第三章 中值定理與導數(shù)的應用(16節(jié))

1、1 第三章第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用微分中值定理與導數(shù)的應用2 羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理統(tǒng)稱微分學中值定理，它們在理論上和應用上都有統(tǒng)稱微分學中值定理，它們在理論上和應用上都有著重大意義，尤其是拉格朗日中值定理，它刻劃了著重大意義，尤其是拉格朗日中值定理，它刻劃了函數(shù)在整個區(qū)間上的變化與導數(shù)概念的局部性之間函數(shù)在整個區(qū)間上的變化與導數(shù)概念的局部性之間的聯(lián)系，是研究函數(shù)性質的理論依據(jù)。的聯(lián)系，是研究函數(shù)性質的理論依據(jù)。學習時，可借助于幾何圖形來幫助理解定理的學習時，可借助于幾何圖形來幫助理解定理的條件，結論以及證明的思路；并由此初步掌

2、握應用條件，結論以及證明的思路；并由此初步掌握應用微分學中值定理進行論證的思想方法。微分學中值定理進行論證的思想方法。3第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理, )()(0 xfxf .0)(0 xf那么那么一、費馬引理：一、費馬引理：設函數(shù)設函數(shù) f (x) 在點在點 x0 的某鄰域的某鄰域u(x0) 內有定義內有定義, 并且在點并且在點 x0 可導。如果對任意的可導。如果對任意的),(0 xux 有有),)()(0 xfxf 或或4不妨設不妨設 xxfxxfxfxfx )()(lim)()(00000則則證明：證明：),()(,)(00 xfxfxux 時時有有于是，對于于是，對于),(0

3、0 xuxx ),()(00 xfxxf 0 xxfxxfxfxfx )()(lim)()(00000且且0 0)(0 xf證畢證畢5）羅爾定理（羅爾定理（二、二、th-r 滿足滿足若若)(xf 上連續(xù)上連續(xù)在在ba,1 內可導內可導在在ba,2 bfaf 3 0, fba一點一點則至少則至少6r-th 的幾何意義：的幾何意義：軸軸或平行于或平行于點的切線平行于弦點的切線平行于弦對應對應xab ab 1 xy07證：證： f (x) 在在 閉區(qū)間閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，上連續(xù)，f (x)在在 a, b 上必有最大值上必有最大值m及最小值及最小值m,有兩種情況有兩種情況: (1) m = m

4、;(2) m m .(1) 若若 m = m ， 則則 m = f (x) = m ,f (x) 為常數(shù)，即有為常數(shù)，即有 ,0)( xf那么那么 ( a, b ) 內任一點都可取作內任一點都可取作 ， m = m 時，定理必成立。時，定理必成立。8(2) 若若 m m ，m , m 中至少有一個不等于中至少有一個不等于 f (a) 或或 f (b),不妨設不妨設 m f (a) , (設設 m f (a) 同樣可證）同樣可證）又設有又設有 f () = m, . 0)(),( fba要證要證因此，對任意因此，對任意).()( fxf f (a) = f (b) ,bax 有有從而由費馬引理可

5、知從而由費馬引理可知0)( f證畢。證畢。9),()(11:baxf在在）換成）換成若把（若把（，注注則結則結上連續(xù)上連續(xù)或或,(),baba 1010)(,xxxxf如如論不一定成立論不一定成立 1 , 1, 2 xxxf)2(,0不滿足不滿足處不可導處不可導在在 x1 , 0)(, 3 xxxf 321，但不滿足，但不滿足滿足滿足的的三三個個條條件件是是充充分分的的thr , 4但但非非必必要要的的如如： 3121010)(3xxxxxxg軸的切線。軸的切線。處有平行于處有平行于在在但但xxxg2)( 10 xxfcos)( 例例：驗驗證證 ，、上滿足上滿足在在證：顯然證：顯然212 ,

6、0cos x 02 , 0 xf使使 正確正確對對xxfthrcos)( 的正確性的正確性上上，在在thr 20 )3(, 1)2()0(滿足滿足且且 ff xxxf0sin令令11,001110 xxaxaxannn有正根有正根若方程若方程例：例： 0112110 nnnaxanxna則則的正根的正根必有小于必有小于0 x則由題設則由題設設設證：證：,)(1110 xaxaxaxfnnn 上上在在則顯然則顯然有有, 0)()0(0)(00 xxffxf 使使一點一點至少至少的條件，的條件，滿足滿足0, 0 xthr 01)(12110 nnnaannaf 12 的導數(shù)，的導數(shù)，不用求出不用求

7、出例：例：4321)( xxxxxf 有有幾幾個個實實數(shù)數(shù)根根，說說明明方方程程0 xf且且的的條條件件上上滿滿足足，在在易易見見解解,4 , 3,3221 )(:thrxf 0)(, 0)4()3()2()1( xfthrffff所以由所以由.)4 , 3(),3 , 2(),2 , 1(,3內內分別位于分別位于個根個根有有出出他他們們所所在在的的區(qū)區(qū)間間并并指指13 ，恒不為恒不為內可導，且內可導，且上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設設例：例：0),(,)(xfbabaxf 內內有有且且僅僅有有一一個個實實根根在在試試證證又又),(, 0)(. 0)()(baxfbfaf 由零點定理，由零點定理，

8、且且上連續(xù)上連續(xù)在在證：證：, 0)()(,)( bfafbaxf :, 0,00再證唯一性再證唯一性一點一點至少至少 xfbax ，有有若還有若還有用反證法用反證法0,1101 xfbaxxx baxxthrxfxxxx,)(,101001 滿足滿足上上則在則在不妨設不妨設的零點唯一的零點唯一矛盾矛盾）（一點一點至少至少)(0)(,10 xffxx 14 若若 f (x) 在在0, 1上有二階導數(shù)，且上有二階導數(shù)，且 f (1) = 0,設設 f (x) = x2 f (x)，試證在（試證在（0, 1）內）內至少存在一點至少存在一點 ，使使, )()(2)(2xfxxxfxf .0)( f可

9、導，可導，內內在在上連續(xù)上連續(xù)在在), 0(, 0)(11 xf 0)0( f使使, )1 , 0(1 ；0)(1 f例例證：證： f (x) 在在0,1上上連續(xù)連續(xù), ,在在(0, 1)內內可導可導( (由由題意題意),),0)1()1(ff 則由羅爾定理，則由羅爾定理，,0)0( f顯然顯然又由羅爾定理又由羅爾定理，), 0(1 , )1, 0( .0)( f使使15)(thl 拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理三三、上連續(xù)，上連續(xù)，）在）在滿足（滿足（若若,1)(baxf內可導，內可導，）在）在（),(2ba ba, 一點一點則至少則至少 abfafbf 有有 abafbff 或或l-th

10、 的幾何意義：的幾何意義：16 axabafbfafyab :的方程為的方程為證：證： yxfx 令令 axabafbfafxf 0 ba則則 0),( bathr由由 abafbfxfx abafbff 17仍成立仍成立上式對上式對注：注：ab , 1:稱為稱為拉拉格格朗朗日日中中值值公公式式, 2有限增量公式有限增量公式中值公式中值公式應用應用或或在在 lxxxxxx, 10 xxxfxfxxf:或記為或記為)(精確值精確值 bafbfaf xxxfy 18 :, 3的比較的比較與與dyy );(的精確值的精確值yxxxfy )()(的近似值的近似值yxxfdy 而而需需要要函函數(shù)數(shù)增增量

11、量的的取取得得有有限限增增量量在在有有些些問問題題中中當當自自變變量量,xx 因此此定理因此此定理示出它的價值示出它的價值拉格朗日中值定理就顯拉格朗日中值定理就顯精確表達式時精確表達式時,.,或微分中值定理或微分中值定理也稱為有限增量定理也稱為有限增量定理190)(),()(1 xfbaxf上上恒恒有有在在若若推推論論0)(),()( xfbaxf上恒為常數(shù)，則上恒為常數(shù)，則在在若若 中值公式，中值公式，由由證：證： lbaxxxx,2121 00)(121212 xxxxfxfxf cxfbaxx ,21 這里這里其其逆逆命命題題成成立立為常數(shù)為常數(shù)上上在在則則),()(baxf20)()(

12、)()(2xgxfixgxf 上有上有在區(qū)間在區(qū)間和和若若推論推論上相差一個常數(shù)上相差一個常數(shù)在在與與則則ixgxf)()(0)()()()( xfxgxfxf證：令證：令cxgxfcxf )()()(1即即由推論由推論.21,),(,)(),(,仍成立仍成立，推論推論內可導內可導在在上連續(xù)上連續(xù)在在時只要時只要是閉區(qū)間是閉區(qū)間注：當注：當babaxgxfbai21的正確性的正確性上上在在例：驗證例：驗證thlxy 1 , 02條件條件上滿足上滿足在在易見易見證：證：thlxy 1 , 02 01201:22 xx所以有所以有 1 , 02112 22 ,0 bfaf且且 ,ba . ff 使

13、使例：例：設設 f (x) 在在a, b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a, b)內可導，內可導，證明存在一點證明存在一點23由羅爾定理，存在由羅爾定理，存在 ，作作xexfxf , 0 aeafaf 使使,ba , 0 f證明：證明：由條件知由條件知f(x) 在在a, b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a, b)內可導，且內可導，且 , 0)( bebfbf, )()(bfaf 0 ff即即 ,)(xxexfexfxf ，有有0)( efeff . ff 得證。得證。24 此類問題的關鍵是構造合理的輔此類問題的關鍵是構造合理的輔助函數(shù)，可采用助函數(shù)，可采用反向演繹反向演繹的思維方式，的思維方式，多掌握一些函數(shù)的

14、導數(shù)形式，如多掌握一些函數(shù)的導數(shù)形式，如 , )(lnxfxfxf ,xfxxfxfx 25.0ba 且且 ,ba .)()()()()(2 ffabababfbaf 使使得得例：例：設設 f (x) 在在a, b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a, b)內可導，內可導，證明存在一點證明存在一點定理。定理。上運用上運用在在令令 lbaxxfx,)()( 26試證試證例：若例：若,20 時時，題題設設成成立立顯顯然然當當證證： 條件條件顯然滿足顯然滿足設設當當thlxxxf ,tan 使使， 2cos)(tantan f 2, 0 ，這里這里 單調單調在在2, 0cos12 x 22costantanco

15、s 22costantancos 試證試證27例例 xxxxx )1ln(1, 0 試證試證若若證：證：)1ln()(xxf 令令定理，定理，應用應用在在時，對時，對當當 lxxfx, 0)(0)0()0()()0()(xxffxf 有有 1)1ln(xx即即xxxx 11而而xxxxx )1ln(1,0有有時時則則28).0(1arctanarctan122baaababbab ,arctan)(baxxxf 內內可可導導，在在連連續(xù)續(xù)上上在在則則babaxf,)(例例 證明：證明：分析：分析： 出現(xiàn)函數(shù)出現(xiàn)函數(shù) arctan x 在在a, b上的增量上的增量,可用可用 l定理證明定理證明

16、。由由l 定理：定理：使使),(ba , )()()(abfafbf , )(11arctanarctan2abab 即即令令證證 ：29, )(11arctanarctan2abab ,111111222ba ,0ba ,111222ba 21bab, 0 ab又又21 ab21aab ).0(1arctanarctan122baaababbab 30例例 證明恒等式證明恒等式)11(2arccosarcsin xxx 證：證：xxxfarccosarcsin)( 令令則則 221111)(xxxf= 0所以由前面的定理可知：所以由前面的定理可知：在在-1 x 0.試證試證 )().()()

17、()(baababba 分析：分析：ababababbaababba )()()()( baaabb11)()( 40221)()()()( 所以如令所以如令,)()(xxxf ,1)(xxf 對它們在對它們在a, b上應用柯西中值定理即可。上應用柯西中值定理即可。請同學們自己完成證明過程。請同學們自己完成證明過程。41第二節(jié)第二節(jié) 洛必達法則洛必達法則 0),(都都時，時，或或若若xfxfxax 或或這時稱之為未定式這時稱之為未定式00: 也可能不也可能不可能可能則則xfxfxax)(lim 現(xiàn)用現(xiàn)用c-th來導出求這類極限的簡便方法即來導出求這類極限的簡便方法即:洛必達法則洛必達法則42

18、0lim, 0lim1 xfxfaxax若若定理定理 0,2 xfxfxfa都存在且都存在且在在 或或xfxfaxlim3 xfxfxfxfaxax limlim則則.型也有上述結論型也有上述結論時的時的或對或對注：對注：對 xaxx43 處處在在證證：由由條條件件axxfxf ,)1( axaxxfxfau 0,*內內引引進進函函數(shù)數(shù)在在 在以在以、則對則對xfxfaux*, 可去可去間斷間斷無定義無定義連續(xù)，即連續(xù)，即只可能只可能,. 20)(. 1af axaxxfxf 0* axxaxa,為為端端點點區(qū)區(qū)間間、44 開區(qū)間內可導開區(qū)間內可導閉區(qū)間內連續(xù)閉區(qū)間內連續(xù)21 條件條件滿足滿足

19、即即thcxfxfxfxf *,0) )(3 之間之間與與在在xaffffafxfafxf )()(*aaxax 時時注意到注意到由等式兩邊取極限且令由等式兩邊取極限且令, xfxfffafxfafxfxfxfaxaaxax limlimlimlim* ;. 1端也為無窮大端也為無窮大上式右端為無窮大時左上式右端為無窮大時左注：注： 的條件時則可繼續(xù)用的條件時則可繼續(xù)用且仍滿足且仍滿足仍為仍為若若thxfxfax00lim. 2 xfxfxfxfxfxfaxaxaxlimlimlim45 3423lim:431xxxxx例例注注: 1,可見用洛必達法則求極限當分子分母都是次數(shù)較可見用洛必達法則

20、求極限當分子分母都是次數(shù)較 高的多項式時可避免繁碩的因式分解高的多項式時可避免繁碩的因式分解; 2,用洛必達法則求極限時每做一步都要查看一下用洛必達法則求極限時每做一步都要查看一下 是否還為不定型是否還為不定型,若不是就不能用洛必達法則若不是就不能用洛必達法則,否則否則 會出錯會出錯 4433lim321xxx21126lim21 xxx46 30sinlim:xxxx例例 xxx1sinarctan2lim: 例例11lim22 xxx 203cos1limxxx616sinlim0 xxx )1(1cos11lim22xxxx2211cos1limxxxx 47,; )0(;ln:xueu

21、xx 討論討論例例 uxxxlnlim:解解 xuxexlim?,哪個增長最快哪個增長最快時時當當x 11limuxuxx01lim uxux xuxeux1limxuxexuu2)1(lim 是整數(shù)是整數(shù)ueuxx0!lim 48”）“）“（例：例： 11ln1lim1xxx 00ln1ln1lim1xxxxx）（2111ln1lim1 xx）（1ln1lim1 xxxxx xxxxx1ln11lim149 0sin000lim:xxx例例 xxxlnsinlim000lim00 ）（xx1lim0sin00 exxx xxxesinln00lim xxxx2sincos100limxxxe

22、lnsin00lim 型型 0 xxxsin100lnlimxxx2sin1100lim 50nxxnxxxnaaa)(lim11211 例：例：e e ”型”型“）均均（ 10.21naaalnlnlim11211naaanxxnxxx ）（nxnaaaxnxxx1lnlnlim11211 ）（51e )ln(21naaa2211111121111(lnln1limnxxaaaaaaanxnxxnxxx ）（e naaa21 52xxx）（例：例：1lnlim00 ”“0 e ）（xxx1lnlnlim00 e xxx100lnlnlim）（ e 21ln1001limxxxx ）（e xx

23、xlnlim00 10 e53但不能用洛必達法則。但不能用洛必達法則。存在存在例：驗證極限例：驗證極限,sinsinlimxxxxx 1sin1sin1lim: xxxxx解解但若用洛必達法則但若用洛必達法則: xxxxxsinsinlim ）（）（當當kkxkkxkk 200221極限不存在。此例說明洛必達法則不是萬能的極限不存在。此例說明洛必達法則不是萬能的.xxxcos1cos1lim 54可見一味用洛必達法則，則永遠無結果?？梢娨晃队寐灞剡_法則，則永遠無結果。 所以洛必達法則并不是萬能的，一旦所以洛必達法則并不是萬能的，一旦做不下去必須改用其它方法。做不下去必須改用其它方法。shxch

24、xx limchxshxxlim例例 chxshxxlim若用消去無窮因子法：若用消去無窮因子法：. 111limlim22 xxxxxxxxeeeeee原式原式55原定理只說原定理只說存在等于存在等于a或或，則，則顯然后者極限不存在，此時洛必達法則不能用！顯然后者極限不存在，此時洛必達法則不能用！xxxxsin1sinlim20例例.)()(lim 或或存在也等于存在也等于axgxf)()(limxgxf xxxxxcos1cos1sin2lim0 但當?shù)?()(limxgxf 不存在，則不能說不存在，則不能說.)()(lim不存在不存在xgxf此時需要用其它方法求極限。此時需要用其它方法

25、求極限。56作作 業(yè)業(yè)p174頁：頁：3-2(a)1(單單), 2p175頁：頁：3-2(b)1(單單), 2, 4, 65758bxxb 3,:3方方程程取取何何值值證證明明不不管管例例21)(:xxxf ，不妨設為，不妨設為有兩個不同的實根有兩個不同的實根若若證證021 ）（）（xfxf thrxxxf 上滿足上滿足）在）在（因為因為1 , 1,21 ，）（，使，使）（一點一點至少至少01 , 1,21 fxx內內無無根根矛矛盾盾。在在但但這這與與)1 , 1()1)(1(333)(2 xxxxf 上上至至多多有有一一個個實實根根，在在11 59第三節(jié)第三節(jié) 泰勒公式泰勒公式）00)()(

26、)(:xxfxfxfthl )()()(00 xxfxfxf 或或：之之間間與與在在0 xx 60泰勒泰勒 ( taylor ) ( 1685 1731 )英國數(shù)學家英國數(shù)學家61 62有有時時，很很靠靠近近當當0 xx)()()(000 xxxfxfxf 的開區(qū)間內可導，的開區(qū)間內可導，含有含有在在若若0)(xxfy 在微分應用中知，在微分應用中知，此式左端是一函數(shù)，而右端是此式左端是一函數(shù)，而右端是 x x 的一次多項式。的一次多項式。即用一次多項式來近似代替函數(shù)。即用一次多項式來近似代替函數(shù)。但這種表達式的精度不高，它所產(chǎn)生的誤差僅但這種表達式的精度不高，它所產(chǎn)生的誤差僅是關于是關于x

27、- -x0 的高階無窮小，且無法具體估計出的高階無窮小，且無法具體估計出誤差的大小。誤差的大小。 為此，我們用滿足一定要求的高次多項式為此，我們用滿足一定要求的高次多項式來近似表達函數(shù)，并給出誤差的計算公式。來近似表達函數(shù)，并給出誤差的計算公式。63次多項式次多項式的的試求出一個關于試求出一個關于階導數(shù)階導數(shù)的開區(qū)間內具有直到的開區(qū)間內具有直到在含有在含有設設nxxnxxf)(,1)(00 nnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 來近似表達來近似表達 f (x).)()(,),()()()(),()()1(0)(0)(000000 xfxpxfxpxfxpxfxpnnnn

28、nn 要求：要求：式。式。表達表達的具體的具體窮小，并給出誤差窮小，并給出誤差階的無階的無高高之差是比之差是比與與| )()(|)()()()2(0 xpxfxxxfxpnnn 64首先，可定出系數(shù)：首先，可定出系數(shù)：, )(00 xfa , )(101xfa , )(! 202xfa , )(!0)(xfannn 200000)(! 2)()(! 1)()()(xxxfxxxfxfxpn nnxxnxf)(!)(00)( 65為此，我們有為此，我們有 taylor 中值定理：中值定理：內內具具有有的的某某個個鄰鄰域域在在點點若若),()(00 xuxxf)(,),(,)1(0 xfxuxn時

29、時則則當當階階導導數(shù)數(shù)直直到到 次次多多項項式式與與一一個個的的一一個個可可表表示示成成nxx)(0 之之和和：余余項項)(xrn200000)(! 2)()(! 1)()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xrxxnxfnnn （證略）（證略）66200000)(! 2)()(! 1)()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xrxxnxfnnn 10)1()()!1()()( nnnxxnfxr 其中其中之間之間與與在在0 xx 說明：說明：,公公式式階階的的到到taylorn稱為稱為其中其中公式公式階的階的展開到展開到)(,xrtaylornn)(xf或

30、稱為或稱為處處在在0 xx . 1按按上上述述公公式式稱稱為為)(xf的冪的冪0 xx 展開展開拉格朗日型余項拉格朗日型余項。671000)1()()!1()()( nnnxxnxxxfxr )10( . 2時時，上上述述公公式式為為：當當0 n)()()(00 xxfxfxf 之之間間與與在在0 xx 。即即為為拉拉格格朗朗日日中中值值公公式式余項余項rn(x)又可寫成：又可寫成：)(0 xr68. 3 )()()(000 xxxfxfxf當當nnxxnxf)(!)(00)( )()(0nnxxoxr 則誤差則誤差,)(00的的高高階階無無窮窮小小時時是是當當即即nxxxx ,),(0nxu

31、x，對對固固定定的的當當 )()()1(常數(shù)常數(shù)若若mfn 10)!1()( nnxxnmxr則有誤差公式則有誤差公式這種形式的余項這種形式的余項rn(x)稱為稱為皮亞諾型余項皮亞諾型余項。69. 4公公式式為為：，若若taylorx00 2! 2)0()0()0()(xfxffxf1)1()()!1()(!)0( nnnnxnfxnf )(!)0()0()0()()(nnnxoxnfxffxf 或或1)!1()( nnxnmxr誤差誤差稱為稱為麥克勞林公式麥克勞林公式。70在在一一個個區(qū)區(qū)間間上上的的增增量量與與數(shù)數(shù)泰泰勒勒中中值值定定理理建建立立了了函函注注)(:xf處處的的高高階階導導數(shù)

32、數(shù)間間的的聯(lián)聯(lián)系系這這個個函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間內內某某點點71。階麥克勞林公式階麥克勞林公式的的求求nexfx )(解：解：xnexfxfxf )()()()(1)0()0()0(0)( efffn! 212nxxxenx )0(之間之間與與在在x ! 212nxxxenx 近似式近似式1)!1( nxne 。次次多多項項式式近近似似的的可可用用nxex例例(1)72時，時，特別當特別當1 x!1! 2111ne ! )1( ne )1(nr誤差誤差10 x 應取多少？應取多少？，欲要使欲要使nrn310 310)!1(3)1( nrn由由! 212nxxxenx 近似式近似式)!1( ne3

33、000103)!1(3 n,720! 6 ,5040!7 71 n7182. 2! 61! 2111 e.103 nr且且6 n)!1(3 n73)2(xxfsin)( 解：解：xxfcos)( xxfsin)( , )2sin()()( nxxfn, 1)0(, 0)0(, 1)0(, 0)0( ffff, )2sin( x, )22sin( x74)(2xrnxxn sin1若若 !7! 5! 3sin753xxxxx12)!12(2)12(sin nxnnx )10( 3! 31sin2xxxn 若若)()!12()1(2121xrnxnnn 75觀察這三條曲線在觀察這三條曲線在 x =

34、 0 附近的彌合程度：附近的彌合程度：,3, 2 nn若取若取,!31sin3xxx 誤差不超過誤差不超過.!51!31sin53xxxx 5!51x, 1 n若取若取,sinxx 則有則有則有則有.!717x和和3!31xxy xy sin .!51!3153xxxy xy xf ( x )076 !7!5!3sin753xxxxx)(!)12()1(2121xrnxnnn 同理可求得：同理可求得：)()!2()1(!4!21cos242xrnxxxxnnn 77,)0(, 1)0(mff )1()1()0()( nmmmfn 2! 2)1(1)1(xmmxmxm)() 1() 1(xrxn

35、nmmmnn )3(mxxf)1()( ):(任意常數(shù)任意常數(shù)m解：解：,)1()(1 mxmxf,)1)(1()1()()(nmnxnmmmxf 78 我們已求得了一些函數(shù)的麥克勞林公式我們已求得了一些函數(shù)的麥克勞林公式, , 我我們還可以類似得到以下函數(shù)麥克勞林公式：們還可以類似得到以下函數(shù)麥克勞林公式： )()1(1112nnnxoxxxx )(1112nnxoxxxx )()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx )(12) 1(53arctan121253 nnnxonxxxxx)(321)1(11122 nnxonxxxx79利用已知的帶有皮亞諾余項的麥克勞林公利用已知的帶

36、有皮亞諾余項的麥克勞林公式，可以計算一些極限：式，可以計算一些極限：xxxxx30sincossinlim 求求333330) )(! 21()(! 31limxxoxxxoxxx 3330)(31limxxoxx .31 80作作 業(yè)業(yè)p184頁：頁：3-31, 3, 5, 8(1)(3) 81第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調性與凸性的判別法函數(shù)的單調性與凸性的判別法 由于中值定理建立了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與由于中值定理建立了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內某點的導數(shù)之間的聯(lián)系，因此就為我函數(shù)在這區(qū)間內某點的導數(shù)之間的聯(lián)系，因此就為我們提供了一種可能性：利用導數(shù)來研究函數(shù)值的變化們提供了一種

37、可能性：利用導數(shù)來研究函數(shù)值的變化情況，并由此對函數(shù)及其圖形的某些性態(tài)作出判斷。情況，并由此對函數(shù)及其圖形的某些性態(tài)作出判斷。82(上升上升)（下降）（下降）abab函函數(shù)數(shù)單單調調性性的的判判定定法法：一一.y0 x0 xy83從幾何上看從幾何上看, y = f(x) 在在 a, b 上單增上單增(或單減或單減)，其圖形是一條沿其圖形是一條沿 x 軸正向上升軸正向上升(或下降或下降)的曲線。的曲線。上升的曲線每點處的切線斜率均為正，上升的曲線每點處的切線斜率均為正，下降的曲線每點處的切線斜率均為負，下降的曲線每點處的切線斜率均為負，;0)( xf即即.0)( xf即即84 上上）在）在（，那

38、么，那么）（）內）內）如果在（）如果在（baxfxfba,0,1 上上）在）在（，那么，那么）（）內）內）如果在（）如果在（baxfxfba,0,2間間區(qū)區(qū)間間換換算算成成其其他他各各種種區(qū)區(qū)注注：此此判判定定方方法法中中的的閉閉也成立。也成立。包括無窮區(qū)間包括無窮區(qū)間)( 可導，可導，連續(xù)，在連續(xù)，在在在設函數(shù)設函數(shù)),(,)(babaxfy 定理定理1 （單調性判定）（單調性判定）85 有有）由）由（，上任取兩點上任取兩點證明：在證明：在thlxxxxba 2121,）（）（）（）（211212)(xxxxfxfxf ，）（）（）內）內）如果在（）如果在（00,1 fxfba00,2 ）（

39、）（）內）內）如果在（）如果在（ fxfba ）（）（）（則則xfxfxf012 ）（）（）（則則xfxfxf01286 點處，點處，的單調增減區(qū)間的分界的單調增減區(qū)間的分界在可導函數(shù)在可導函數(shù)注意：注意：)(.10 xf0)( xf必有必有，其，其為為內僅在有限個孤立點處內僅在有限個孤立點處，在在當當0)()(.20baxf )(),()0(0 或或內仍為內仍為，則在，則在或或余點均余點均ba的點的點不不及及劃分函數(shù)的單調區(qū)間用劃分函數(shù)的單調區(qū)間用 )(0)(.30 xfxf如如來劃分來劃分,3xy 如：如：xy 處處在在如如 kxxy22sin 87 上的單調性上的單調性，在在例：判定例：

40、判定 20sin xxy 0cos120 xy）內，）內，解：在（解：在（ 20sin，在在xxy88的單調性的單調性確定函數(shù)確定函數(shù)例例32:xy ,),(:上連續(xù)上連續(xù)在在解解y,32320331xxyx 時時且當且當不存在不存在時時當當yx 089利用單調性證明不等式利用單調性證明不等式xexx 10例：證明當例：證明當1 190）（）（令令證證xexfx 1:)(. 00一定要求零點一定要求零點）（ f 00001）（）（）（xfxxfxexfx 0000001xfxfxexfx）（）（）（）（）（xex 191xxx132,1: 時時證明當證明當例例,132:xxxf ）（令令證證0

41、11122 xxxxxxf）（ 時時當當1x0)1( f易見易見 )()1(xfx0132: xx即即0)1()( fxf92只只有有一一個個實實根根試試證證方方程程例例xx sin:,sin)(:xxxf 設設證證,下下證證唯唯一一性性,), 2, 1, 0,2且且都都是是孤孤立立的的個個別別點點 kkx )(xf0)( xxf有有實實根根所所以以等等號號成成立立當當且且僅僅當當(0cos1)( xxf 0)0()(00)0()(0fxfxfxfx時時時時.0是唯一實根是唯一實根, 0)0( f顯然顯然931sin2,20: xxx 有有時時證明證明例例 時，時，則當則當令令證證20sin:

42、 xxxxf 0)tan(cossincos22 xxxxxxxxxf 單調減少，單調減少，在在)2,0(xf.2)2(,1sinlim0 fxxx又又,20時時當當 x,)00()()2( fxff.1sin2 xx 94xxxxxsintan,20: 有有時時證明證明例例 時，時，當當設設證：證：202sintan xxxxxf 2cossec2 xxxf xxxxfsintansec22 0)cos2(sinsec33 xxx 單調增加，單調增加，在在)2,0(xf 02110 f且且0)0()( fxf 單調增加，單調增加，在在)2,0(xf0)0( f又又0)0()( fxf題題設設

43、得得證證95作作 業(yè)業(yè)p194頁：頁：3-4(a)1, 4(2)(4)p195頁：頁：3-4(b)1(2), 2, 4(1)(3), 596曲曲線線的的凸凸性性與與拐拐點點二二.,曲線的凸性曲線的凸性同樣單增的函數(shù)，有時彎曲的方向不一樣。同樣單增的函數(shù)，有時彎曲的方向不一樣。xy0 xy0下凸下凸x1x2弦上弧下弦上弧下,則曲線為下凸；則曲線為下凸；上凸上凸x1x2弦下弧上弦下弧上,則曲線為上凸則曲線為上凸 。)10()1()(,2112121 txtxtxxtxxxx間的任一點為間的任一點為介于介于97)()()()(221212xfxxxxxfxfy 弦的方程為弦的方程為代入上式有：代入上

44、式有：把把21)1(xtxtx )()()1(21xftxfty 定義：定義：由此我們給出凸函數(shù)的由此我們給出凸函數(shù)的981定義定義內有定義，內有定義，在在設函數(shù)設函數(shù)ixxf )(有有對對若若)1 , 0(),( ,2121 txxixx)()()1()1(2121xtfxftxtxtf 內是下凸的；內是下凸的；在在則稱則稱ixf)()()()1()1(2121xtfxftxtxtf 內是上凸的。內是上凸的。在在則稱則稱ixf)(凸（上凸），則稱凸（上凸），則稱在整個定義區(qū)間上是下在整個定義區(qū)間上是下若若)(xf 凸）的。凸）的。其圖像曲線是下凸（上其圖像曲線是下凸（上99221xx pq(

45、i)(ii)特別地特別地,若取弦的中點若取弦的中點 q),(2)2()1(221xfxfxx 與曲線弧上的相應點與曲線弧上的相應點 p),(,(221221xxxxf 2)()(22121)(xfxfxxf 定義定義1* 設設f(x)在區(qū)間在區(qū)間i上連續(xù)上連續(xù),對對i上任意兩點上任意兩點x1,x2,恒有恒有則稱則稱f(x)在在i上的圖形是下凸上的圖形是下凸,如如(i)221xx pq2)()(22121)(xfxfxxf 則稱則稱f(x)在在i上的圖形是上凸上的圖形是上凸,如如(ii)xy0 xy0下凸下凸x1x2上凸上凸x1x2100曲線的凹凸性亦可用曲線和切線的位置來描述曲線的凹凸性亦可用

46、曲線和切線的位置來描述:xy0 xy0下凸下凸上凸上凸上上凸凸曲曲線線在在切切線線之之下下下下凸凸曲曲線線在在切切線線之之上上;直接用定義判別函數(shù)的凸性較困難，下面給出利用函數(shù)的一階及二階導數(shù)的性質來判別函數(shù)的凸性的方法：101凸凸性性判判別別定定理理定理定理 2（凸性的第一判別法）（凸性的第一判別法）.),()(,),()(,),()(（上上凸凸）的的內內是是下下凸凸在在則則內內單單調調增增加加（減減少少）在在且且內內可可導導在在若若baxfbaxfbaxf 定理2的證明可見教材p191頁。102 內二階可導，內二階可導，上連續(xù)，在上連續(xù)，在，在在設設)()(babaxf內內則在則在),(b

47、a,)(0)(1上是下凸的上是下凸的在在則則，）若（若（baxfxf 上上是是上上凸凸的的。在在則則，）（,)(0)(2baxfxf 3定定理理（凸性的第二判別法）（凸性的第二判別法）103證：如圖證：如圖),(),(,(0000baxxfxmab 上任取一點上任取一點在曲線在曲線:00的方程為的方程為的切線的切線則過則過tmm)(000 xxxfxfy ）（上對應于上對應于則在則在對對tmxx001, :11的縱坐標為的縱坐標為的的mx )()(01001xxxfxfy （:),(:111它們的差為它們的差為的縱坐標為的縱坐標為上的點上的點點曲線點曲線對應于對應于xfymabx )(0100

48、111xxxfxfxfyy ）（）（）二階可導）二階可導，）在（）在（baxf處的一階泰勒公式，處的一階泰勒公式，在在由由0)(xxf200002)(）（！）（）（）（xxfxxxfxfxf 2010100112)(）（！）（）（）（時時當當xxfxxxfxfxfxx 之間之間與與在在0 xx 之間之間與與在在01xx (*)104201111)(!2:(*)(xxfyyxf ）（式有式有代入代入將將 ）同號）同號（與與 fyyxx 112010)(, 00 ）（）（）內）內，若在（若在（ fxfba, 00 ）（）（）內）內，若在（若在（ fxfba是下凸的是下凸的弧弧abyy 11。凸的凸

49、的是上是上弧弧abyy 11105的凸性的凸性例：判斷曲線例：判斷曲線xyln ,1,0 xyx ），（解解：曲曲線線是是上上凸凸的的 , 012xy106的凸性的凸性判斷判斷例例3:xy ），（解解 xxyxy,6,3:2）為上凸弧）為上凸?。▋葍?，在（在（xfy 0)0）為下凸弧）為下凸?。▋葍龋冢ㄔ冢▁fy 0)0107函數(shù)的凸性可以用來證明不等式函數(shù)的凸性可以用來證明不等式:bababa )1(:, 10,1不等式不等式證明證明是任意兩個正數(shù)是任意兩個正數(shù)與與設設例例)1ln()ln(1baba 題設即要證題設即要證證證,ln)(xxf 令令,1)(xxf , 01)(2 xxf 時

50、，由凸函數(shù)時，由凸函數(shù)為上凸函數(shù)，當為上凸函數(shù)，當baxf )(的定義有：的定義有：108)10()1()()()1( bafbfaf)1ln(lnln)1(baba 即即綜上即得。綜上即得。時，不等式成為等式，時，不等式成為等式，當當ba 221baab 時有時有此例中當此例中當 109, 曲線的拐點曲線的拐點定義定義 2連續(xù)函數(shù)下凸弧與上凸弧的分界點連續(xù)函數(shù)下凸弧與上凸弧的分界點稱為這曲線的稱為這曲線的 拐點拐點（或扭轉點）。（或扭轉點）。的的拐拐點點點點就就是是如如3)0 , 0(xy 說明：說明：不存在的點不存在的點或或使使yy 0)1(2) 拐點在曲線上，而不在拐點在曲線上，而不在x

51、軸上，軸上，其坐標為其坐標為(x0,y0)。坐坐標標。也也可可能能是是曲曲線線拐拐點點的的橫橫110拐點的判別拐點的判別 設具有二階連續(xù)導數(shù)的曲線設具有二階連續(xù)導數(shù)的曲線 y = f(x)在在 x = x0 處有處有, )(0)(不存在不存在或或xfxf 變號，變號，)(xf 則則 (x0,f(x0) 是是 y = f(x) 的拐點。的拐點。同同號號，)(xf 則則 (x0,f(x0) 不是不是 y = f(x) 的拐點。的拐點。的某鄰域內：的某鄰域內：且在且在0 x111 設設y=f(x)在在x0處三階可導，處三階可導，, 0)(0 xf,0)(0 xf則則 (x0,f(x0) 是是y =

52、f(x) 的拐點。的拐點。 000)()(lim)(:0 xxxfxfxfxx證證,)()(0)(00同號同號與與若若xxxfxf ,)()(0)(00異號異號與與若若xxxfxf 0)(lim00 xxxfxx,)(0點左右變號點左右變號在在即即xxf .)(0點左右變號點左右變號在在亦有亦有xxf 112的的凸凸區(qū)區(qū)間間與與拐拐點點求求曲曲線線例例12:34 xxy)1(12121264223 xxxxyxxy解：解：1; 0021 xxy令令:所以拐點為所以拐點為),0 , 1(; )1 , 0(.凸凸區(qū)區(qū)間間由由表表中中易易見見113的拐點的拐點求曲線求曲線例例141232:23 xx

53、xy;612;1266:2 xyxxy解解;021 y內內，在在 )21(21:y，拐點為拐點為210 xy由由021 y內內，在在01221 xy或或114是否有拐點？是否有拐點？問曲線問曲線例例4:xy 00124:23 xyxyxy令令解解00;000 yxyxx時，時，當當）點左右不變號）點左右不變號，在（在（即即00y 無拐點無拐點即即）點不是曲線的拐點，）點不是曲線的拐點，所以（所以（400 xy ）是下凸的。）是下凸的。，（ 點不是拐點點不是拐點另解：另解：)0 , 0(02400 xxxy115的拐點的拐點求曲線求曲線例例3:xy 時時）內連續(xù)，當）內連續(xù)，當，在（在（函數(shù)函數(shù)

54、解解0:3 xxy均不存在均不存在、時時當當yyxxxyxy ,09292,31353532）分為兩個部分區(qū)間）分為兩個部分區(qū)間，將（將（用用 0 x此例強調雖然函數(shù)的二階導數(shù)不存在此例強調雖然函數(shù)的二階導數(shù)不存在,但若函數(shù)在但若函數(shù)在x0點的二階點的二階導數(shù)異號且在導數(shù)異號且在x0點連續(xù)點連續(xù),則則(x0,f(x0)為拐點為拐點.116 有有且對某且對某存在存在上上例：設在例：設在),(,)(,0baxxfba ）的拐點。）的拐點。（是是試證點試證點xfxfx)(,(00:),(021)()(lim:0300時有時有使當使當由由證證 xuxxxxfxx 異號異號與與即即3030)()(0)(

55、)(xxxfxxxf 下凸下凸曲線曲線時時當當)(0)(),(00 xfyxfxxx 上凸上凸曲線曲線時時當當)(0)(),(00 xfyxfxxx 點連續(xù)點連續(xù)在在二階可導二階可導且因為且因為0)()(xxfxf.)(,(00是一個拐點是一個拐點點點xfx21)(lim300 xxxfxx）（117例例: 利用函數(shù)圖形的凸性證明不等式：利用函數(shù)圖形的凸性證明不等式：22yxyxeee ,:tetf 令令解解 ,0 tetftf故函數(shù)圖形是下凸的，故函數(shù)圖形是下凸的， ,22 yxfyfxf22yxyxeee 118作作 業(yè)業(yè)p194頁：頁：3-4(a)7(雙雙), 8(單單), 9p195頁

56、：頁：3-4(b)10(1), 11119第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大、最小值函數(shù)的極值與最大、最小值一一,函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法若若f(x) f(x0),則稱則稱f(x0)為為f(x)的一個的一個極小值極小值,x0稱為極小值點。稱為極小值點。極大值極大值(點點)與極小值與極小值(點點)統(tǒng)稱極值統(tǒng)稱極值(點點)。120注注: 極大極大(小小)值都是局部性態(tài)值都是局部性態(tài),可能出現(xiàn)極大值小于極小值可能出現(xiàn)極大值小于極小值 的情況的情況 極大值不一定是最大值極大值不一定是最大值,極小值也不一定是最小值極小值也不一定是最小值 從圖中可見曲線在函數(shù)的極值點所對應的那些點處具從圖中可見曲

57、線在函數(shù)的極值點所對應的那些點處具 有水平切線有水平切線,反之不真反之不真,如如 y = x3 在在x = 0 處有水平切線處有水平切線, 但但 x = 0 不是極值點不是極值點. 121下面給出函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件下面給出函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件:)(1 必要條件必要條件定理定理,)()()(00值值小小為極大為極大可導，且可導，且在點在點若若xfxxf0)(0 xf則必有：則必有：)()(:0極極小小值值的的情情況況類類似似為為極極大大值值不不妨妨設設證證xf于于是是有有使使得得對對則則),()(),(000 xfxfxux 0)()(lim00000 xxxfxfxx

58、xx時時當當0)()(lim00000 xxxfxfxxxx時時當當0)(0 xf122:駐駐點點稱稱為為駐駐點點的的點點滿滿足足xxf0)( 駐駐點點則則極極值值點點可可導導若若說說明明定定理理,)(:1xf但但不不是是極極值值點點是是駐駐點點如如,0,:3 xxy 由上可見求出函數(shù)的駐點后還需判別其是否為由上可見求出函數(shù)的駐點后還需判別其是否為 極值點極值點,若是極值點還需判別其是若是極值點還需判別其是 極大值還是極小值點極大值還是極小值點.123一一階階充充分分條條件件）（第第一一種種充充分分條條件件或或稱稱定定理理2000 ）（某個領域內可導，且某個領域內可導，且）在）在（設設xfxx

59、f，左側鄰近時左側鄰近時在在）當）當0)(10 xfxx, 0)(0 xfxx右側鄰近時右側鄰近時在在當當取得極大值。取得極大值。在在則則0)(xxf，左側鄰近時左側鄰近時在在）當）當0)(20 xfxx, 0)(0 xfxx右側鄰近時右側鄰近時在在當當取得極小值。取得極小值。在在則則0)(xxf點無極值點無極值在在則則不變號不變號的左右的左右在在當當00)(,)()3xxfxfxx .別法易證別法易證因為由函數(shù)單調性的判因為由函數(shù)單調性的判證略證略 124的極值的極值求函數(shù)求函數(shù)例例xxf )(: 00)(:xxxxxf解解 01001)(xxxxf不存在不存在的極小值的極小值為為xxfx

60、)(0125:求函數(shù)極值的步驟求函數(shù)極值的步驟)()1xf 求出求出不存在的點不存在的點求出全部駐點以及求出全部駐點以及令令)(0)()2xfxf 進行判別進行判別用定理用定理 2)3的全部極值的全部極值即為即為值值求出各極值點處的函數(shù)求出各極值點處的函數(shù))(,)4xf126 的極值。的極值。求求例例321:xxy ,: d解解 31323211 xxxy 2233131 xxx3/1325xx 02 y令令,52 x. 0 xy不存在的點：不存在的點： :3列表列表 32545352, 00 ff極小值極小值極大值極大值127的極值的極值試求試求例例xexxxf)4()(:3 xexxxxf