法2.1 原函數(shù)和不定積分的定義 (1) 原函數(shù)定義

3、:設(shè)函數(shù)f與F在區(qū)間I上都有意義，若F(x)=f(x)，xI，則稱F為f在區(qū)間I上的一個原函數(shù)。例如：f(x)是R上的一個原函數(shù)，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，那么f(x)即為f(x)的原函數(shù)。 注意：初等函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，所以均有原函數(shù)。 (2) 不定積分定義： 函數(shù)f在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為f在I上的不定積分，記作，其中為積分號，f(x)是被積函數(shù)，x為積分變量。即=F(x)+C.若F是f的一個原函數(shù)，則稱y=f(x)的圖像為f的一條積分曲線。即f的不定積分為沿y軸任意平移的曲線族。2.2 直接積分法的運用方法 直接積分法就是利用積分公式和積分的基礎(chǔ)性質(zhì)求不定積分的方法。該方法是求不定

4、積分的基本方法，是其它積分方法的基礎(chǔ)，熟練地掌握基本的公式，在記憶基本積分公式時，一定要把公式的兩邊一起記，這樣就清楚被積函數(shù)變形到怎樣的式子簡便。 (1) 利用二項式定理將二項式變?yōu)槎囗検?，從而變?yōu)槎鄠€單項式求積分；例1： (2) 利用代數(shù)公式或三角公式將積商形式的被積函數(shù)化為代數(shù)和的形式，并使每一項都符合積分公式；例2： (3) 對分式函數(shù)還可以根據(jù)分母的情況，將分子拆項或拼湊，化為幾個分式的代數(shù)和后再約分，使其符合積分公式； 例3： (4) 對于含有絕對值的積分問題，要求先處理絕對值再積分。由此可得，直接積分法使熟練掌握基本公式的基礎(chǔ)。但是，利用積分公式和性質(zhì)，只能求一些簡單的積分，對于

5、比較復(fù)雜的積分，需要設(shè)法把它變形為能利用基本積分公式的形式求解積分。3 換元積分法所謂不定積分的換元法，其實質(zhì)就是：當直接求某個積分有困難時， ，把原來的積分轉(zhuǎn)化為對新變量t的積分。那么，不定積分的換元法有（其逆運算）導(dǎo)數(shù)的換元法（即復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法）而來，它是通過改變積分變量的方式來實現(xiàn)不定積分問題的轉(zhuǎn)化。不定積分的換元法按照換元前后新舊積分變量的關(guān)系可分為：第一類換元積分法和第二類換元積分法。3.1 第一換元積分法3.1.1 第一換元積分法的定義與分析第一類換元積分法，其新的積分變量為原積分變量的函數(shù)，即新的微分元為原積分變量函數(shù)的微分。該方法的基本思路是把所求的被積函數(shù)通過適當?shù)淖兞看?/p>

6、換后，化成積分公式中的某一被積形式，然后代入積分公式求出結(jié)果，所以，也稱為“湊微分法”。簡單的說：第一類換元積分法的基本步驟如下： 1那么，該積分的關(guān)鍵是：將被積表達式湊成兩部分，一部分是復(fù)合函數(shù)，其中外函數(shù)是基本積分公式中的某一被積形式，另一部分是內(nèi)函數(shù)的微分。其根本就是通過拼湊使原本不能利用公式求的積分變成可應(yīng)用公式求，使用此方法時，要熟練運用，除了要牢固掌握微積分的基本公式以外，還要了解一些常用微分公式。3.1.2 第一換元積分法的運用首先，介紹一下基本的一些常微分公式，這些公式對于求解積分中運用換元積分法的題目有重要作用。 (1) 直接“湊”即將被積函數(shù)中的某個函數(shù)直接與湊成微分形式；

7、例4：求.分析：其中2x與e湊成微分形式。解：=令u=x 則=e+C將u=x回帶，則e=e,所以= e+C (2) 分部“湊”即被積函數(shù)形式較為復(fù)雜，直接觀察不易湊成微分形式，可先將部分因子化簡后，分部來“湊”； 例5：求. 解：由于(1+x)=, (1-x)=- (此類屬于多次湊微分，我們習慣以x的運算模式，現(xiàn)在變成不常見的積分變量，具有一定的迷惑性，要多加小心。) (3) 變形后“湊”即有些積分通過恰當?shù)淖冃危?、減、乘、除某些因子）后，可以使用湊微分法。例6：求不定積分2. 解：利用.將原被積函數(shù)進行恒等變形，即： ,就有 注意：湊微分的過程中要小心系數(shù)的調(diào)整。 這其中在于把被積表達式f

8、(x)湊成g(x)(x)的形式，以便選取變換u=(x)化為易于積分，最終引入將新變量（u）還原為起始變量（x）。例7：求.分析：=，其中外函數(shù)是冪函數(shù). 解：令u=2-3x，= = =技巧：形如、（mn）可用積化和差公式將其變形為、.例8：求. 解： = = =第一類換元積分法是積分中的基本方法，用處很廣，其中最關(guān)鍵的一步是湊微分，即把被積函數(shù)中的一部分送到微分號里面，湊成基本公式的形式。拼湊時，不但要熟悉基本的微分公式，還要經(jīng)過一些恒等變換，才能真正運用湊微分法的內(nèi)涵。3.2 第二換元積分法3.2.1 第二換元積分法的定義和分析第二類換元積分法，其原積分變量為新的積分變量的函數(shù)。一般地，如果

9、在積分中，令,且可導(dǎo)，(t)0,則有，若該式右端易求出原函數(shù)F(t)，則得第二類換元積分法：。簡單的說，第二類換元積分法的基本步驟： 3.2.2 第二換元積分法的運用一般地，被積函數(shù)中含有根式，采用第二換元積分法，目的是去掉根號。 (1) 簡單根式代換：，令。 例9：求. 解：令，則得 = 若被積函數(shù)中含有多個x的n（n為整數(shù)）次方根，這多個x的n次方根次數(shù)的最小公倍數(shù)是m，則令，那么。3(2) 三角代換即當被積函數(shù)中出現(xiàn)根式、（a>0）時，可以令x為其一三角函數(shù)，從而使根式有理化。 ，令x= () ，令x= (0) ，令x= ()例10：求. 解：令x= = 通過上述代換將被積函數(shù)變?yōu)?/p>

10、有理分式函數(shù)或三角函數(shù)：a、當被積函數(shù)中含有，等因子時，使用三角代換去掉根號；b、形如R（、）類型的積分，介紹一種新的方法利用萬能公式換元求積分。萬能公式為：令，則，這一類的萬能公式在運用上很廣泛。例11：求. 解：令，則， = = = =萬能換元的方法雖然普遍，但計算量往往比較大，有時可以根據(jù)被積函數(shù)的特點，做一些變形后進行積分。變形的基本思路是：(1) 盡量使分母簡單，為此或分子分母乘以某個因子，把分母化為（或）得單項式，或?qū)⒎帜刚麄€看成一項。(2)盡量使R（、）得冪降低，為此通常利用倍角公式或者積化和差公式以達目的。 (3) 倒代換即被積函數(shù)的分母中含有根號時，有時會用到倒代換，形式為的

11、不定積分。 當分母中未知量次數(shù)較高時，通過變化轉(zhuǎn)換為分子的未知量次數(shù)，就會有意想不到的結(jié)果，即令。 3.3 換元積分法中值得注意的問題 但是，再換元積分法中值得注意的一個問題：4 從原函數(shù)的定義即存在定理知，在北極函數(shù)的連續(xù)區(qū)間的原函數(shù)是一個連續(xù)函數(shù)，不應(yīng)是分段連續(xù)函數(shù)，在碰見這一類的問題時，應(yīng)該對該問題進行分段處理。對此，我們解題要加倍小心。如：求，給出一種解法： 解： =· 在其中，被積函數(shù)的定義域是（），二 上述兩種情況是在假定x的情況下計算出來的，因此，所得結(jié)果只能在內(nèi)成立，如果把所求的結(jié)果當作在（）內(nèi)的一個原函數(shù)，那么它在x=0處就間斷，因而就是一個分段連續(xù)函數(shù)，故結(jié)果不能

12、認為正確。為使上述被積函數(shù)在（）中的原函數(shù)是連續(xù)的，我們必須考路原函數(shù)在x=0點的連續(xù)性.由于在x=0處的左極限等于，有極限為。因此，F(xiàn)(x)= ， 在（）內(nèi)由定義且連續(xù)，此外，當x時，可以直接求導(dǎo)得到f（x）。利用換元積分法解題明白，但是不能解決所有的題型，下面引入求積分的新方法分部積分法。4 分部積分法4.1分部積分法的定義和分析直接積分法是求積分的基本方法，換元積分法是求積分的重要方法，若這兩種方法均不能得出結(jié)果，就要用到下面的積分方法。分部積分法是化簡被積函數(shù)為可積形式的重要而有效的方法，可看成微分學(xué)中兩個函數(shù)乘積運算的逆運算。分部積分法定義：設(shè)函數(shù)u=u(x),v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)

13、數(shù)，則，那么，該積分法使用的范圍是兩種不同類型函數(shù)乘積形式的不定積分。5其主要用于解決被積函數(shù)是兩種初等函數(shù)的乘積或單一個函數(shù)（對數(shù)函數(shù)。反三角函數(shù)，初等函數(shù)）的不定積分。利用此公式求積分的基本步驟是： 分部積分法的基本思想是化繁為簡，當左邊的不定積分不易求解，而右邊的不定積分易求解時，則可通過該公式使不定積分得以解決。該積分法的關(guān)鍵是選擇哪個因子當作u，哪個當作v，選擇不當不僅不會使積分由復(fù)雜到簡單，反而更復(fù)雜。那么，通過以上討論，被積函數(shù)應(yīng)該在什么情況下運用分部積分法呢？4.2 分部積分法的幾種題型和分部積分法中和的選擇一般被積函數(shù)屬于下列類型之一時通常使用分部積分法： 被積函數(shù)是兩個不同

14、類型函數(shù)的乘積； 被積函數(shù)含有對數(shù)函數(shù)； 被積函數(shù)含有三角函數(shù)。 由以上條件可有三種題型及解法： (1) 形如依次按排列的順序分別變換成. 例12：求積分. 分析：是兩個不同函數(shù)的乘積，所以可用分部積分法。 解：= (2) 依次按排列的順序 6 例13：求積分. 解：= 合適的運用分部積分法來計算上述題型,就必須對其中的u與dv進行正確的選擇。如果被積函數(shù)是由“反三角函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)”（后面簡稱“反，對，冪，指，三”）中的任意兩個函數(shù)的乘積時，按此順序，誰在前面，誰就做u，其余的與一起做。 例14：求積分. 分析：不定積分中的被積函數(shù)為冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的乘積，有口決“

15、反，對，冪，指，三”知，將作為u，余下作為。 解：設(shè)u=,有du= = 小結(jié)：要快速的掌握分部積分法，首先必須了解該積分方法的思想比較難求的積分來計算；其次，應(yīng)該掌握對u與的選擇。在積分學(xué)中，分部積分法中有幾種簡便方法： (1) 當一個積分的被積函數(shù)是“反，對，冪，指，三”中的任意兩類函數(shù)的乘積時，按此順序；誰排在前，u就選誰，可以正確快速地利用分部積分法求出積分； (2) 當被積形式為可用斜式相乘法求積分。85 有理函數(shù)的不定積分及待定系數(shù)法5.1 有理函數(shù)的不定積分的定義和分析有理函數(shù)的不定積分不僅是微分學(xué)中的一個重要內(nèi)容，也是不定積分學(xué)習中的一個重點和難點。有理函數(shù)是指由兩個多項式的商所

16、表示的函數(shù)，即具有如下形式的函數(shù)：R(x)=.其中有理函數(shù)可以分解為多項式（即有理整式）與真分式之和，多項式易于求積分，而真分式可以化為部分分式的和求積分。在將真分式分解成部分分式的和時，對于簡單的問題，可以用觀察法進行拆分；復(fù)雜的則要另尋他法。那么，有理函數(shù)的積分形如的積分，其中；m和n均為非負整數(shù)；都是實數(shù)，且.當m<n時，R(x)為有理真分式，否則為有理假分式，因假分式可以化為一多項式與真分式之和，所以只用掌握有理真分式的積分思想。5.2 待定系數(shù)法在不定積分中的運用那么，有理真分式的積分該如何求解呢？9 (1) 第一步：對分母Q（x）在實數(shù)解內(nèi)作標準分解：，在多項式Q（x）中 均

17、為自然數(shù)，而且的前s項的和與的前t項的和的二倍相加等于m；j=1，2，t.第二步：根據(jù)分母的各個因式分別寫出與之相應(yīng)的部分分式：對于每個形如的因式，它所對應(yīng)的部分分式是 對每個形如的因式，它所對應(yīng)的部分分式是 .把所有部分分式加起來，使之等于R（x）。第三步：確定待定系數(shù)：一般方法是將所有部分分式通分相加，所得分式的分母即為原分母Q(x)，而其分子亦應(yīng)與原分子P(x)恒等。于是，按同冪項系數(shù)必定相等，得到一組關(guān)于待定系數(shù)的線性方程，這組方程即為要確定的系數(shù)。 (2) 對于有理真分式，可以看成以下幾種情況： 當分母Q(x)含有單因式x-a時，分解式中應(yīng)有一項，A為待定系數(shù)；當分母Q(x)含有重因

18、式時，部分分式中相應(yīng)有n個項，分母按的次數(shù)依次降低為一次，分子為待定系數(shù)； 當分母Q(x)中含有質(zhì)因式時，部分分式中相應(yīng)的有一項. 例15：求積分. 解：該被積函數(shù)為假分式，利用多項式除法，得 = 然后再把上面真分式化成部分分式之和，利用待定系數(shù)法，令 去分母，得（x+3）=A(x-3)+B(x-2) 得A=-5、B=6.故= 用待定系數(shù)法將其復(fù)雜的有理函數(shù)變?yōu)橛欣碚娣质降拇鷶?shù)和，然后用前面的方法逐項積分。該方法的基本步驟： 先考察被積有理函數(shù)是真分式，還是假分式。如果是假分式，在通過帶余除法化為多項式和真分式之和；如果是真分式，則進行第（2）步; 在實數(shù)范圍內(nèi)把分母多項式分解成若干個一次因式和二次因式之積; 設(shè)定真分式函數(shù)分解成若干部分分式之和的形式; 利用待定系數(shù)法等方法求出各部分分式的分子所有系數(shù)； 對多項式（如果有理函數(shù)是假分式）和各部分分式分別進行積分并求和。6 小結(jié) 為使復(fù)雜的函數(shù)積分，變得簡單易學(xué)，根據(jù)直接積分法，換元積分法，分部積分法，等的特點.使逐步向基本公式接近。 以下是總結(jié)的一些技巧： 1 補項法即將被積函數(shù)f(x)的某部分“加一項，減一項“后，使不定積分接近積分基本公式，求出結(jié)果； 例1610：求. 解：= = 2 乘除法即將被積函數(shù)f(x)“同乘同除”某式子，經(jīng)過適當?shù)倪\算求結(jié)果； 例17：求. 解：= = 3