分段函數(shù)的幾種常見題型和解法

1、函數(shù)的概念和性質(zhì)考點(diǎn)分段函數(shù)分段函數(shù)是指自變量在兩個(gè)或兩個(gè)以上不同的圍，有不同的對應(yīng)法則的函數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)，卻又常常被學(xué)生誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)；它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集，其值域也是各段函數(shù)值域的并集.由于它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識的程度的考察上有較好的作用，時(shí)常在高考試題中“閃亮”登場 ，本文就幾種具體的題型做了 一些思考，解析如下：1.求分段函數(shù)的定義域和值域2x 2 x 1,0;例1 .求函數(shù)f(x) gx x (0,2);的定義域、值域.3 x 2,);2.求分段函數(shù)的函數(shù)值例2.已知函數(shù)f(x)|x111|2,(|x| 1)求 ff©).(|x| 1)3

2、.求分段函數(shù)的最值例3,求函數(shù)f(x)4x 3 (x 0)x 3 (0 x 1)的最大值.x 5 (x 1)4.求分段函數(shù)的解析式例4 .在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y "*)和丫 g(x)的圖象關(guān)于直線 y x對稱，現(xiàn)將y g(x)的圖象沿x軸向左平移2個(gè)單位，再沿y軸向上平移1個(gè)單位，所得的圖象是由兩條線段組成的折線(如圖所示)，則函數(shù)f(x)的表達(dá)式為()A. f(x)2x 2 ( 1 x 0)或 2(0 x 2)B. f(x)2x 2 ( 1 x 0)或 2(0 x 2)C. f(x)2x 2 (1 x 2)I 1(2 x 4)D. f(x)2x 6 (1 x 2)i 3(2

3、 x 4)5 .作分段函數(shù)的圖像例5 .函數(shù)y e|lnx| |x 1|的圖像大致是()6.求分段函數(shù)得反函數(shù)例6已知yf(x)是定義在 R上的奇函數(shù)f(x)的反函數(shù)為y g(x),求g (x)的表達(dá)式.7.判斷分段函數(shù)的奇偶性例7 .判斷函數(shù)f (x)x2(x 1) (x x2(x 1)(x0)0)D且當(dāng)x 0時(shí)，f (x) 3x 1 ,設(shè)的奇偶性.8.判斷分段函數(shù)的單調(diào)性例8 .判斷函數(shù)f (x)3/x x (xx2 (x0)- 一7的單調(diào)性.0)例9.寫出函數(shù)f (x) |12x| |2 x|的單調(diào)減區(qū)間9.解分段函數(shù)的方程-2 x x (例10 .設(shè)函數(shù)f (x)'log8i

4、x x (1,10.解分段函數(shù)的不等式x21 (x 0)例11 .設(shè)函數(shù)f (x) ix2 (x 0)A.( 1,1)B.( 1,) C.(2(x 1) (x例12 .設(shè)函數(shù)f (x):-4. x 1 (x)A. (, 2 0,10B.(1»1八一，則滿足方程f (x)的x的值為)4若f(x0) 1 ,則x0得取值圍是()2) (0,) D. (,1) (1,)1)，,則使得f (x) 1的自變量x的取值圍為1)2 0,1C. (, 2 1,10D. 2,01,10141 ( I)213反饋練習(xí)若 | f(x)| >ax,則x2 + 2x, xW0,1 . (2013新課標(biāo)全國

5、I,5分)已知函數(shù)f(x) =ln x+ 1, x>0.a的取值圍是()B.( 8, 1D. -2,0A. (8, 0C. -2,12x3, x<0 ,兀2 . (2013 , 4分)已知函數(shù)f(x)=兀 則ff 丁 =-tan x, 0<x<-2-,410gl x, x> 1 ,3 . (2013 , 5分)函數(shù)f(x)=2的值域?yàn)?x, x<1x2+ 1 , x< 1 ,4 . (2012 , 5 分)若函數(shù) f(x)=則 f(f(10)=()lg x, x>1 ,A. lg 101B . 2C. 1D. 05 . (2011 , 5分)根據(jù)

6、統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：分鐘)為c版,x<A,f(x)=(A, c為常數(shù)).已知工人組裝第 4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘，組裝c第A件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘，那么c和A的值分別是()A. 75,25B. 75,16C. 60,25D , 60,166 . (2012 , 5分)設(shè)f(x)是定義在 R上且周期為 2的函數(shù)，在區(qū)間1,1上，f(x) =ax + 1, - 1 < x< 0 ,13bx +20< x<1 ,其中a, be R.若f(2)=f(2),則a +3b的值為2x + a, xv 1 ,7. (2011 , 5 分)已知實(shí)數(shù) aw0,函數(shù)

7、 f(x)=若 f(1 a) = f(1+a),則-x-2a, x>1.a的值為函數(shù)的概念和性質(zhì)考點(diǎn)一分段函數(shù)分段函數(shù)是指自變量在兩個(gè)或兩個(gè)以上不同的圍有不同的對應(yīng)法則的函數(shù)它是一個(gè)函數(shù)，卻又常常被學(xué)生誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)；它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集其值域也是各段函數(shù)值域的并集.由于它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識的程本文就幾種具體的題型做了度的考察上有較好的作用，時(shí)常在高考試題中“閃亮”登場一些思考，解析如下:1.求分段函數(shù)的定義域和值域例1 .求函數(shù)f(x)2x 2ix31,0;(0,2);的定義域、值域2,)；作圖，利用“數(shù)形結(jié)合”易知f(x)的定義域?yàn)?,)，值域?yàn)?

8、1,3.2.求分段函數(shù)的函數(shù)值f(x)|x111| 2,(|x| 1)求6)-,(|x| 1) x因?yàn)閒 (2) 121| 21,所以 ffG)f( i)3.求分段函數(shù)的最值例3,求函數(shù)f(x)4x 3 (x 0)x 3 (0 x 1)的最大值.x 5 (x 1)【解析】當(dāng) x 0時(shí),fmax(x)f(0) 3,當(dāng) 0 x 1 時(shí)，小 f 4,當(dāng)x 1時(shí)， x 515 4,綜上有 fmax(x) 4.4.求分段函數(shù)的解析式例4 .在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y "*)和丫 g(x)的圖象關(guān)于直線 y x對稱，現(xiàn)將y g(x)的圖象沿x軸向左平移2個(gè)單位，再沿y軸向上平移1個(gè)單位，所得

9、的圖象是由兩條線段組成的折線(如圖所示)，則函數(shù)f(x)的表達(dá)式為()A. f(x)B. f(x)2x 2 ( 1 x 0) 卷 2(0 x 2) 2x 2 ( 1 x 0)或 2(0 x 2)C. f(x)2x 2 (1 x 2)9 1(2 x 4)D. f(x)2x 6 (1 x 2)2x 3(2 x 4)當(dāng) x 2,0時(shí)，y2x 1,將其圖象沿x軸向右平移2個(gè)單位再沿y軸向下平2x 2 ( 1 x 0)2 2(0 x 2)移1個(gè)單位,得解析式為 y i(x 2) 1 1 x 1,所以 f(x) 2x 2 (x 1,0),當(dāng)x 0,1時(shí)，y 2x 1,將其圖象沿x軸向右平移2個(gè)單位，再沿y

10、軸向下平移1個(gè)單位，得解析式y(tǒng) 2(x 2) 1 1 2x 4,所以f(x)勺x 2 (x 0, 2),綜上可故選A.得 f (x)5 .作分段函數(shù)的圖像例5 .函數(shù)y e|1nx| |x 1|的圖像大致是()解析：在定義圍討論，當(dāng) 0<x<1D時(shí),6.求分段函數(shù)得反函數(shù)例6已知yf(x)的反函數(shù)為y設(shè)x 0,所以f( x)f(x)是定義在 R上的奇函數(shù)g(x),求g(x)的表達(dá)式.0,所以f( x) 3 x 1,f(x),f(0)0,所以 f(x) 11 ;當(dāng)x>1時(shí)y 1 ,故選D且當(dāng)x 0時(shí)，f (x) 3x 1 ,設(shè)又因?yàn)閒(x)是定義在因此R上的奇函數(shù)，f(x)3x

11、1 (x(x1 3 x(x0) 0), 0)從而可得g(x)10g3(x0lOg3(11) (x(x x) (x0)0).0)7.判斷分段函數(shù)的奇偶性例7 .判斷函數(shù)f (x)x2(x 1)(xx2(x 1)(x0)一的奇偶性0)【解析】當(dāng) x 0 時(shí)， x 0, f(x)(22x) ( x 1) x (x1)f (x),當(dāng) x 0 時(shí),f( 0) f (0) 0,當(dāng) x 0,f( x) ( x)2( x1)x2(x 1) f(x)因此，對于彳E意x R都有f (x)f(x),所以f(x)為偶函數(shù).8.判斷分段函數(shù)的單調(diào)性例8 .判斷函數(shù)f (x)3x2xx(x 0)(x 0)的單調(diào)性.顯然f

12、 (x)連續(xù).當(dāng)x0時(shí),f '(x) 3x2 1 1 恒成立，所以f(x)是單調(diào)遞增函當(dāng)x 0時(shí),f (x)2x0恒成立，f (x)也是單調(diào)遞增函數(shù),所以f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)；或畫圖易知f (x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù).f (x) |1 2x| |23x【解析】f (x)3x 11 (x(x2)2 x2)2),x|的單調(diào)減區(qū)間.畫圖易知單調(diào)52減區(qū)間為(9.解分段函數(shù)的方程例10 . (01年)設(shè)函數(shù)f (x)log81若2x尢則2x 2 2,得x 2(1,1,11,，則滿足方程f(x)一的x的值)4所以x 2 (舍去)，若10g81 x -4,則x 814,解得x 3 (1,)

13、，所以x3即為所求.10.解分段函數(shù)的不等式2 x 1 (x 0)例11 .設(shè)函數(shù)f (x)1,x2 (x 0)A.( 1,1) B.( 1,)C. (, 2)(0,)D. (, 1) (1,)【解析1 首先畫出y ”*)和丫 1的大致圖像，(,1) (1,).【解析2】因?yàn)?f(x0) 1 ,當(dāng) x0 0 時(shí)，2x0 1若f(x0) 1 ,則x0得取值圍是()易知f(%) 1時(shí)，所對應(yīng)的x0的取值圍是11,解得1 ,當(dāng) 0時(shí)，1,解得1,綜上x0的取值圍是(1) (1,).故選 D.例12 .設(shè)函數(shù)f (x)(x 1)2 (x 1)_曰 八 ,則使得f (x) 1的自變量x的取值圍為4. x

14、 1 (x 1)A. (, 2 0,10B. (, 2 0,1C. (, 2 1,10D. 2,01,10【解析】當(dāng) x 1 時(shí)，f(x) 1 (x 1)2 1 x2或x 0,所以x2或0 x 1,當(dāng)x 1 時(shí)，f (x) 14 &1 1xfxl 3 x 10，所以1 x 10,綜上所述，x 2或0 x 10,故選A項(xiàng).【點(diǎn)評：】以上分段函數(shù)性質(zhì)的考查中 ，不難得到一種解題的重要途徑 ，若能畫出其大致圖像 定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性等問題就會迎刃而解，方程、不等式等可用數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想及函數(shù)思想來解，使問題得到大大簡化，效果明顯.反饋練習(xí) x2 + 2x

15、, x< 0 ,1 . (2013新課標(biāo)全國I, 5分)已知函數(shù)f(x)=若| f(x)| >ax,則ln x+ 1, x>0.a的取值圍是()A. (8, 0B.( 8, 1C. -2,1D. -2,0解析：本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)及由不等式恒成立求參數(shù)的 取值圍問題，意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力和利用數(shù)形結(jié)合思想解答問題的能力.當(dāng)xW0時(shí)，f(x)= - x2+2x = (x 1)2+1 <0,所以 | f(x)| >ax 化簡為 x2 2x>ax,即 x2>(a + 2)x, 因?yàn)閤< 0 ,所以a + 2 >x恒成立

16、，所以 a>2；當(dāng)x >0時(shí)，f(x)= ln( x+1) > 0,所以 | f(x)| > ax化簡為ln( x+1) >ax恒成立，由函數(shù)圖象可知a< 0,綜上，當(dāng)一2waw。時(shí),不等式| f(x)| > ax恒成立，選擇 D.答案：D2x3, x<0 ,兀2. (2013 , 4分)已知函數(shù)f(x)=工 則ff =.一an x，、x 2 '解析：本題主要考查分段函數(shù)的求值，意在考查考生的應(yīng)用能力和運(yùn)算求解能力.兀兀兀f 4 = tan 4 = 1 5,4='( 1) = 2X( 1) = 2.答案：210gl x, x>

17、; 1 ,3. (2013 , 5分)函數(shù)f(x)=2的值域?yàn)?x, x<1解析：本題主要考查分段函數(shù)的概念、性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，意在考查考生對函數(shù)定義域、值域掌握的熟練程度.分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是各段函數(shù)定義域的并集，值域是各段函數(shù)值域的并集.當(dāng) x>1 時(shí)，10gl xW0,當(dāng) x<1 時(shí)，0<2x<2,故值域?yàn)?0,2) U(8, 0 = (-oo, 2).答案：(一8, 2)x1f(2)=f(-2),且 f(-1) = f(1), -a+1,3a + 2b = -2. + 1 , x< 1 ,4. (2012 , 5 分)若函數(shù)

18、 f(x)=則 f(f(io)=()lg x, x>1 ,A. lg 101B . 2C. 1D. 0解析：f(10) = lg 10 =1,故 f(f(10) = f(1)=12+1=2.答案：Bcf=< x<A,xf(x) =c5. (2011 , 5分)根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第 x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：分鐘)為(A, c為常數(shù)).已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘，那么c和A的值分別是()B . 75,16D . 60,16A. 75,25C. 60,25解析：因?yàn)榻M裝第 A件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘，所以點(diǎn)=15(1),所以必有4< A,且卡=2c2 = 30(2),聯(lián)立(1)(2)解得 c=60, A=16.答案：D2的函數(shù)，在區(qū)間1,1上，f(x) =6 . (2012 , 5分)設(shè)f(x)是定義在 R上且周期為bx +2x+ 1 '0< x<1 ,其中a, be R.若f(2)=f(|),則a +3b的值為解析：因?yàn)閒(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，所以11故 f(2)=f( 2),從而12+1由 f(-1) = f(1),得一a+ 1 =，故 b = 2a.由得a = 2, b = 4,從而a+3b = 10.答案：102x